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新人教A版选修2-2《1.6 微积分基本定理》知能检测及答案


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【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中数学 1.6 微积分基 本定理课后知能检测 新人教 A 版选修 2-2

一、选择题 1.设 a=? x dx,b=?1x dx,
1

?0

1 3

2

?0

c=?1x3dx,则 a,b,c 的大小关系是(

?0

)

A.a>b>c C.a>c>b 【解析】 ∵a=? x 3 dx=
1

B.c>a>b D.c>b>a
1

?

? ? ?0

1

0

3 x3? 1 2 =4;b=? x dx= 3 ? ?0 ?
0

1

1 x4? 1 3 =3,c=? x dx= 4 ? ?0 ?
0

1

1 =4,∴a>b>c. 【答案】 A

x2,x∈[0, , ? ? 2.已知 f(x)=?1 2 ? ?x,x∈[1,e
值为( 4 A.3 7 C.3 【解析】 【答案】 C
1 2

(其中 e 为自然对数的底数),则

f(x)dx 的

) 5 B.3 8 D.3 1 ? f(x)dx=? x dx+∫e 1xdx=3x3? ?0 ?
2

1

1

?e +ln x? ?1

2

1 7 =3+2=3.

0

3.(2013·安阳高二检测)?1|1-x|dx=(

?0

)

A.0 C.2

B.1 D.-2

【解析】 ?1(1-x)dx+?2(x-1)dx

?0

?1

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1 2 ? =(x- x )? 2 ?0

1

1 2 ? +( x -x)? 2 ?1

2

1 1 1 =(1- )+( ×4-2)-( -1) 2 2 2 =1. 【答案】 B 4.设 f(x)=ax +c(a≠0),若?1f(x)dx=f(x0),0≤x0≤1,则 x0 的值为(
2

?0

)

A.-

3 3

B. D.
1

3 3 1 3 1 1 2 = a+c,∴ax0+c= a+c, 3 3

1 C.- 3
1 0

1 3 ? 【解析】 ∵? f(x)dx=( ax +cx)? 3 ?0 ? 1 3 2 ∴x0= .∵0≤x0≤1.∴x0= . 3 3 【答案】 B 5.若?k(2x-3x )dx=0,则 k 等于(
2

?0

) B.1 D.不确定
k

A.0 C.0 或 1
k
2 2

? 【解析】 ∵? (2x-3x )dx=(x -x )? ?0 ?0
3

=k -k ,

2

3

∴k -k =0,即 k=0 或 k=1, 又当 k=0 时,不合题意,∴k=1. 【答案】 B 二、填空题 π 6.已知函数 f(a)=?asin xdx,则 f[f( )]=________. 2 ?
0

2

3

【解析】 ∵f(a)=?asin xdx=(-cos x)?

?0

? ?0

a

=1-cos a.

π π ∴f( )=1-cos =1. 2 2 π ∴f[f( )]=f(1)=1-cos 1. 2 【答案】 1-cos 1
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7.(2012·江西高考)计算定积分

(x +sin x)dx=________.

2

1 3 2 【解析】 ∵( x -cos x)′=x +sin x, 3 1 3 ? (x +sin x)dx=( x -cos x)? 3 ?-1
2 1



2 = . 3

【答案】

2 3

1 1 8.(2013·福州高二检测)?2( + 2)dx=________.

?1 x x

1 ? 【解析】 ∵? ( + 2)dx=(ln x- )?
2

1

1

2

?1 x x

x ?1

1 1 =(ln 2- )-(ln 1-1)=ln 2+ . 2 2 1 【答案】 ln 2+ 2 三、解答题 9.计算下列定积分: (1)?2
1

1

? x x+

dx;

(2)

(cos x+2 )dx. 1 1 dx=?2( - )dx ? x x+1
1

x

1 【解】 (1)∵?2 ? x x+
1

? =[ln x-ln(x+1)]? ?1

2

4 =ln . 3

(2)

π ? 2 ?2 (cos x+2 )dx=(sin x+ln 2) ?-π ? 2
x x

? ?x ,x≤0, 10.(1)设 f(x)=? ?cos x-1,x>0, ?

2

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f(x)dx.

(2)求

x2dx(a>0).
1 ? 3 x dx+? (cos x-1)dx=3x ? ?-1 ?
2 1 0 0

【解】 (1)

f(x)dx=

? +(sin x-x)? ?0

1



2 sin 1-3.
? ?x,x≥0, 2 (2)由 x =? ?-x,x<0, ?



?2x+1,x∈[-2,2], ? 11.已知 f(x)=? 2 ?1+x ,x∈ ,4], ?

40 求使?3f(x)dx= 恒成立的 k 值. 3 ?
k

【解】 (1)当 k∈(2,3]时,

? f(x)dx=? (1+x )dx ?k ?k
1 3 ? =(x+ x )? 3 ?k
3

3

3

2

1 1 3 40 3 =3+ ×3 -(k+ k )= 3 3 3 整理得 k +3k+4=0, 即 k +k -k +3k+4=0, ∴(k+1)(k -k+4)=0, ∴k=-1. 而 k∈(2,3],∴k=-1 舍去. (2)当 k∈[-2,2]时,
2 3 2 2 3

? f(x)dx=? (2x+1)dx+? (1+x )dx ?k ?k ?2 ? =(x +x)? ?k
2 2

3

2

3

2

1 3 ? +(x+ x )? 3 ?2

3

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1 1 2 2 3 3 =(2 +2)-(k +k)+(3+ ×3 )-(2+ ×2 ) 3 3 = 40 40 2 -(k +k)= , 3 3
2

∴k +k=0, 解得 k=0 或 k=-1, 综上所述,k=0 或 k=-1.

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