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《等比数列》课件1(29张PPT)_图文

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2

3

4

5

6

7 8

情景展示(1)
左图为国际象棋的棋盘,棋 盘有8*8=64格
国际象棋起源于印度, 关于国际象棋有这样一个传说, 国王要奖励国际象棋的发明者, 问他有什么要求,发明者说: “请在棋盘上的第一个格子上放1 粒麦子,第二个格子上放2粒麦子, 第三个格子上放4粒麦子,第四个 格子上放8粒麦子,依次类推,直 到第64个格子放满为止。” 国王 慷慨地答应了他。你认为国王有

上述棋盘中各格子里的 麦粒数按先后次序排成 一列数:

1, 2, 2 , 2 , , 2
2 3

63

1844,6744,0737,0955,1615

能力满足上述要求吗?

猜一猜:
给你一张足够大的纸,假设 其厚度为0.1毫米,那么当你 把这张纸对折了51次的时候, 所达到的厚度有多少?

把一张纸折叠51次, 得到的大约是地球与 太阳之间的距离!

庄子 曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”
意思:“一尺长的木 棒,每日取其一半, 永远也取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为一份, 则每日剩下的部分依次为:

1 1 1 1 1, , , , , ? 2 4 8 16

某种汽车购买时的价格是36万元,每年 的折旧率是10%,求这辆车各年开始时的价 格(单位:万元)。 各年汽车的价格组成数列:

36,36×0.9,36×0.92, 36×0.93,…

回忆
1, 3, 5, 7, 9…; 3, 0, -3, -6, … ;
1 10

什么是等差数列?

(1) (2)

,

2 10

,

3 10

,

4 10

, ? ? ? . (3)

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与前 一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等 差数列。这个常数叫做等差数列的公差,用d表示。

比较下列数列
(1)
(2) (3)
(4)

1, 2, 2 , 2 ,
1 1 1 1 , , , , …… 2 4 8 16

2

3

……

,2

63

9,92,93,94,95,96,

9

7

36,36×0.9,36×0.92, 36×0.93,…

共同特点?从第2项起,每一项
与前一项的比都等于同一常数.

等比数列定义
一般的,如果一个数列从第2项起,每一 项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列 就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公 比,公比通常用字母q表示。

(q≠0)

其数学表达式:

an ? q(n ? 2) an?1



an?1 * ? q(n ? N ) an

问:如果an+1=anq(n∈N+,q为常数),那么 数列{an}是否是等比数列?为什么?
答:不一定是等比数列。这是因为:(1)若 an=0,等式an+1=anq对n∈N恒成立,但从第二项 起,每一项与它前一项的比就没有意义,故等 比数列中任何一项都不能为零;(2)若q=0, 等式an+1=anq,对n∈N仍恒成立,此时数列{an} 从第二项起均为零,显然也不符合等比数列的 定义,故等比数列中的公比q不能为零。
所以,如果an+1=anq(n∈N,q为常数),数列 {an}不一定是等比数列。

名 称

等差数列

等比数列

定 义

如果一个数列从第2 项起,每一项与前 一项的差都等于同 一个常数,那么这 个数列叫做等差数 列.这个常数叫做等 差数列的公差,用d 表示

如果一个数列从第2 项起,每一项与它 前一项的 比 都等于 同一个非 0 常数 , 那 么这个数列叫做等 比数列. 这个常数 叫做等比数列的公 比,用q表示.

注意:
1. 公比是等比数列,从第2项起,每一 项与前一项的比,不能颠倒。

2.对于一个给定的等比数列,它的公比 是同一个非零常数。

练习
1、判别下列数列是否为等比数列?
2 1 …… (1) 2 , 1, , , 是 2 2 不是 (2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 ……
(3)2, 2, 2, 2, …
(4)1, 0, 1, 0 ……
2 2

q=

是 不是

q= 1

思考:等比数列中
(1)公比q为什么不能等于0?首项能等于0吗? (2)公比q=1时是什么数列? (3)q>0数列递增吗?q<0数列递减吗?

说明:(1)公比q≠0,则an≠0(n∈N);
(2)既是等差又是等比数列为非零常数列; (3) ?a1 ? 0 ? a1 ? 0 或? ? {an }递增; ? ? q ? 1 ?0 ? q ? 1 ? a1 ? 0 ?a1 ? 0 或? ? {an }递减; ? ?0 ? q ? 1 ? q ? 1 q=1,常数列; q<0,摆动数列;

例1:求出下列等比数列中的未知项.
(1) 2. a, 8 (2) -4 , b, c,
a=4或a=-4

a 8 ( 1 )根据题意,得 ? 解得 解: 2 a ( 2 )根据题意,得

如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列, 那么G叫做a与b的等比中项。

c ?b ?- 4 ? b ? ?1 ?2 c ? ? ?c b

解得

?b ? 2 ? ?c ? ?1

G ? ? ab

等比中项
观察如下的两个数之间,插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列: (1)1, ±3 , 9 ±6 ,-3 (3)-12, (2)-1, ±2 ,-4 (4)1,±1 ,1

小 结:
知识内容 等比数列的 概念。 研究方法 类比 思想方法 方程的思想。





等差数列

等比数列

定 义

如果一个数列从第2项 如果一个数列从第 2 起,每一项与前一项 项起,每一项与它前 的差等于同一个常数,一项的比都等于同一 那么这个数列叫做等 个 常 数 , 那 么 这 个 数 差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这 等差数列的公差,用d 个常数叫做等比数列 的公比,用q表示 表示

数学式 子表示

an+1-an=d an = a1 +(n-1)d

an?1 ?q an

通项公式

?

猜一猜?
如果等比数列 { }的首项是 ,公比是 ,那么这个等比数列的第 项 如何表示? a3 an a2 ?q ? q …… ?q ∵ a1 a2 a n ?1 ∴ a2 ? a1 ? q
a3 ? a2 ? q ? a1 ? q2 ……

(等比数列通项公式) ? (a1 , q ? 0, n ? N ) * a1 ? a1 ? n ? N 公式成立 当n=1时,

an ? a1 ? q

n ?1

想一想?
a2 ?q 证明:∵ a1

一般形式:
a3 ?q a2
……

an ? am ? q
an ?q an ?1

n?m ?

(n, m ? N )

将等式左右两边分别相乘可得:

化简得:

a2 a3 ? a1 a2

a …… n a n ?1
即:

? ? ? ? q ……q ? q n?1

n ?1

叠乘法推导

an n ?1 ?q a1

an ? a1 ? q
∴ an

n?1

此式对n=1也成立

? a1 ? q

n ?1

(n ? N )

?

等比数列的通项公式练习1a ? a ? q n?1 n 1
求下列等比数列的第4,5项: (1) 5,-15,45,…

a4 ? 5 ? (?3) a4 ? 1.2 ? 2

4 ?1

? ?135, a5 ? 5 ? ( ?3) ? 9.6 , a5 ? 1.2 ? 2
5 ?1

5 ?1

? 405.

(2)1.2,2.4,4.8,…
4 ?1

? 19.2.
27 ? , 128
5 ?1

2 1 3 ( 3) , , ,? 3 2 8
2 ? 3? a4 ? ? ? ? 3 ?4?
4?1

(4 )
a4 ?

2 ,1,

? 2? ? 2 ?? ? 2 ? ? ?

2 ,? 2 4 ?1

9 2 ? 3? ? , a5 ? ? ? ? 32 3 ?4?

5 ?1

1 ? ,a5 ? 2

? 2? ? 2 ?? ? 2 ? ? ?

2 ? , 4

巩固 应用
例1在等比数列{an}中,已知

求an.
解:设等比数列{an}的公比为q,由题意得
? a 1 q 2 ? 20 ? 5 ? a 1 q ? 160
因此, 解得
an ? 5 ? 2n?1

?q ? 2 ? ? a1 ? 5

例题讲解

一般形式:an ? a1 ? q

n ?1

(n ? N )

?

推广:an ? am ? q n?m (n ? N ? )

变形1、等比数列{an}中,a1=2,q=-3,求a8与an. 变形 2、等比数列{an}中,a1=2, a9=32,求q. 变形3、等比数列{an}中,a1+ a3=10,a4+a6=5/4,
求q的值.

变形4、等比数列{an}中,a3+ a6=36,a4+a7=18,
an =1/2,求n.

世界杂交水稻之父—袁隆平

从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多 亩,增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。 西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻” ,并认为是解决 下个世纪世界性饥饿问题的法宝。

巩固 应用
例2
袁隆平在培育某水稻新品种时,培育出第一代 120粒种子,并且从第一代起,由以后各代的每一粒 种子都可以得到下一代的120粒种子,到第5代时大 约可以得到这个新品种的种子多少粒(保留两位有 效数字)?

解:由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍,
因此,逐代的种子数组成等比数列,记为

?an ?

其中a1 ? 120, q ? 120, n ? 5
因此a5 ? 120?1205?1? 2.5 ?1010
答:到第5代大约可以得到这种新品种的种子2.5×1010粒.

练一练
1.某种细菌在培养过程中,每半个小时分 裂一次(一个分裂为两个),经过4小时, 这种细菌由一个可繁殖成___ 256 个?

1 n 2.已知等比数列的通项公式 an ? ?10 ,求首 4 项为( 5 )公比为(10 )。 1 9 2 3.在等比数列中,已知首项为 8 ,末项为 3 ,
2 公比为 ,则项数 3

n 等于(

) 4

归纳:
数 列 等 差 数 列 an+1-an=d d 叫公差 an+1=an+d 等 比 数 列 定义式 公差(比)

a n ?1

an

?q

q叫公比 an+1=an q

定义变形
通项公式 一般形式

an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d

an=a1qn-1
an=amqn-m

例题讲解

例3

已知{an}{bn}是项数相同的等比 数列,试证{anbn}是等比数列.

变形1:已知{an}、{bn}为等比数列,c是非零
常数,则{can}、{an+c}、{an+bn}是否为等比 数列?

变形2:已知{an} 为等比数列,问a2,a4,a6,…
是否为等比数列?
是否为等比数列?

变形3:已知{an} 为等比数列,问a10,a20,a30,…


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