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集合.板块一.集合的概念与表示.学生版

板块一.集合的概念与表示

典例分析
题型一 集合的性质
【例1】以下元素的全体不能够构成集合的是( ). A. 中国古代四大发明 B. 地球上的小河流
2 C. 方程 x ? 1 ? 0 的实数解

D. 周长为 10cm 的三角形

【例2】在“①难解的题目;②方程 x2+1=0 在实数集内的的解;③直角坐标平面上第四 象限内的所有点;④很多多项式”中,能组成集合的是() A②③ B①③ C②④ D①②④

【例3】分析下列各组对象能否构成集合: (1)比 2008 大的数; (2)一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 的图象上的若干个点; (3)正比例函数 y ? x 与反比例函数 y ? ? (4)面积比较小的三角形.

1 的图象的交点; x

【例4】下面四个命题正确的是(



A.10 以内的质数集合是{0,3,5,7} B. “个子较高的人”不能构成集合 C.方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解集是{1,1}
2

D.偶数集为 ?x | x ? 2k , x ? N ?

1

【例5】下面的结论正确的是(
A. ax ? Q ,则 a ? N



B. a ? N ,则 a ?{自然数} C. x ? 1 ? 0 的解集是{-1,1}
2

D.正偶数集是有限集

【例6】已知集合 S={ a, b, c }中的三个元素可构成 ? ABC 的三条边长, 那么 ? ABC 一定 不是( )
B.直角三角形 D.等腰三角形

A.锐角三角形 C.钝角三角形

【例7】已知集合 M ? x ? x ? a ? ? x 2 ? ax ? a ? 1? ? 0 各元素之和等于 3,则实数 a 的值为

?

?

【例8】求集合 {x2 ? x,2, x} 中的元素 x 的取值范围.

【例9】下面有四个命题: ⑴集合 N 中最小的数是 1 ; ⑵若 ?a 不属于 N ,则 a 属于 N ; ⑶若 a ? N, b ? N ,则 a ? b 的最小值为 2 ; ⑷ x2 ? 1 ? 2 x 的解可表示为 ?1,1? ; 其中正确命题的个数为( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

【例10】下列命题正确的有( ) ⑴很小的实数可以构成集合; ⑵集合 ? y | y ? x2 ? 1? 与集合 ?? x, y ? | y ? x2 ? 1? 是同一个集合; ⑶ 1, , , ? , 0.5 这些数组成的集合有 5 个元素; ⑷集合 ?? x, y ? | xy ≤ 0, x, y ? R? 是指第二和第四象限内的点集. A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
3 6 2 4 1 2

2

【例11】下列各选项中的 M 与 P 表示同一集合的是 A. M ? {0}, P ? ? B. M ? {(3, ?7)}, P ? {( ?7,3)} C. M ? {( x, y) | y ? x2 ? 3, x ? R} , P ? { y | y ? x2 ? 3, x ? R} D. M ? {y | y ? t 2 ? 1, t ? R}, P ? {t | t ? ( y ?1)2 ? 1, y ? R}





【例12】已知集合 A={ kx 2 ? 8x ? 16 ? 0 }只有一个元素,试求实数 k 的值,并用列举法 表示集合 A。

题型二集合的表示法
【例13】下列集合表示法正确的是(
A.{1,2,2} C.{有理数} B.{全体实数} D.不等式 x ? 5 ? 0 的解集为{ x ? 5 ? 0 }
2 2



?x ? y ? 1 【例14】方程组 ? 2 的解集是( 2 ?x ? y ? 9


D. ??5, ?4?? .

A. ? 5, 4 ?

B. ? 5, ?4?

C. ?? ?5,4??

【例15】已知集合 M ? {x ? N | 8 ? x ? N} ,则 M 中元素的个数是
A. 10 B. 9 C. 8

( D. 7



【例16】试选用适当的表示方法表示下列集合: (1)一次函数 y ? ? x ? 3 与 y ? 2 x ? 6 的图象的交点组成的集合; (2)二次函数 y ? x2 ? 2x ? 4 的函数值组成的集合; (3)反比例函数 y ?

5 的自变量的值组成的集合. x ?4
2

3

【例17】用列举法表示下列集合 ⑴ 方程 2 x2 ? x ? 6 ? 0 的根; ⑵ 不大于 8 且大于 3 的所有整数; 1 ⑶ 函数 y ? 3x ? 2 与 y ? 的交点组成的集合. x

【例18】已知集合 A ? ? x ? N|
?

?

8 ? ? N ? ,试用列举法表示集合 A. 6? x ?

【例19】判断下列集合是有限集还是无限集.对于有限集,指出其元素的个数. (1) A ? {x ? Z | ?4012 ? 1 ? 2 x ? 4031} ; (2)平面内到线段 AB 的两个端点距离距离相等的点 P 的集合.

【例20】用列举法表示集合: M ? ?m
?

?

10 ? ? Z , m ? Z? ? m ?1 ?

【例21】已知 a ? Z , A ? ?( x , y) ax ? y ≤ 3? ,且 (2 , 1) ? A , (1, ? 4) ? A ,求满足条件 的 a 的值.

4

【例22】直角坐标平面除去两点 A(1, 1) 、 B(2, ? 2) 可用集合表示为( A. ?( x , y) | x ? 1, y ? 1, x ? 2, y ? 2?



? ?x ? 1 ?x ? 2 ? ? ? B. ?( x , y) | ? 或? ? y ? 1 y ? 2 ? ? ? ? ? ?

? ? ?x ? 1 ?x ? 2 ? ? C. 且? ( x , y) |[( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ][( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ] ? 0? ? ?( x , y) | ? ? D. ? ? ? y ? 1 ? y ? ?2 ? ?

【例23】已知 f ( x) ? x2 ? ax ? b(a ? R , b ? R) , A ? {x | x ? f ( x), x ? R} ,
B ? {x | x ? f [ f ( x)], x ? R} .当 A ? {?1, 3} 时,用列举法表示集合 B .

题型三集合与元素的关系
【例24】用“ ? ”或“ ? ”填空: ⑴ 若 A ? {x | x2 ? 3x ? 4 ? 0} ,则 ?1 ___ A ; ?4 ___ A ; ⑵ 0 ___ ? ; ⑶ 0 ___ {0} .

【例25】用符号“ ? ”或“ ? ”填空
5 ______ N , 16 ______ N ⑴ 0 ______ N , 1 ⑵ ? ______ Q, π _______ Q,e ______ ?R Q (e 是个无理数) 2

⑶ 2 ? 3 ? 2 ? 3 ________ x | x ? a ? 6b , a ? Q , b ? Q

?

?

【例26】已知 P ? {x | 2 ? x ? k , x ? N} ,若集合 P 中恰有 3 个元素,求 k 。

5

【例27】设集合 A ? {x | x ?
A. x ? A

1 1 9 k ? , k ? Z } ,若 x ? ,则下列关系正确的是( 2 4 2
C. {x} ? A D. {x} ? A



B. x ? A

【例28】用适当的符号填空:已知 A ? {x | x ? 3k ? 2, k ? Z } , B ? {x | x ? 6m ? 1, m ? Z } ,则有:
17 A; -5 A; 17 B.

【例29】给出下列关系:
(1) {0}是空集; (2)若 a ? N ,则 ?a ? N ; (3)集合 A ? x ? R x ? 2 x ? 1 ? 0
2

?

?

(4)集合 B ? ? x ? Q

? ?

6 ? ? N? x ?
( ) C.3个 D.0个

其中正确的个数为 A.1个 B.2个

【例30】集合 A ? ?x x ? 3n ? 1, n ? Z? , B ? ?x x ? 3n ? 2 , n ? Z? ,
C ? ?x x ? 6n ? 3 , n ? Z? .
⑴若 c ? C ,问是否有 a ? A , b ? B ,使 c ? a ? b ; ⑵对于任意 a ? A , b ? B ,是否一定有 a ? b ? C ?并证明你的结论.

【例31】试用适当的符号把 2 ? 3 ? 2 ? 3 和 a ? b 6 a ? R, b ? R 连接起来.

?

?

6

【例32】设 S ? {x | x ? m ? 2n , m , n ? Z}
⑴若 a ? Z ,则 a 是否是集合 S 的元素? ⑵对于 S 中任意两个元素 x1 、 x 2 ,则 x1 ? x2 、 x1 ? x2 是否属于 S ? ⑶对于给定的整数 n ,试求满足 0 ? m ? n 2 ? 1 的 S 中元素的个数.

【例33】已知集合 A={x|x=m2-n2,m∈Z,n∈Z}
求证: (1)3∈A; (2)偶数 4k—2 (k∈Z)不属于 A.

7


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