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奉节县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

奉节县实验中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 双曲线 E 与椭圆 C:x +y =1 有相同焦点,且以 E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积 9 3 为π,则 E 的方程为( ) 2 2 x2 y2 A. - =1 B.x -y =1 42 2 3 3
2 2

姓名__________

分数__________

C.x -y2=1 5 2. 已知 a 为常数,则使得
2

D. -y =1 2 4 成立的一个充分而不必要条件是(
2

x



A.a>0

B.a<0

C.a>e

D.a<e )

3. 已知 x,y 满足约束条件 A.﹣3 B.3 C.﹣1 D.1

,使 z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个,则 a 的值为(

  4. 已知 A,B 是以 O 为圆心的单位圆上的动点,且| A.﹣1 B.1 C.﹣ D.

|=

,则

?

=(



  5. 棱长为 2 的正方体的 8 个顶点都在球 O 的表面上,则球 O 的表面积为( A. 4? B. 6? C. 8? D. 10? 6. 已知 ? , ? ? [ ?? , ? ] ,则“ | ? |?| ? | ”是“ | ? | ? | ? |? cos ? ? cos ? ”的( A. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 )

) )

【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识,意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 7. 已知点 A(1,2),B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A.4x+2y=5 8. 定义运算 =( A.   B. B.4x﹣2y=5 ,例如 ) C. D. C.x+2y=5 .若已知 D.x﹣2y=5 ,则

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9. 函数 y=f′(x)是函数 y=f(x)的导函数,且函数 y=f(x)在点 p(x0,f(x0))处的切线为 l:y=g(x) =f′(x0)(x﹣x0)+f(x0) ,F(x)=f(x)﹣g(x) ,如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,且 a< x0<b,那么( )

A.F′(x0)=0,x=x0 是 F(x)的极大值点 B.F′(x0)=0,x=x0 是 F(x)的极小值点 C.F′(x0)≠0,x=x0 不是 F(x)极值点 D.F′(x0)≠0,x=x0 是 F(x)极值点   10.如果 A.1   11.若椭圆 椭圆的离心率 e 的取值范围是( A. B. 和圆 ) C. D. 为椭圆的半焦距) ,有四个不同的交点,则 (m∈R,i 表示虚数单位),那么 m=( B.﹣1 C.2 ) D.0

12.如图,棱长为的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 是侧面对角线 BC1 , AD1 上一点,若 BED1 F 是菱形,则其在底面 ABCD 上投影的四边形面积( A. ) C.

1 2

B.

3 4

2 2
+

D.

3? 2 4

二、填空题
13. 0) P, Q 是单位圆上的两动点且满足 已知 A(1, , 14.若函数 f(x)=3sinx﹣4cosx,则 f′(   15.已知三棱锥 D ? ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上, ?ABC 和 ?DBC 所在的平面互相垂直, AB ? 3 , )=      . , 则 的最大值为      .

AC ? 3 , BC ? CD ? BD ? 2 3 ,则球 O 的表面积为
16.抛物线 的准线与双曲线

.

的两条渐近线所围成的三角形面积为__________

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17.已知| |=1,| |=2, 与 的夹角为

,那么| + || ﹣ |=      .

18.已知命题 p:?x∈R,x2+2x+a≤0,若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是      .(用区间表 示)  

三、解答题
19.已知复数 z1 满足(z1﹣2)(1+i)=1﹣i(i 为虚数单位) ,复数 z2 的虚部为 2,且 z1z2 是实数,求 z2.  

20.已知 f(x)=x2﹣(a+b)x+3a. (1)若不等式 f(x)≤0 的解集为[1,3],求实数 a,b 的值; (2)若 b=3,求不等式 f(x)>0 的解集.

21.(选做题)已知 f(x)=|x+1|+|x﹣1|,不等式 f(x)<4 的解集为 M. (1)求 M; (2)当 a,b∈M 时,证明:2|a+b|<|4+ab|.  

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22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 选修 4 ? 1 :几何证明选讲 如图, A, B, C 为 A ? 上的三个点, AD 是 ?BAC 的平分线,交 A ? 点 D ,过 B 作 A ? 的切线交 AD 的延长线于点 E . (Ⅰ)证明: BD 平分 ?EBC ; (Ⅱ)证明: AE ? DC ? AB ? BE . 于

23.设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的公比为 q,已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求数列{an},{bn}的通项公式 (2)当 d>1 时,记 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

24.设 p: q: 关于 x 的不等式 ax>1 的解集是{x|x<0}; 函数 p∧q 是假命题,求实数 a 的取值范围.

的定义域为 R.若 p∨q 是真命题,

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奉节县实验中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 【解析】选 C.可设双曲线 E 的方程为x - y =1,
2 2

渐近线方程为 y=±bx,即 bx±ay=0,

a2 b2

由题意得 E 的一个焦点坐标为( 6,0),圆的半径为 1, | b| ∴焦点到渐近线的距离为 1.即 6 =1, b2+a2 又 a2+b2=6,∴b=1,a= 5, ∴E 的方程为x -y2=1,故选 C. 5 2. 【答案】C
2

a

【解析】解:由积分运算法则,得 =lnx 因此,不等式即 =lne﹣ln1=1 即 a>1,对应的集合是(1,+∞)

将此范围与各个选项加以比较,只有 C 项对应集合(e,+∞)是(1,+∞)的子集 ∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是 a>e 故选:C 【点评】本题给出关于定积分的一个不等式,求使之成立的一个充分而不必要条件,着重考查了定积分计算公 式和充要条件的判断等知识,属于基础题.   3. 【答案】D 【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分). 由 z=ax+y,得 y=﹣ax+z, 若 a=0,此时 y=z,此时函数 y=z 只在 B 处取得最小值,不满足条件. 若 a>0,则目标函数的斜率 k=﹣a<0. 平移直线 y=﹣ax+z, 由图象可知当直线 y=﹣ax+z 和直线 x+y=1 平行时,此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个, 此时﹣a=﹣1,即 a=1. 若 a<0,则目标函数的斜率 k=﹣a>0. 平移直线 y=﹣ax+z, 由图象可知当直线 y=﹣ax+z,此时目标函数只在 C 处取得最小值,不满足条件.

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综上 a=1. 故选:D.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决此类问题的基本方法,利用 z 的几何意义是解决 本题的关键.注意要对 a 进行分类讨论.   4. 【答案】B 【解析】解:由 A,B 是以 O 为圆心的单位圆上的动点,且| 即有| 则 即有 , ? |2+| |2=| |2 , 可得△OAB 为等腰直角三角形, 的夹角为 45°, =| |?| |?cos45°=1× × =1. |= ,

故选:B. 【点评】本题考查向量的数量积的定义,运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键.   5. 【答案】 B 【解析】

考 点:球与几何体 6. 【答案】A. 【解析】 | ? | ? | ? |? cos ? ? cos ? ?| ? | ? cos ? ?| ? | ? cos ? ,设 f ( x) ?| x | ? cos x , x ? [ ?? , ? ] ,

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显然 f ( x) 是偶函数,且在 [0, ? ] 上单调递增,故 f ( x) 在 [ ?? , 0] 上单调递减,∴ f (? ) ? f ( ? ) ?| ? |?| ? | , 故是充分必要条件,故选 A. 7. 【答案】B 【解析】解:线段 AB 的中点为 ∴垂直平分线的斜率 k= =2, ,kAB= =﹣ ,

∴线段 AB 的垂直平分线的方程是 y﹣ =2(x﹣2)?4x﹣2y﹣5=0, 故选 B. 【点评】本题考查两直线垂直的性质,线段的中点坐标公式,以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法.   8. 【答案】D 【解析】解:由新定义可得, = 故选:D. 【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查了两角和与差的三角函数,是基础题.   9. 【答案】 B 【解析】解:∵F(x)=f(x)﹣g(x)=f(x)﹣f′(x0)(x﹣x0)﹣f(x0), ∴F'(x)=f'(x)﹣f′(x0) ∴F'(x0)=0, 又由 a<x0<b,得出 当 a<x<x0 时,f'(x)<f′(x0),F'(x)<0, 当 x0<x<b 时,f'(x)<f′(x0),F'(x)>0, ∴x=x0 是 F(x)的极小值点 故选 B. 【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系,即当函数取到极值时导函数一定等于 0,反之当导函数 等于 0 时还要判断原函数的单调性才能确定是否有极值.   10.【答案】A . = = =

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【解析】解:因为 而 所以,m=1. 故选 A. (m∈R,i 表示虚数单位),



【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的概念,两个复数相等,当且仅当实部等于实 部,虚部等于虚部,此题是基础题.   11.【答案】 A 【解析】解:∵椭圆 , 且它们有四个交点, ∴圆的半径 , 和圆 为椭圆的半焦距)的中心都在原点



,得 2c>b,再平方,4c2>b2,

在椭圆中,a2=b2+c2<5c2, ∴ 由 ; ,得 b+2c<2a,

再平方,b2+4c2+4bc<4a2, ∴3c2+4bc<3a2, ∴4bc<3b2, ∴4c<3b, ∴16c2<9b2, ∴16c2<9a2﹣9c2, ∴9a2>25c2, ∴ ∴ . ,

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综上所述, 故选 A.   12.【答案】B 【解析】



试题分析:在棱长为的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, BC1 ? AD1 ? 解得 x ?

2 ,设 AF ? x ,则 2 ? x ? 1 ? x 2 ,

2 2 3 2 ? ,即菱形 BED1 F 的边长为 2 ? ,则 BED1 F 在底面 ABCD 上的投影四边形是底边 4 4 4 3 3 为 ,高为的平行四边形,其面积为 ,故选 B. 4 4
考点:平面图形的投影及其作法.

二、填空题
13.【答案】  【解析】解:设 ∴ + . = 故答案为:  . = ,则 =1× × = ≤ = , 的方向任意. .

,因此最大值为

【点评】本题考查了数量积运算性质,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.   14.【答案】 4 .

【解析】解:∵f′(x)=3cosx+4sinx, ∴f′( )=3cos +4sin =4.

故答案为:4. 【点评】本题考查了导数的运算法则,掌握求导公式是关键,属于基础题.   15.【答案】 16? 【解析】 如图所示, ∵ AB 2 ? AC 2 ? BC 2 , ∴ ?CAB 为直角, 即过△ ABC 的小圆面的圆心为 BC 的中点 O? , △ABC 和 △DBC 所在的平面互相垂直,则球心 O 在过 △DBC 的圆面上,即 △DBC 的外接圆为球大圆,由等边三角 形的重心和外心重合易得球半径为 R ? 2 ,球的表面积为 S ? 4πR 2 ? 16π

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16.【答案】 【解析】【知识点】抛物线双曲线 【试题解析】抛物线 双曲线 所以 故答案为: 17.【答案】   . 的准线方程为:x=2; 的两条渐近线方程为:

【解析】解:∵| |=1,| |=2, 与 的夹角为 ∴ = =1× =1.



∴| + || ﹣ |= 故答案为: .

=

=

=



【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.   18.【答案】 (1,+∞)  【解析】解:∵命题 p:?x∈R,x2+2x+a≤0, 当命题 p 是假命题时, 命题¬p:?x∈R,x2+2x+a>0 是真命题; 即△=4﹣4a<0, ∴a>1; ∴实数 a 的取值范围是(1,+∞). 故答案为:(1,+∞). 【点评】本题考查了命题与命题的否定的真假性相反问题,也考查了二次不等式恒成立的问题,是基础题目.  

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三、解答题
19.【答案】 【解析】解: ∴z1=2﹣i 设 z2=a+2i(a∈R) ∴z1z2=(2﹣i)(a+2i)=(2a+2)+(4﹣a)i ∵z1z2 是实数 ∴4﹣a=0 解得 a=4 所以 z2=4+2i 【点评】本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为 0.   20.【答案】 【解析】解:(1)∵函数 f(x)=x2﹣(a+b)x+3a, 当不等式 f(x)≤0 的解集为[1,3]时, 方程 x2﹣(a+b)x+3a=0 的两根为 1 和 3, 由根与系数的关系得 , 解得 a=1,b=3; (2)当 b=3 时,不等式 f(x)>0 可化为 x2﹣(a+3)x+3a>0, 即(x﹣a)(x﹣3)>0; ∴当 a>3 时,原不等式的解集为:{x|x<3 或 x>a}; 当 a<3 时,原不等式的解集为:{x|x<a 或 x>3}; 当 a=3 时,原不等式的解集为:{x|x≠3,x∈R}. 【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题,是基础题目.   21.【答案】

【解析】(Ⅰ)解:f(x)=|x+1|+|x﹣1|= 当 x<﹣1 时,由﹣2x<4,得﹣2<x<﹣1;

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当﹣1≤x≤1 时,f(x)=2<4; 当 x>1 时,由 2x<4,得 1<x<2. 所以 M=(﹣2,2).… (Ⅱ)证明:当 a,b∈M,即﹣2<a,b<2, ∵4(a+b)2﹣(4+ab)2=4(a2+2ab+b2)﹣(16+8ab+a2b2)=(a2﹣4)(4﹣b2)<0, ∴4(a+b)2<(4+ab)2, ∴2|a+b|<|4+ab|.… 【点评】本题考查绝对值函数,考查解不等式,考查不等式的证明,解题的关键是将不等式写成分段函数,利 用作差法证明不等式. 22.【答案】 【解析】【解析】(Ⅰ)因为 BE 是⊙ O 的切线,所以 ?EBD ? ?BAD …………2 分 又因为 ?CBD ? ?CAD , ?BAD ? ?CAD ………………4 分 所以 ?EBD ? ?CBD ,即 BD 平分 ?EBC .………………5 分 (Ⅱ)由⑴可知 ?EBD ? ?BAD ,且 ?BED ? ?BED ,

BE BD ,……………………7 分 ? AE AB 又因为 ?BCD ? ?BAE ? ?DBE ? ?DBC ,

?BDE ∽ ?ABE ,所以

所以 ?BCD ? ?DBC , BD ? CD .……………………8 分

BE BD CD ,……………………9 分 ? ? AE AB AB 所以 AE ? DC ? AB ? BE .……………………10 分
所以 23.【答案】 【解析】解:(1)设 a1=a,由题意可得 解得 当 当 ,或 , ,

时,an=2n﹣1,bn=2n﹣1; 时,an= (2n+79),bn=9? ;

(2)当 d>1 时,由(1)知 an=2n﹣1,bn=2n﹣1, ∴cn= = ,

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∴Tn=1+3? +5? ∴ Tn=1? +3? ∴ Tn=2+ + ∴Tn=6﹣ . +

+7? +5? +

+9? +7? +…+

+…+(2n﹣1)? +…+(2n﹣3)? ﹣(2n﹣1)?

, +(2n﹣1)? =3﹣ , ,

  24.【答案】 【解析】解:∵关于 x 的不等式 ax>1 的解集是{x|x<0},∴0<a<1; 故命题 p 为真时,0<a<1; ∵函数 ∴ 的定义域为 R, ?a≥ ,

由复合命题真值表知:若 p∨q 是真命题,p∧q 是假命题,则命题 p、q 一真一假, 当 p 真 q 假时,则 ?0<a< ;

当 q 真 p 假时,则

?a≥1,

综上实数 a 的取值范围是(0, )∪[1,+∞).  

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