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2007-2012(6年)新课标高考(文科)真题分块汇编(教师用)


2007-2012 高考集合与简易逻辑考题汇总 2007 1.设集合 A ? ?x | x ? ?1 ,B ? ?x | ?2 ? x ? 2? ,则 A ? B ? ( ? A. ?x | x ? ?2? B. x| x ? ?1 )A D. ?x | ?1 ? x ? 2?

?

?

C. ?x | ?2 ? x ? ?1 ? )C

2.已知命题 p : ?x ? R , sin x ≤1,则( A. ?p : ?x ? R , sin x ≥1

B. ?p : ?x ? R , sin x ≥1

C. ?p : ?x ? R , sin x ? 1 D. ?p : ?x ? R , sin x ? 1 2008 1、已知集合 M ={ x|(x + 2)(x-1) < 0 },N ={ x| x + 1 < 0 } 则 M∩N =( )C A. (-1,1) B. (-2,1) C. (-2,-1) D. (1,2) 9、平面向量 a,b 共线的充要条件是( )D A. a,b 方向相同 B. a,b 两向量中至少有一个为零向量

C. ?? ? R , b ? ? a D. 存在不全为零的实数 ?1 , ?2 , ?1 a ? ?2 b ? 0 2009 (1) 已知集合 A ? 1,3,5,7,9? , B ? ?0,3,6,9,12? ,则 A ? B ? D (A)

r

r

r

r

r

?3,5?

?

(B)

?3, 6?

(C)

?3, 7?

(D)

?3,9?

(4)有四个关于三角函数的命题:

x 1 2 x + cos = p2 : ?x, y ? R , sin( x ? y) ? sin x ? sin y 2 2 2 ? 1 ? cos 2 x ? sin x p4 : sin x ? cos y ? x ? y ? p3 : ? x ? ? 0, ? ? , 2 2

p1 : ? x ? R, sin 2

其中假命题的是 A (A) p1 , p4 2010

(B) p2 , p4

(C) p1 , p3

(4) p2 , p3

(1)已知集合 A ? {x | x ? 2, x ? R}, B ? {x |

x ? 4, x ? Z} ,则 A ? B ? D

(A) (0,2) (B)[0,2] (C){0,2} (D){0,1,2} 2011 (1)已知集合 M ? ?0,1,2,3,4?, N ? ?1,3,5?, P ? M ? N, 则 P 的子集共有 B (A)2 个 (B)4 个 (C)6 个 (D)8 个 2012 (1) 、已知集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则 B (A)A?B ? (B)B?A ? (C)A=B (D)A∩B=?

2007-2012 高考复数考题汇总 2007 2 3 8 15. i 是虚数单位, i ? 2i ? 3i ? ? ? 8i ? . (用 a ? bi 的形式表示, a,b ? R ) 4 ? 4i 2008 3、已知复数 z ? 1 ? i ,则 A. 2 2009 2 复数 (A) 1 2010
.

z2 ?( z ?1
D. -2i

)A

B. -2

C. 2i

3 ? 2i ?C 2 ? 3i

(B) ?1

(C) i

(D) ?i

3 已知复数 z ? (A)

1 4

1 3 ?i ,则 = D 2 z (1 ? 3i) 1 (B) (C)1 2

(D)2

2011

5i ? 1 ? 2i C (A) 2 ? i (B) 1 ? 2i
2 复数 2012

(C) ?2 ? i

(D) ?1 ? 2i

-3+i (2)复数 z= 的共轭复数是 2+i (A)2+i (B)2-i

D (C)-1+i (D)-1-i

2007-2012 高考程序框图考题汇总 2007 5.如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? ( )C A.2450 B.2500 C.2550 D.2652 2008 6、右面的程序框图,如果输入三个实数 a、b、c,要求输出这三个数中最大的数,那么在空白的判断 框中,应该填入下面四个选项中的( )A A. c > x B. x > c C. c > b D. b > c 2009 (10)如果执行右边的程序框图,输入 x ? ?2, h ? 0.5 ,那么输出的各个数的和等于 B (A)3 (B) 3.5 (C) 4 (D)4.5

开始

开始
输入a,b,c

输入x,h

K=1
x=a

x?0 x ?1
b>x 是 x=b 否 是

S=0

k ? 50?




y ?0

y?x

y ?1

S=s+2k K=k+1

输出
x=c 否

x ? x?h
x?2

结束

输出x

结束

07年

08年

09年

.

开始

输入N,a1,a2,…,aN

k=1,A=a1,B=a1

x =ak k=k+1 是 x>A 否 是 x<B B=x 否

10年

A=x

k≥N 是 输出A,B



结束

12年

11年

2010 (8)如果执行右面的框图,输入 N=5,则输出的数等于 D (A)

5 4 6 5 (B) (C) (D) 4 5 5 6

2011 (5)执行右面得程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是 B (A)120 (B)720(C)1440 (D)5040 2012 (6)如果执行右边的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2,?,aN,输出 A,B,则 C A+B (A)A+B 为 a1,a2,?,aN 的和(B) 为 a1,a2,?,aN 的算术平均数 2 (C)A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最大的数和最小的数 (D)A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最小的数和最大的数 2007-2012 高考平面向量考题汇总 2007 4.已知平面向量 a ? (11) b ? (1 ? 1) ,则向量 ,, , A. (?2, 1) ? 2008 B. (?2, 1)

1 3 a? b?( 2 2 C. (?1 0) ,

)D D. (?1 2) , )A

5、已知平面向量 a =(1,-3) b =(4,-2) ? a ? b 与 a 垂直,则 ? 是( , , A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 2009

r

r

r

r

r

(7)已知 a ? ? ?3,2? , b ? ? ?1,0? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为 A (A) ?

1 7

(B)

1 7

(C) ?

1 6

(D)

1 6

2010 2.a,b 为平面向量,已知 a=(4,3) ,2a+b=(3,18) ,则 a,b 夹角的余弦值等于 C (A) 2011
.

8 65

(B) ?

8 65

(C)

16 65

(D) ?

16 65

(13)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直,则 k= 2012 (15)已知向量 a,b 夹角为 45°,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|= 3 2 2007-2012 高考数列考题汇总 2007 6.已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y ? x2 ? 2x ? 3 的顶点是 (b,c) ,则 ad 等于( A.3 B.2 C.1 D. ?2 16.已知 ?an ? 是等差数列, a4 ? a6 ? 6 ,其前 5 项和 S5 ? 10 ,则其公差 d ? 2008 8、设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则 A. 2 B. 4 C. .1/2 )B

。1

S4 ?( a2

)C

15 2

D.

17 2

13、已知{an}为等差数列,a3 + a8 = 22,a6 = 7,则 a5 = ____________15 2009 (A)38 (B)20 (C)10 (D)9

2 (8)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2m?1 ? 38 ,则 m ? C

(15) 等比数列{ an }的公比 q ? 0 , 已知 a2 =1,an?2 ? an?1 ? 6an , an }的前 4 项和 S4 = 则{ 2010 (17) (本小题满分 12 分)



15 2

设等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 5 , a10 ? ?9 。 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 ?an ? 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值。 (17)解: (1)由 an = a1 +(n-1)d 及 a3=5,a10=-9 得

{

a1 ? 2 d ?5 a1 ?9 d ??9

解得

{d ??2
……..6 分

a1 ?9

数列{an}的通项公式为 an=11-2n。 (2)由(1) 知 Sm=na1+

n(n ? 1) d=10n-n2 2
……12 分

因为 Sn=-(n-5)2+25. 所以 n=5 时,Sn 取得最大值。 2011 (17) (本小题满分 12 分)已知等比数列 {an } 中, a1 ? (I) Sn 为 {an } 的前 n 项和,证明:

Sn ?

1 ? an 2

1 1 ,公比 q ? 。 3 3

(II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ??? ? log3 an ,求数列 bn 的通项公式。

.

(I)? an ?

1? 1? ? ? 3 3

n ?1

? ?

?

?1? ? ? ? 3?

n

? 1? ?1 ? 1 ? 1 ? 1 n? n 3? 3 ? ?? 3 Sn ? 1 2 1? 3

? Sn ?

1 ? an 2

(II) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ???? ? log3 an
n( n ? 1) 2 n( n ? 1) 数列 bn 的通项公式为 bn =2 ?

=-(1+2+3+

?

+n)=-

2012 (12)数列{an}满足 an+1+(-1)n an =2n-1,则{an}的前 60 项和为 D (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830 (14)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=_______-2 2007-2012 高考三角函数及解三角形考题汇总 2007 3.函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? π ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是( 3? ? 2 ?
y
1
? ?? O 3 2 ?1
? 6

)A

y
? ? 3

1
? 6

? ? 2

O

?

x

?

?

x

?1

A.

B.

y

y
?
? 3

1
? ? 2 ? ? O 6

?

x

?1

?

? 2

? 6

1
? 3

O
D.

?

x

?1

C. 9.若

cos 2? 2 ,则 cos ? ? sin ? 的值为( ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ? 1 1 7 A. ? B. ? C. 2 2 2

)C

D.

7 2

17. (本小题满分 12 分) 如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个侧点 C 与 D .现测得 ?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? , 求塔高 AB . 17.解:在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? .

.

由正弦定理得 所以 BC ?

BC CD ? . sin ?BDC sin ?CBD

CD sin ?BDC s sin ? · . ? sin ?CBD sin(? ? ? ) s tan ? sin ? · . sin(? ? ? )

在 Rt△ ABC 中, AB ? BC tan ?ACB ?

2008 11、函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为( A. -3,1 B. -2,2 C. -3,

)C D. -2,

3 2

3 2

17、 (本小题满分 12 分) 如图,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD 交 AC 于 E,AB=2。 (1) 求 cos∠CBE 的值;(2)求 AE。 17.解:
? ? ? (Ⅰ)因为∠BCD ? 90 ? 60 ? 150 , CB ? AC ? CD ,

所以∠CBE ? 15 .
?

所以 cos∠CBE ? cos(45 ? 30 ) ?
? ?

6? 2 . ··········· ··········· 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· 6 4

(Ⅱ)在 △ ABE 中, AB ? 2 , 由正弦定理

AE 2 ? . ? ? sin(45 ? 15 ) sin(90? ? 15? )

2sin 30? 故 AE ? ? cos15?

2?

1 2

6? 2 4

··········· ·········· ·· ·········· ··········· ·· ? 6 ? 2 . ······················· 12 分

2009

D C E

A

B

(16)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的图像如图所示,则 f ?

? 7? ? 12

? ?? ?

。0

(17) (本小题满分 12 分) 如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知 AB ? 50m , BC ? 120m ,于 A 处测得水深 AD ? 80m ,于 B 处测得水深 BE ? 200m ,于 C 处测得水深 CF ? 110m , 求∠DEF 的余弦值。
.

(17) 解: 作 DM // AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.

DF ? MF 2 ? DM 2 ? 302 ?1702 ? 10 198 , DE ? DN 2 ? EN 2 ? 502 ?1202 ? 130 ,

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

EF ? ( BE ? FC ) 2 ? BC 2 ? 902 ? 1202 ? 150 . ... 分 ...6

w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

在 ?DEF 中,由余弦定理,

cos ?DEF ?

DE 2 ? EF 2 ? DF 2 1302 ? 1502 ? 102 ? 298 16 ? ? . 2 DE ? EF 2 ?130 ?150 65

... ...12 分

2010 (6)如图,质点 p 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 p0 ( 2 , ? 2 ) ,角速度为 1,那 么点 p 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为 C

4 ? ,a 是第三象限的角,则 sin( a ? ) =A 5 4 7 2 7 2 2 2 (A)(B) (C) (D) 10 10 10 10 ? (16) 在 △ ABC 中 , D 为 BC 边 上 一 点 , BC ? 3BD , AD ? 2 , ?ADB ? 135 . 若 AC ? 2 AB , 则
(10)若 sin a = BD=_____ 2 ? 5 2011 (7)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2? =B (A) ?

4 5

(B) ?

3 5

(C)

(11)设函数 f ( x) ? sin( 2 x ? (A)y= f (x) (0,

?

3 5

(D)

4 5

4

) ? cos( 2 x ?

?
4

) ,则( )D

π π )在单调递增,其图像关于直线 x = 对称 2 4 π π (B)y= f (x) 在(0, )单调递增,其图像关于直线 x = 对称 2 2 π π (C)y= f (x) 在(0, )单调递减,其图像关于直线 x = 对称 2 4 π π (D)y= f (x) 在(0, )单调递减,其图像关于直线 x = 对称 2 2 15 3 (15)△ABC 中 B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为 。 4
.

2012 π 5π (9)已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则 φ=A 4 4 π (A) 4 π (B) 3 π (C) 2 3π (D) 4 3asinC-ccosA

(17)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = (1)求 A (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c 解: (1)由 c = 3asinC-ccosA 及正弦定理得

? 1 3sin Asin C ? sin C cos A ? sin C ? 0 由于 sin C ? 0 ? sin( A ? ) ? 6 2 ? 又0 ? A ?? ?A ? 3
1 S? ABC ? bc sin A ? 3,? bc ? 4 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b 2 ? c 2 ? 8 (2) 2 解得b=c=2

2007-2012 高考统计与概率考题汇总 2007 12.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表
甲的成绩 环数 频数 7 5 8 5 9 5 10 5 环数 频数 乙的成绩 7 6 8 4 9 4 10 6 环数 频数 丙的成绩 7 4 8 6 9 6 10 4

s1,s2,s3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( A. s3 ? s1 ? s2 B. s2 ? s1 ? s3 C. s1 ? s2 ? s3 D. s2 ? s1 ? s3

)B

20. (本小题满分 12 分) 2 2 设有关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 . 1 3 , 1 , (Ⅰ)若 a 是从 0,2, 四个数中任取的一个数, b 是从 0,2 三个数中任取的一个数,求上述方程有实根 的概率. (Ⅱ)若 a 是从区间 [0, 任取的一个数, b 是从区间 [0, 任取的一个数,求上述方程有实根的概率. 3] 2] 20.解: 设事件 A 为“方程 a ? 2ax ? b ? 0 有实根” .
2 2 2 2 当 a ? 0 , b ? 0 时,方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根的充要条件为 a ≥ b .

(Ⅰ)基本事件共 12 个:

(0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, .其中第一个数表示 a 的取值,第二个数 0) (0 1) (0 2) (1 0) (11) (1 2) (2 0) (2 1) (2 2) (3 0) (31) (3 2)
.

表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 P( A) ?

9 3 ? . 12 4

0 (Ⅱ)试验的全部结束所构成的区域为 ( a,b) | 0 ≤ a ≤ 3,≤ b ≤ 2 . 0 构成事件 A 的区域为 (a,b) | 0 ≤ a ≤ 3,≤ b ≤ 2,a ≥ b .

?

?

?

?

1 3 ? 2 ? ? 22 2 2 所以所求的概率为 ? ? . 3? 2 3
2008 16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位:mm) ,结果如下:
271 甲品 种: 308 284 乙品 种: 320 273 310 292 322 280 314 295 322 285 319 304 324 285 323 306 327 287 325 307 329 292 325 312 331 294 328 313 333 295 331 315 336 301 334 315 337 303 337 316 343 303 352 318 356 318 307

由以上数据设计了如下茎叶图: 甲 3 7 5 5 8 7 3 9 8 5 7 5 4 3 4 5 4 1 0 2 1 0 3 1 27 28 29 30 31 32 33 34 2 35 4 2 4 2 0 1 3 6 5 6 3 2 3 7 5 2 6 5 4 7 6 7 8 9 8 乙

根据以上茎叶图,对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: ①___________________________________________________________________________________ ②___________________________________________________________________________________ 16. (1)乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或:乙品种棉花的纤维长度普遍大 于甲品种棉花的纤维长度) . (2)甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散. (或:乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花 的纤维长度更集中 (稳定) 甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大) . . (3)甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm. (4)乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近) .甲品种棉花的纤维长度 除一个特殊值(352)外,也大致对称,其分布较均匀. 注:上面给出了四个结论.如果考生写出其他正确答案,同样给分. 19、 (本小题满分 12 分)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对 某校 6 名学生进行问卷调查,6 人得分情况如下:5,6,7,8,9,10。把这 6 名学生的得分看成一个总体。 (1)求该总体的平均数; (2)用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名,他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体 平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率。 19.解: (Ⅰ)总体平均数为

.

1 (5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10) ? 7.5 . ······························4 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········· 6 (Ⅱ)设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5” .
从总体中抽取 2 个个体全部可能的基本结果有: (5, , (5, , (5, , (5, , (5, , (6, , (6, , 6) 7) 8) 9) 10) 7) 8)

(6, , (6, , (7, , (7, , (7, , (8, , (8, , (9, .共 15 个基本结果. 9) 10) 8) 9) 9) 10) 10) 10)
事件 A 包括的基本结果有: (5, , (5, , (6, , (6, , (6, , (7, , (7, .共有 7 个基本结果. 9) 10) 8) 9) 10) 8) 9) 所以所求的概率为

P ( A) ?

7 . ········································ 12 分 ··········· ·········· ··········· ········ ·········· ··········· ··········· ········ 15
) ,得散点图 1;对变量 u , v 有观测数据( u i , vi )

2009 3 对变量 x, y 有观测数据( xi , yi ) i 1.., ( 02 ?1 ,.

(i=1,2,?,10),得散点图 2. 由这两个散点图可以判断。C

(A)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 (B)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 (C)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 (D)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 (19) (本小题满分 12 分) 某工厂有工人 1000 名,其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工人) ,另外 750 名工人参加过长期培 训(称为 B 类工人).现用分层抽样方法(按 A 类,B 类分二层)从该工厂的工人中共抽查 100 名工人,调 查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数). (Ⅰ)A 类工人中和 B 类工人各抽查多少工人? (Ⅱ)从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2

表1:
生产能力分 组 人数

?100,110?
4 8

?110,120?

?120,130?
x
5

?130,140?
3

?140,150?

表2:
生产能力分组

?110,120?
6

?120,130?
y

?130,140?
36

?140,150?
18

人数

先确定 x, y ,再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言,A 类工人中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论)

.

(ii)分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数, 并估计该工厂工人和生产能力的平均数 (同一组中 的数据用该区间的中点值作代表) 。 (19)解: (Ⅰ) A 类工人中和 B 类工人中分别抽查 25 名和 75 名。 (Ⅱ)(ⅰ)由 4 ? 8 ? x ? 5 ? 3 ? 25 ,得 x ? 5 , ... 分 ...4

6 ? y ? 36 ? 18 ? 75 ,得 y ? 15 。
频率分布直方图如下

w.w.w. k.s .5.u.c.o.m

... 分 ...8 从直方图可以判断: B 类工人中个体间的差异程度更小。 (ii) x A ? ... 分 ...9

4 8 5 5 3 ?105 ? ?115 ? ?125 ? ?135 ? ?145 ? 123 , 25 25 25 25 25 6 15 36 18 xB ? ?1 1 5 ? ?1 2 5? ?135 ? ? 1 4 5 ,3 3 . 8 ? 1 75 75 75 75 25 75 x? ?1 2 3 ? ?1 3 3 . 8 1 3 1 . 1 ? 100 100
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

A 类工人生产能力的平均数,B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为 123,133.8 和 131.1. 2010 (14)设函数 y ? f ( x) 为区间 ? 0,1? 上的图像是连续不断的一条曲线,且恒有 0 ? f ? x ? ? 1,可以用随机 模拟方法计算由曲线 y ? f ( x) 及直线 x ? 0 , x ? 1 , y ? 0 所围成部分的面积,先产生两组区间 ? 0,1? 上 的均匀随机数 x1, x2..... xn 和 y1, y2..... yn ,每组 N 个,由此得到 N 个点 ? xi , yi ??i ? 1,2?, N ? 。再数出其中满
.

足 yi ? f ( xi )(i ? 1, 2?, N ) 的点数 N1 ,那么由随机模拟方法可得 S 的近似值为___________

N1 N

(19) (本小题满分 12 分) 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老人,结果如 下: 性别 是否需要 40 30 需要 160 270 不需要 (Ⅰ)估计该地区老年人中,需要志愿提供帮助的老年人的比例; (Ⅱ)能否有 99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的老 年人的比例?说明理由。附: 男 女

(19)解: (1) 调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比 例的估计值为

70 ? 14% . 500

……4 分

500 ? (40 ? 270 ? 30 ?160) 2 ? 9.967 (2) k ? 200 ? 300 ? 70 ? 430
2

由于 9.967 ? 6.635 所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. ……8 分 (3)由于(2)的结论知,该地区的老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该地区 男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比 例,再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好. ……12 分 2011 (6)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同, 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

(19) (本小题 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于 102 的产 品为优质产品,现用两种新配方(分别称为 A 分配方和 B 分配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并 测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 指标值分组 8 20 42 22 8 频数 B 配方的频数分布表 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 指标值分组 4 12 42 32 10 频数 (Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率;

.

? ?2, (t ? 94) ? (Ⅱ) 已知用 B 配方生产的一件产品的利润 (单位: 与其质量指标值 t 的关系式为 y ? ? 2, (94 ? t ? 102) y 元) ? 4, (t ? 102) ?
估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率, 并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润。

解:本 题考查概率的基本知识,属于容易题。 (Ⅰ)由实验结果知,用 A 配方生产的产品中优质品的频率为 方生产的产品中优质品率的估计值为 0.3。 由实验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为
32 ? 10 =0.42, 100 22 ? 8 =0.3 所以用 A 配 100

所以用 B 配方生产的产品中优质品率的估计值为 0.42. (Ⅱ)由条件知,用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率当且仅当 t≥94,由试验结果知,t≥94 的频率为 0.96,所以用 B 配方生产的一件产品的利润大 于 0 的概率估计值为 0.96. 用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的 利润为 1 ? ?4 ? ?- 2? ? 54 ? 2 ? 42 ? 4? =2.68(元) 100 2012
(3)在一组样本数据(x1,y1)(x2,y2) , ,?, n,yn) (x (n≥2,x1,x2,?,xn 不全相等)的散点图中,若所 1 有样本点(xi,yi)(i=1,2,?,n)都在直线 y= x+1 上,则这组样本数据的样本相关系数为 D 2 (A)-1 (B)0 1 (C) 2 (D)1

18.(本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售。如果当天卖不完, 剩下的玫瑰花做垃圾处理。 (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的 函数解析式。 (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

(1)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均数; (2)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利 润不少于 75 元的概率。 【命题意图】本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事件的和概率, 是简单题. 【解析】(Ⅰ)当日需求量 n ? 17 时,利润 y =85; 当日需求量 n ? 17 时,利润 y ? 10n ? 85 , ∴ y 关于 n 的解析式为 y ? ?

?10n ? 85, n ? 17, (n ? N ) ; n ? 17, ?85,

(Ⅱ)(i)这 100 天中有 10 天的日利润为 55 元,20 天的日利润为 65 元,16 天的日利润为 75 元,54 天的日利润为 85 元,所以这 100 天的平均利润为
.

1 (55 ?10 ? 65 ? 20 ? 75 ?16 ? 85 ? 54) =76.4; 100
(ii)利润不低于 75 元当且仅当日需求不少于 16 枝,故当天的利润不少于 75 元的概率为

p ? 0.16 ? 0.16 ? 0.15 ? 0.13 ? 0.1 ? 0.7
2007-2012 高考立体几何考题汇总 2007 8.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) , 可得这个几何体的体积是( )B

4000 3 cm A. 3 8000 3 cm B. 3 3 C. 2000cm D. 4000cm3
11.已知三棱锥 S ? ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上,球心

20 20 正视图 10 10 20 俯视图 20 侧视图

O 在 AB 上, SO ? 底面 ABC , AC ? 2r ,则球的体积与三棱锥
体积之比是( )D A. π B. 2π C. 3π 18. (本小题满分 12 分) D. 4π

D

, 如图,A B,C,D 为空间四点. △ ABC 中, ? 2,AC ? BC ? 2 . 在 等 AB 边三角形 ADB 以 AB 为轴运动. (Ⅰ)当平面 ADB ? 平面 ABC 时,求 CD ; (Ⅱ)当 △ ADB 转动时,是否总有 AB ? CD ?证明你的结论.
18.解: (Ⅰ)取 AB 的中点 E ,连结 DE,CE ,因为 ADB 是等 形,所以 DE ? AB . 当平面 ADB ? 平面 ABC 时, 因为平面 ADB ? 平面 ABC ? AB , 所以 DE ? 平面 ABC , 可知 DE ? CE 由 已 知 可 得 DE ? 3 EC ? 1 , 在 Rt△DEC 中 , ,

A
B

C
D
边 三 角

E B

A

C

CD ? DE ? EC ? 2 .
2 2

(Ⅱ)当 △ ADB 以 AB 为轴转动时,总有 AB ? CD . 证明: (ⅰ)当 D 在平面 ABC 内时,因为 AC= BC,AD ? BD ,所以 C,D 都在线段 AB 的垂直平分线上,即

AB ? CD . (ⅱ)当 D 不在平面 ABC 内时,由(Ⅰ)知 AB ? DE .又因 AC ? BC ,所以 AB ? CE . 又 DE,CE 为相交直线,所以 AB ? 平面 CDE ,由 CD ? 平面 CDE ,得 AB ? CD . 综上所述,总有 AB ? CD .
2008 12、已知平面α ⊥平面β ,α ∩β = l,点 A∈α ,A ? l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m∥α ,m∥β ,
.

则下列四种位置关系中,不一定成立的是( )D ... A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β D. AC⊥β 14、一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱 柱的高为 3 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为 _________

4 ? 3

18、 (本小题满分 12 分)如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正 视图和侧视图在下面画出(单位:cm) 。 (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连结 BC ' ,证明: BC ' ∥面 EFG。
6 2

D' G F B'

C'

2

2 4

E D A B C
4

正视图

侧视图

18.解: (Ⅰ)如图 2 6 4 (正视图) 4 (侧视图) 2 2 4 2 2 (俯视图) 6

··········· ··········· ········· 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ········· 3 (Ⅱ)所求多面体体积

V ? V长方体 ? V正三棱锥
1 ?1 ? ? 4? 4? 6 ? ? ? ? 2? 2?? 2 3 ?2 ?
284 D? (cm 2 ) . ························· 分 ··········· ·········· ··· 7 ·········· ··········· ··· G 3 F A? (Ⅲ)证明:在长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, 连结 AD ? ,则 AD? ∥ BC ? . E D 因为 E,G 分别为 AA? , A?D ? 中点, 所以 AD? ∥ EG , A 从而 EG ∥ BC ? .又 BC ? ? 平面 EFG , 所以 BC ? ∥面 EFG . 12 分 ?
2009 (9) 如图,正方体 ABCD ? A B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F,且 EF ? 1 结论中错误的是 D (A) AC ? BE (B) EF // 平面ABCD (C)三棱锥 A ? BEF 的体积为定值(D) ?AEF的面积与?BEF的面积相等
.

C?
B?
C B

1 ,则下列 2

09-9
(A) 48 ? 12 2 (C) 36 ? 12 2 (B) 48 ? 24 2 (D) 36 ? 24 2

09-11

(11)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位: cm2 )为 A

(18) (本小题满分 12 分) 0 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,⊿ PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90 (Ⅰ)证明:AB⊥PC (Ⅱ)若 PC ? 4 ,且平面 PAC ⊥平面 PBC ,求三棱锥 P ? ABC 体积。 (18)解: (Ⅰ)因为 ?PAB 是等边三角形, ?PAC ? ?PBC ? 90? , 所以 Rt ?PBC ? Rt ?PAC ,可得 AC ? BC 。 如图,取 AB 中点 D ,连结 PD , CD , 则 PD ? AB , CD ? AB , 所以 AB ? 平面 PDC , 所以 AB ? PC 。 ... 分 ...6
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

(Ⅱ)作 BE ? PC ,垂足为 E ,连结 AE . 因为

Rt ?PBC ? Rt ?PAC ,

所以 AE ? PC , AE ? BE . 由已知,平面 PAC ? 平面 PBC ,故 ?AEB ? 90? . ... 分 ...8

因为 Rt ?AEB ? Rt ?PEB ,所以 ?AEB, ?PEB, ?CEB 都是等腰直角三角形。 由已知 PC ? 4 ,得 AE ? BE ? 2 , ?AEB 的面积 S ? 2 . 因为 PC ? 平面 AEB , 所以三角锥 P ? ABC 的体积

1 8 V ? ? S ? PC ? 3 3
2010
.

....12 分 ...

(7) 设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 B (A)3 ? a2 (B)6 ? a2 (C)12 ? a2 (D) 24 ? a2 (15)一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的几 何体前的编号) ①②③⑤ ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 (18) (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为等腰梯形, AB ∥ CD , AC ? BD ,垂 足为 H , PH 是四棱锥的高。 (Ⅰ)证明:平面 PAC ? 平面 PBD ; (Ⅱ)若 AB ? 6 , ?APB ? ?ADB ? 60°,求四棱锥 P ? ABCD 的体积。 (18)解: (1)因为 PH 是四棱锥 P-ABCD 的高。 所以 AC ? PH,又 AC ? BD,PH,BD 都在平 PHD 内,且 PH ? BD=H. 所以 AC ? 平面 PBD. 故平面 PAC 平面 PBD. (2)因为 ABCD 为等腰梯形,AB ? CD,AC ? BD,AB= 所以 HA=HB=

……..6 分

6.

3.

因为 ? APB= ? ADR=600 所以 PA=PB= 可得 PH=

6 ,HD=HC=1.

3.
1 AC x BD = 2+ 3 . 2
……..9 分

等腰梯形 ABCD 的面积为 S=

所以四棱锥的体积为 V=

1 3? 2 3 x(2+ 3 )x 3 = 3 3

……..12 分

2011 (8)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的侧视图可以为 D

(16)已知两个圆锥有公共底面,且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,若圆锥底面面积是 这个球面面积的

3 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大 16

者的高的比值为 。1/3 (18) (本小题满分 12 分)
.

如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形。 DAB ? 60? , AB ? 2 AD, PD ? 底面 ABCD 。 ? (I)证明: PA ? BD (II)设 PD ? AD ? 1 ,求棱锥 D ? PBC 的高。

解: (Ⅰ )因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD2+AD2= AB2,故 BD ? AD 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD (Ⅱ) D 作 DE⊥PB 于 E, (I) BC⊥BD,又 PD⊥底面 ABCD , 过 由 知 所以 BC⊥平面 PBD, 而 DE ? 平面 PBD,故 DE⊥BC,所以 DE⊥平面 PBC 由题设知 PD=1,则 BD= 3 ,PB=2, 由 DE﹒PB=PD﹒BD 得 DE=
3 3 ,即棱锥 D ? PBC 的高为 2 2

2012 (7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为 B (A)6 (B)9 (C)12 (D)18 (8)平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的距离为 2,则此球的体积为 B (A) 6π (B)4 3π (C)4 6π (D)6 3π (19) (本小题满分 12 分) 1 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90° ,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点 2 (I)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比。

【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算,考查空间 想象能力、逻辑推理能力,是简单题. 【解析】(Ⅰ)由题设知 BC⊥ CC1 ,BC⊥AC, CC1 ? AC ? C ,∴ BC ? 面 ACC1 A1 , 面 ACC1 A ,∴ DC1 ? BC , 1 由题设知 ?A DC1 ? ?ADC ? 450 ,∴ ?CDC1 = 90 ,即 DC1 ? DC , 1
0

又∵ DC1 ?

.

又∵ DC ? BC ? C , ∴面 BDC ⊥面 BDC1 ;

∴ DC1 ⊥面 BDC ,

∵ DC1 ? 面 BDC1 ,

(Ⅱ)设棱锥 B ? DACC1 的体积为 V1 , AC =1,由题意得, V1 = ? 由三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积 V =1,

1 1? 2 1 ? 1? 1 = , 3 2 2

∴ (V ? V1 ) : V1 =1:1, ∴平面 BDC1 分此棱柱为两部分体积之比为 1:1. 2007-2012 高考不等式考题汇总 2008 7、已知 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,则使得 (1 ? ai x)2 ? 1 (i ? 1, 2,3) 都成立的 x 取值范围是( A.(0, )B

1 ) a1

B. (0,

2 ) a1

C. (0,

1 ) a3

D. (0,

2 ) a3

10、点 P(x,y)在直线 4x + 3y = 0 上,且 x, y 满足-14≤x-y≤7,则点 P 到坐标原点距离的取值范围 是( )B A. [0,5] B. [0,10] C. [5,10] D. [5,15] 2009

? 2 x ? y ? 4, ? (6)设 x, y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? y ? x ? 2 y ? 2, ?

B

(A)有最小值 2,最大值 3 (B)有最小值 2,无最大值 (C)有最大值 3,无最小值 (D)既无最小值,也无最大值 2010 (11)已知平行四边形 ABCD 的三个顶点为 A(-1,2) ,B(3,4) ,C(4,-2) ,点(x,y)在平行四边 形 ABCD 的内部,则 z=2x-5y 的取值范围是 B (A) (-14,16) (B) (-14,20) (C) (-12,18) (D) (-12,20) 2011 (14)若变量 x,y 满足约束条件 ?

?3 ? 2 x ? y ? 9 ,则 z=x+2y 的最小值为 ?6? x? y ?9

。-6

2012 (5) 、已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内部,则 z=-x+y 的取值范围是 A (A)(1- 3,2) (B)(0,2) (C)( 3-1,2) (D)(0,1+ 3)

2007-2012 高考圆锥曲线考题汇总 2007 2 7.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P ( x1 y1) P ( x2 y2) , P ( x3,y3 ) 在抛物线上,且 , , 2 , 1 3

2x2 ? x1 ? x3 ,则有(
A. FP ? FP ? FP 1 2 3 C. 2 FP ? FP ? FP 2 1 3

)C B. FP ? FP2 1
2 2

? FP3

2

D. FP2

2

? FP· FP3 1
. 3
2 2

13. 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2, 焦点到渐近线的距离为 6, 则该双曲线的离心率为 且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A, B .
.

21.本小题满分 12 分) ( 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 x ? y ? 12 x ? 32 ? 0 的圆心为 Q , 过点 P(0, 2)

(Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在常数 k ,使得向量 OA ? OB 与 PQ 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由. 21.解: (Ⅰ)圆的方程可写成 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 ,所以圆心为 Q(6, ,过 P(0, 且斜率为 k 的直线方程 0) 2) 为 y ? kx ? 2 . 代入圆方程得 x2 ? (kx ? 2)2 ?12x ? 32 ? 0 , 整理得 (1 ? k 2 ) x2 ? 4(k ? 3) x ? 36 ? 0 . ①

??? ??? ? ?

??? ?

直线与圆交于两个不同的点 A, B 等价于 ? ? [4(k ? 3)2 ] ? 4 ? 36(1 ? k 2 ) ? 42 (?8k 2 ? 6k ) ? 0 , 解得 ?

3 ? 3 ? ? k ? 0 ,即 k 的取值范围为 ? ? ,? . 0 4 ? 4 ?

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,则 OA ? OB ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) , 由方程①, x1 ? x2 ? ?

??? ??? ? ?


而 P(0 2) Q(6 0) PQ ? (6 ? 2) .所以 OA ? OB 与 PQ 共线等价于 ( x1 ? x2 ) ? 6( y1 ? y2 ) , ,, ,, , 将②③代入上式,解得 k ? ? 2008

??? ?

4(k ? 3) 1? k 2

又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 .



??? ??? ? ?

??? ?

3 ?3 ? .由(Ⅰ)知 k ? ? ,? ,故没有符合题意的常数 k . 0 4 ?4 ?

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为( )D 10 2 A. 3 2 B. 4 2 C. 3 3 D. 4 3 2 2 x y ? ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 15、过椭圆 5 4 5 的面积为______________ 3 2 2 2 20、 (本小题满分 12 分)已知 m∈R,直线 l: mx ? (m ? 1) y ? 4m 和圆 C: x ? y ? 8x ? 4 y ? 16 ? 0 。
2、双曲线 (1)求直线 l 斜率的取值范围; (2)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 1 的两段圆弧?为什么? 2 20.解: (Ⅰ)直线 l 的方程可化为 y ?

m 4m m x? 2 ,直线 l 的斜率 k ? 2 , 2分 m ?1 m ?1 m ?1
2

因为 m ≤

m 1 2 1 ( m ? 1) ,所以 k ? 2 ≤ ,当且仅当 m ? 1 时等号成立. 2 m ?1 2

所以,斜率 k 的取值范围是 ? ? , ? . ··························· 分 ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ····· 5 ? 2 2? (Ⅱ)不能. 6 分 由(Ⅰ)知 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,其中 k ≤

? 1 1?

1 . 2

.

圆 C 的圆心为 C (4, 2) ,半径 r ? 2 .圆心 C 到直线 l 的距离 d ? ?

2 1? k 2



9分

由k ≤

1 r 4 ,得 d ≥ ? 1 ,即 d ? .从而,若 l 与圆 C 相交,则圆 C 截直线 l 所得的弦所对的圆心角 2 2 5

小于

2? 1 .所以 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段弧. 12 分 3 2

2009 (5)已知圆 C1 : ( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的方程为 B (A) ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1 (C) ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1 (B) ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1 (D) ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1 。 y2 ? 4x

(14)已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 P ? 2,2? 为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为 (20)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点到 两个焦点的距离分别是 7 和 1; (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 P 为椭圆 C 的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 (20)解: (Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

OP OM

, ? e (e 为椭圆 C 的离心率)

a ? c ? 1, x2 y 2 ? ? 1. { 解得 a=4,c=3,所以椭圆 C 的方程为 16 7 a ? c ? 7.
(Ⅱ)设 M(x,y),P(x, y1 ),其中 x???4,4?. 由已知得 而e ?

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

x 2 ? y12 ? e2 . 2 2 x ?y


3 2 ,故 16( x2 ? y1 ) ? 9( x2 ? y 2 ). 4

由点 P 在椭圆 C 上得

y12 ?

112 ? 7 x 2 , 16

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

代入①式并化简得 9 y ? 112,
2

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

4 7 (?4 ? x ? 4), 轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 3

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

2010 2 (4)曲线 y ? x ? 2 x ? 1 在点(1,0)处的切线方程为 A (A) y ? x ? 1 (B) y ? ? x ? 1 (C) y ? 2 x ? 2 (D) y ? ?2 x ? 2 (5)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2) ,则它的离心率为 D (A) 6 (B) 5 (C)

6 2

(D)

5 2
2 2

(13)圆心在原点上与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切的圆的方程为-----------。 x ? y ? 2 (20) (本小题满分 12 分)

.

设 F1 , F2 分别是椭圆 E: x 2 +

y2 =1(0﹤b﹤1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两点, b2

且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 (Ⅰ)求 AB (Ⅱ)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值。 (20)解: (1)由椭圆定义知 ? ?F2 ? + ? ?? ? ? ? ?F2 ?? ? 又 2 ? AB ? = ? AF? ? ? ? ?F? ?? 得 ? AB ??

? ?

(2)L 的方程式为 y=x+c,其中 c ? 1 ? b2 设 A( x1,y1 ),B( x1,y1 ) ,则 A,B 两点坐标满足方程组

x ??y = y2+ c x 2 ? 2 ?1 b

化简得 (1 ? b2 ) x2 ? 2cx ? 1 ? 2b2 ? 0. 则 x1 ? x2 ?

?2c 1 ? 2b 2 , x1 x2 ? . 1 ? b2 1 ? b2

因为直线 AB 的斜率为 1,所以 ? ?? ?? ? ? x 2 ? x1 ? 即 则

4 ? 2 ? x2 ? x1 ? . 3

8 4(1 ? b2 ) 4(1 ? 2b2 ) 8b4 2 解得 b ? . ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1x2 ? ? ? 2 2 2 2 2 9 (1 ? b ) 1? b 1? b
x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 D 16 8 1 3 B. C. D. 2 3

2011 (4).椭圆 A.

1 3

2 2

(9)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直。l 与 C 交于 A,B 两点, AB =12,P 为 C 的准 线上一点,则 ? ABP 的面积为 C (A)18 (B)24 (C)36 (D)48 (20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x 2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点都在圆 C 上 (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交与 A,B 两点,且 OA ? OB ,求 a 的值。 解析:本题考查圆的方程和直线和圆的关系。

(Ⅰ)曲线 y ? x2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点为(0,1) ? 2 2,0) (3 故可设圆的圆心坐标为(3,t)则有 3 ?
2

3 ? ?t ?1? ? 3 所以圆的方程为 ?x?3? ? ? y ?1? ? 9 (Ⅱ)设 A( x , y ) B( x , y ) 其坐标满足方程组
解得 t=1, 则圆的半径为
1 1

?t-1? ? ?2
2

2? t
2

+

2

2

2

2

2

2

2

x? y?a ?0

?x?3? ? ?y ?1? ? 9
2 2

消去 y 得到方程 2 x ? (2a ? 8) x ? a ? 2a ? 1 ? 0 由已知可得判别式△=56-16a-4 a >0
2 2 2

.

由韦 达定理可得 x ? x ? 4 ? a , x x ? a
1 2

2

? 2a ? 1 2
2

1

2



由 OA ? OB 可得 x1 x2 ?
2

yy
1

2

? 0. 又 y ?
1

x ?a y
1

?

x

2

? a 。所以

xx
1

2

? a ( x1 ? x2) ? a ? 0
2



由①②可得 a=-1,满足△>0,故 a=-1。 2012
x2 y2 3a (4)设 F1、F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点,△F1PF2 是底角为 30° a b 2 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 1 (A) 2 2 (B) 3 3 (C) 4 )C 4 (D) 5

(10)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|=4 3, 则 C 的实轴长为 C (A) 2 (B)2 2 (C)4 (D)8 (20) (本小题满分 12 分) 设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点。 (I)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (II)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原点到 m, n 距离的比值。

【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、 线线平行等基础知识,考查数形结合思想和运算求解能力. 【解析】设准线 l 于 y 轴的焦点为 E,圆 F 的半径为 r , 则|FE|= p , | FA |?| FB|= | FD | = r ,E 是 BD 的中点, (Ⅰ) ∵ ?BFD ? 90 ,∴ | FA |?| FB|= | FD | = 2 p ,|BD|= 2 p ,
0

p ? y0 , 2 1 p 1 ∵ ?ABD 的面积为 4 2 ,∴ S?ABD = | BD | ( y0 ? ) = ? 2 p ? 2 p = 4 2 ,解得 p =2, 2 2 2 2 2 ∴F(0,1), FA|= 2 2 , ∴圆 F 的方程为: x ? ( y ? 1) ? 8 ; 0 (Ⅱ) 【解析 1】∵ A , B , F 三点在同一条直线 m 上, ∴ AB 是圆 F 的直径, ?ADB ? 90 , 1 3 3 0 由抛物线定义知 | AD |?| FA |? | AB | ,∴ ?ABD ? 30 ,∴ m 的斜率为 或- , 2 3 3 3 p 3 ∴直线 m 的方程为: y ? ? x ? ,∴原点到直线 m 的距离 d1 = p, 3 2 4 2 3 3 设直线 n 的方程为: y ? ? x ? 2 pb ? 0 , x ? b ,代入 x2 ? 2 py 得, x 2 ? 3 3 4 2 p ∵ n 与 C 只有一个公共点, ∴ ? = p ? 8 pb ? 0 ,∴ b ? ? , 3 6
设 A( x0 , y0 ),根据抛物线定义得,|FA|=
.

∴直线 n 的方程为: y ? ?

3 3 p p, x ? ,∴原点到直线 n 的距离 d2 = 12 3 6
2 p x0 )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) 2 2p 2 x0 x2 p 2 ) ? p ? 0 ? ? ? x0 ? 3 p 2 2p 2p 2

∴坐标原点到 m , n 距离的比值为 3. 【解析 2】由对称性设 A( x0 ,

点 A, B 关于点 F 对称得: B(? x0 , p ?

3p p ? p 3p 3p ?0 ) ,直线 m : y ? 2 2 x ? ? x ? 3 y ? 得: A( 3 p, 2 2 2 3p

x2 ? 2 py ? y ?

3p p x2 x 3 3 , ) ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P( 3 6 2p p 3 3

直线 n : y ?

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p?0 6 3 3 6 3p 3p : ?3。 2 6

坐标原点到 m, n 距离的比值为

2007-2012 高考函数导数考题汇总 2007 10.曲线 y ? e x 在点 (2,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( A.

)D

14.设函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? a) 为偶函数,则 a ? 19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x 2 (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性;

9 2 e 4

B. 2e

2

C. e

2

D.

e 2

2

.-1

(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值和最小值. 4 4 19.解: f ( x ) 的定义域为 ? ? , ∞? . ?

? 3 1? ? ?

? 3 ? 2

? ?

(Ⅰ) f ?( x) ? 当?

2 4 x 2 ? 6 x ? 2 2(2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? ? . 2x ? 3 2x ? 3 2x ? 3

3 1 1 ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?1 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 2

从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , 1? , ? ? , ∞? 单调增加,在区间 ? ?1 ? ? ? ,

? 3 ? 2

? ?

? 1 ? 2

? ?

? ?

1? ? 单调减少. 2?

.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最小值为 f ? ? ? ? ln 2 ? . 4 4 2 4 又 f ? ? ? ? f ? ? ? ln

? 3 1? ? ?

? 1? ? ?

1

? 3? ? 4?

?1? ?4?

3 9 7 1 3 1 1? 49 ? ? ? ln ? ? ln ? ? ?1 ? ln ? ? 0 . 2 16 2 16 7 2 2? 6 ? ?1? 1 7

所以 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值为 f ? ? ? ? ln . 2 ? 4 ? 16 ? 4 4? 2008 4、设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( A. e
2

? 3 1?

)B

B. e

C.

ln 2 2

D. ln 2

21、 (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ax ? b ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 。 x (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所围成的三角形面积为定值,并求此 定值。 21.解: (Ⅰ)方程 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 可化为 y ? 当 x ? 2 时, y ? 又 f ?( x ) ? a ?

7 x ? 3. 4

1 . ··········· ··········· ·········· ···· 2 分 ··········· ·········· ··········· ···· ·········· ··········· ··········· ···· 2

b , x2

b 1 ? ?2a ? 2 ? 2 , ?a ? 1, ? 于是 ? 解得 ? ?b ? 3. ?a ? b ? 7 , ? ? 4 4
3 . ··········· ··········· ·········· ······ 6 分 ··········· ·········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ······ x 3 (Ⅱ)设 P( x0,y0 ) 为曲线上任一点,由 y ? ? 1 ? 2 知曲线在点 P( x0,y0 ) 处的切线方程为 x
故 f ( x) ? x ?

? 3? y ? y0 ? ?1 ? 2 ? ( x ? x0 ) , ? x0 ?
即 y ? ? x0 ?

? ?

3? ? 3? ? ? ?1 ? 2 ? ( x ? x0 ) . x0 ? ? x0 ? ? 6 6? ,从而得切线与直线 x ? 0 的交点坐标为 ? 0, ? . ? x0 x0 ? ?

令x ? 0得 y ? ?

令 y ? x 得 y ? x ? 2x0 ,从而得切线与直线 y ? x 的交点坐标为 (2x0,x0 ) . ······ 分 ····· 10 ····· 2
.

所以点 P( x0,y0 ) 处的切线与直线 x ? 0 , y ? x 所围成的三角形面积为

1 6 ? 2 x0 ? 6 . 2 x

故曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 , y ? x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为 6 . ··········· ··········· ·········· ··········· ····· 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ····· ··············································· 12 2009 最大值为 C (A) 4
x

x (12)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值。设 f ( x) ? min 2 , x ? 2,10 ? x

?

?

(x ? 0),则 f ? x ? 的

(B) 5

(C) 6

(D) 7 。 y ? 3x ? 1

(13)曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为 (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 9a2 x ? a3 . (1)设 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值; (2)若 a ? (21)解: (Ⅰ)当 a=1 时,对函数 f ( x ) 求导数,得

1 ' ,且当 x ??1, 4a? 时, f ( x ) ? 12a 恒成立,试确定 a 的取值范围. 4

f ' ( x) ? 3x2 ? 6x ? 9.
令 f ' ( x) ? 0, 解得x1 ? ?1, x2 ? 3. 列表讨论 f ( x), f ( x) 的变化情况:
'
w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

x
f ' ( x)

(??, ?1)
+

?1
0 极大值 6

(-1,3) —

3 0 极小值-26

(3, ??)
+

f ( x)

?

?

?

所以, f ( x ) 的极大值是 f (?1) ? 6 ,极小值是 f (3) ? ?26. (Ⅱ) f ' ( x) ? 3x2 ? 6ax ? 9a 2 的图像是一条开口向上的抛物线,关于 x=a 对称. 若

1 ? a ? 1, 则f ' ( x)在[1,4a]上是增函数,从而 4

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

f ' ( x)在[1,4a]上的最小值是 f ' (1) ? 3 ? 6a ? 9a2 , 最大值是 f ' (4a) ? 15a2 .
由 | f ( x) |? 12a, 得 ?12a ? 3x ? 6ax ? 9a ? 12a, 于是有
' 2 2
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

f ' (1) ? 3 ? 6a ? 9a2 ? ?12a, 且f ' (4a) ? 15a2 ? 12a.

.

1 4 ? a ? 1,由f ' (4a ) ? 12a得0 ? a ? . 3 5 1 1 4 1 4 所以 a ? ( ,1] ? [? ,1] ? [0, ], 即a ? ( , ]. 4 3 5 4 5
由 f (1) ? ?12a得 ?
'
w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

若 a>1,则 | f ' (a) |? 12a2 ? 12a.故当x ?[1, 4a]时 | f ' ( x) |? 12a 不恒成立. 所以使 | f ' ( x) |? 12a( x ?[1, 4a]) 恒成立的 a 的取值范围是 ( , ]. 2010 (A) x x ? ?2或x ? 4

1 4 4 5

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

(9)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4 (x ? 0) ,则 x f ? x ? 2 ? ? 0 =B

?

?

?

?

(B) x x ? 0或x ? 4 (C) x x ? 0或x ? 6

?

?

?

?

(D) x x ? ?2或x ? 2

?

?

? lg x , 0 ? x ? 10 ? (12)已知函数 f(x)= ? 1 若 a,b,c 均不相等,且 f(a)= f(b)= f(c),则 abc 的取值范围是 C ?? 2 x ? 6, x ? 10 ?
(A) (1,10) (B)(5,6) (C)(10,12) (D)(20,24) (21)本小题满分 12 分)
x 2 设函数 f ? x ? ? x e ? 1 ? ax

?

?

(Ⅰ)若 a= (21)解: (Ⅰ) a ?

1 ,求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若当 x ≥0 时 f ? x ? ≥0,求 a 的取值范围 2

1 1 2 x 时, f ( x) ? x( e ? 1) ? x , f '( x) ? e x ?1 ? xe x ? x ? (e x ?1)( x ? 1) 。当 x ? ? ??, ?1? 时 2 2

f '( x) ? ? ;当 x ? ? ?1,0? 时, f '( x) ? 0 ;当 x? ? 0, ??? 时, f '( x) ? 0 。故 f ( x) 在 ? ??, ?1? , ? 0,??? 单
调增加,在(-1,0)单调减少。 (Ⅱ) f ( x) ? x( xa ?1 ? ax) 。令 g ( x) ? xa ? 1 ? ax ,则 g '( x) ? e x ? a 。若 a ? 1 ,则当 x? ? 0, ??? 时,

g '( x) ? ? , g ( x) 为减函数,而 g (0) ? 0 ,从而当 x≥0 时 g ( x) ≥0,即 f ( x) ≥0.
若 a ? ? ,则当 x ? ? 0,ln a ? 时, g '( x) ? ? , g ( x) 为减函数,而 g (0) ? 0 ,从而当 x ? ? 0,ln a ? 时 g ( x) < 0,即 f ( x ) <0. 综合得 a 的取值范围为 ? ??,1? 2011

3 下列函数中,既是偶函数又在 ? 0,??? 单调递增的函数是 B A. y ? x
3

B. y ? x ?1

C. y ? ? x ? 1
2

D. y ? 2

?x

(10)在下列区间中,函数 f ( x) ? e ? 4 x ? 3 的零点所在的区间为 C
x

1? (12) 已知函数 y= f (x) 的周期为 2, x ? ?? 1,时 f (x) =x2,那么函数 y = f (x) 的图像与函数 y = lg x 的图 当
.

像的交点共有 A (A)10 个 (B)9 个 (C)8 个 (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

(D)1 个

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 。 x ?1 x ln x (Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)证明:当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ? 。 x ?1 解析:本题考查导数的基本概念和几何意义,

(Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

? f (1) ? 1, 1 ? 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 f '(1) ? ? , ? ? 2

?b ? 1, ? ?a 1 ?2 ?b ? ? 2 , ?

解得 a ? 1 , b ? 1 。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)=

ln x 1 ? , 所以 x ?1 x

ln x 1 ? ? 2 ln x ? f ( x) ? ? x ? 1 1 ? x2 ? ? 考虑函数
2

x

2

?1? ? x ? ?
2

2 2 ? x ?1 则 h′(x)= ? x ?? 2 x x
2

?

? ?x?1?
x
2

所以 x≠1 时 h′(x)<0 而 h(1)=0 故 ln x x ? ?0,1? 时 h(x)>0 可得 f ( x ) ? x ?1 ln x x ? ?1 ? ?? h(x)<0 可得 f ( x ) ? , x ?1 ln x 从而当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ? 。 x ?1 2012
1 (11)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是 B 2 (A)(0, 2 ) 2 (B)( 2 ,1) 2 (C)(1, 2) (D)( 2,2)

(13)曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________y=4x-3 (x+1)2+sinx (16)设函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=____2 x2+1 (21)(本小题满分 12 分)
.

设函数 f(x)= ex-ax-2 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时请写 清题号。
2007-2012 高考平面几何证明考题汇总 2007 22.A(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AP 是 ? O 的切线, P 为切点, AC 是 ? O 的 割线,与 ? O 交于 B,C 两点,圆心 O 在 ?PAC 的内部, 点 M 是 BC 的中点. , (Ⅰ)证明 A P,O,M 四点共圆; (Ⅱ)求 ?OAM ? ?APM 的大小.

P

A B M

O

22.A (Ⅰ)证明:连结 OP,OM . 因为 AP 与 ? O 相切于点 P ,所以 OP ? AP . 因为 M 是 ? O 的弦 BC 的中点,所以 OM ? BC . 于是 ?OPA ? ?OMA ? 180° . A 由圆心 O 在 ?PAC 的内部, 可知四边形 APOM 的对角互补, , 所以 A P,O,M 四点共圆. , , , ( Ⅱ ) 解 : 由 ( Ⅰ ) 得 A P O M四 点 共 圆 , 所 以

C
P

O
B M

?OAM ? ?OPM . 由(Ⅰ)得 OP ? AP . 由圆心 O 在 ?PAC 的内部,可知 ?OPM ? ?APM ? 90° . 所以 ?OAM ? ?APM ? 90° .

C

2008 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为 A ,过 A 点作直线 AP 垂直直线 OM ,垂足为 P .

OP ? OA ; (Ⅰ)证明: OM ?
2

(Ⅱ)N 为线段 AP 上一点, 直线 NB 垂直直线 ON , 且交圆 O 于 B 点. B 点的切线交直线 ON 于 K . 过 证 明:∠OKM ? 90 .
?

B A N P

K M

O

22.解: (Ⅰ)证明:因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OA ? AM . 又因为 AP ? OM ,在 Rt△OAM 中,由射影定理知,

OA2 ? OM ? . ······································5 分 OP ······································ ·········· ··········· ··········· ······
.

(Ⅱ)证明:因为 BK 是圆 O 的切线, BN ? OK .

OK ,又 OB ? OA , 同(Ⅰ) ,有 OB ? ON ?
2

OM ? ON ? ,即 OK 所以 OP ?
又 ∠NOP ? ∠MOK ,

ON OM ? . OP OK
?

所以 △ONP ∽△OMK ,故∠OKM ? ∠OPN ? 90 . ················ 10 分 ··········· ····· ·········· ······ 2009 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲
? 如图,已知 ? ABC 中的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H , ? B=60 , F 在 AC 上,且

AE ? AF 。

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

(1)证明: B, D, H , E 四点共圆; (2)证明:CE 平分 ? DEF。 (22)解: (Ⅰ)在△ABC 中,因为∠B=60°, 所以∠BAC+∠BCA=120°. 因为 AD,CE 是角平分线, 所以∠HAC+∠HCA=60°, 故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=180°, 所以 B,D,H,E 四点共圆。 (Ⅱ)连结 BH,则 BH 为 ?ABC 的平分线,得 ?HBD ? 30° 由(Ⅰ)知 B,D,H,E 四点共圆, 所以 ?CED ? ?HBD ? 30° 又 ?AHE ? ?EBD ? 60°,由已知可得 EF ? AD , 可得 ?CEF ? 30°
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m w.w.w.k. s.5.u.c.o.m w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

所以 CE 平分 ? DEF 2010 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图:已知圆上的弧 ? ? BD ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 AC ? E 点,证明:
.

(Ⅰ) ?ACE = ?BCD 。 (Ⅱ) BC =BE x CD。 (22)解: (Ⅰ)因为 ? ? BD , AC ? 所以 ?BCD ? ?ABC . 又因为 EC 与圆相切于点 C ,故 ?ACE ? ?ABC 所以 ?ACE ? ?BCD . (Ⅱ)因为 ?ECB ? ?CDB , ?EBC ? ?BCD , 所以 ? BDC ?? ECB ,故 即 2011 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲如图, D , E 分别为 ?ABC 的边 AB , AC 上的点, 且不与 ?ABC 的顶点重合。已知 AE 的长为 m, AC 的长为 n,AD, AB 的长是关于 x 的方程 x ? 14 x ? mn ? 0 的两个根。
2

2

??5 分

BC CD ? . BE BC
??10 分

B C2 ? B E C.D ?

(Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆; (Ⅱ)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6 ,求 C , B , D , E 所在圆的半 径。

解析: Ⅰ)连结 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中,AD×AB=mn=AE×AC ( AD AE ? 即 ,又∠DAE=∠CAB,从而△ADE~△ACB AC AB 因此∠ADE=∠ACB,所以 C,B,D,E 四点共圆。 (Ⅱ)m=4,n=6,方程 x 2 ? 14 x ? mn ? 0 的两根为 2,12.即 AD=2,AB=12 取 CE 的中点 G, 的中点 F, DB 分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线, 两垂线交于点 H, 连结 D,H, 因为 C,B,D,E 四点共圆,所以圆心为 H,半径为 DH.由于∠A=90
0

故 GH∥AB,HF∥AC.从而 HF=AG=5,DF=5,故半径为 5 2 . 2012
(22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F,G 两点,若 CF//AB, 证明:
A

(Ⅰ)CD=BC; (Ⅱ)△BCD∽△GBD

G

E D

F

.
B C

【命题意图】本题主要考查线线平行判定、三角形相似的判定等基础知识,是简单题. 【解析】(Ⅰ) ∵D,E 分别为 AB,AC 的中点,∴DE∥BC, ∵CF∥AB, ∴BCFD 是平行四边形, ∴CF=BD=AD, 连结 AF,∴ADCF 是平行四边形, ∴CD=AF, ∵CF∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC; (Ⅱ) ∵FG∥BC,∴GB=CF, 由(Ⅰ)可知 BD=CF,∴GB=BD, ∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD∽△GBD.

.


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