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江苏省盐城市射阳二中2015-2016学年高二上学期第二次调研数学试卷Word版含解析

2015-2016 学年江苏省盐城市射阳二中高二(上)第二次调研数 学试卷

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置

上)

1.过点(2,﹣2),(﹣2,6)的直线方程是



2.命题“?x∈[﹣1,1],x2﹣3x+1<0”的否定是



3.椭圆

=1 的准线方程为



4.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,8,10,11,9.已知这组数据

的平均数为 10,则这组数据的方差为



5.过点(2,﹣2)的抛物线的标准方程是



6.在区间[﹣5,5]内随机地取出一个数 a,则使得 a∈{a|﹣a2+a+2>0}的概率为



7.已知△ ABC 和△ DEF,则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的 条件(填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分又不必要”中的一个).

8.椭圆 为

上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1,F2 的连线互相垂直,则△ PF1F2 的面积 .

9.定义某种新运算⊙:s=a⊙b 的运算原理如图流程图所示,则 5⊙4﹣3⊙4=



10.已知变量 x、y 满足

,则 z=2x+y 的最大值



11.已知双曲线的中心是原点,焦点到渐近线的距离为 2 ,一条准线方程为 y=﹣1,则其

渐近线方程为



12.过椭圆 + =1(a>b>0)的右焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 M、N 两点,以

MN 为直径的圆恰好过左焦点,则椭圆的离心率等于



13.若“(x﹣a)(x﹣a﹣1)<0”是“1<2x<16”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围





14.已知椭圆

=1(a>b>0)的离心率 e= ,A,B 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆

上不同于 A,B 的一点,直线 PA,PB 倾斜角分别为 α,β,则

=



二、解答题(本大题共 7 小题,共计 58 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤)

15.已知函数 f(x)=

,x∈[1,+∞).

(1)当 a=4 时,求函数 f(x)的最小值; (2)若对任意 x∈[1,4],f(x)>6 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

16.已知 a>0 且 a≠1.设命题 p:函数 y=ax 是定义在 R 上的增函数;命题 q:关于 x 的方 程 x2+ax+1=0 有两个不等的负实根.若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取 值范围.

17.从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)分 成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的 信息,回答下列问题: (1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)根据上面补充完整的频率分布直方图估计出本次考试的平均分; (3)用分层抽样的方法在分数段为[40,60)的学生中抽取一个容量为 5 的样本,将该样本 看成一个总体,从中任取 2 人,求至少有 1 人在分数段[50,60)的概率.

18.已知椭圆 Γ: + =1(a>b>0)的焦距为 4,且椭圆 Γ 过点 A(2, ).
(1)求椭圆 Γ 的方程; (2)设 P、Q 为椭圆 Γ 上关于 y 轴对称的两个不同的动点,求 ? 的取值范围.
19.已知圆 M:x2+(y﹣2)2=1,直线 l:y=﹣1,动圆 P 与圆 M 相外切,且与直线 l 切, 设动圆圆心 P 的轨迹为 E. (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)若点 A,B 是 E 上的两个动点,O 为坐标原点,且 ? =﹣16,求证:直线 AB 恒 过定点.
20.某市出租汽车的收费标准如下:在 3km 以内(含 3km)的路程统一按起步价 7 元收费, 超过 3km 以外的路程按 2.4 元/km 收费.而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分: 一是固定费用约为 2.3 元;二是燃油费,约为 1.6 元/km;三是折旧费,它与路程的平方近 似成正比,且当路程为 100km 时,折旧费约为 0.1 元.现设一次载客的路程为 xkm. (Ⅰ)试将出租汽车一次载客的收费 F 与成本 C 分别表示为 x 的函数; (Ⅱ)若一次载客的路程不少于 2km,则当 x 取何值时,该市出租汽车一次载客每 km 的收 益 y(y= )取得最大值?

21.设 A1、A2 与 B 分别是椭圆 E:

的左右顶点与上定点,直线 A2B

与圆 C:x2+y2=1 相切.

(1)求证:



(2)P 是椭圆 E 上异于 A1、A2 的一点,直线 PA1、PA2 的斜率之积为﹣ ,求椭圆 E 的方

程;

(3)直线 l 与椭圆 E 交于 M、N 两点,且

,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系,并

说明理由.

2015-2016 学年江苏省盐城市射阳二中高二(上)第二次 调研数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上) 1.过点(2,﹣2),(﹣2,6)的直线方程是 2x+y﹣2=0 . 【考点】直线的两点式方程. 【专题】直线与圆. 【分析】利用两点式即可得出.

【解答】解:过点(2,﹣2),(﹣2,6)的直线方程是



化为 2x+y﹣2=0. 故答案为:2x+y﹣2=0. 【点评】本题考查了两点式,属于基础题.

2.命题“?x∈[﹣1,1],x2﹣3x+1<0”的否定是 ?x∈[﹣1,1],x2﹣3x+1≥0 . 【考点】命题的否定. 【专题】简易逻辑. 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题, 所以命题“?x∈[﹣1,1],x2﹣3x+1<0”的否定是:?x∈[﹣1,1],x2﹣3x+1≥0. 故答案为:?x∈[﹣1,1],x2﹣3x+1≥0. 【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系.

3.椭圆

=1 的准线方程为 x=



【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】首先根据椭圆的方程求出 a 和 b 的值,再由 a,b,c 之间的关系可得 c,根据准线 方程为 x=± 求得答案.

【解答】解:因为椭圆的方程为:

=1,

所以 a=4,b= , 由 a,b,c 之间的关系可得:c=3, 所以准线方程为 x=± =± .

故答案为:



【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.属基础题.

4.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,8,10,11,9.已知这组数据 的平均数为 10,则这组数据的方差为 2 . 【考点】极差、方差与标准差. 【专题】概率与统计. 【分析】根据题意,五个数据的平均数为 10,可以利用平均数的公式,求出 x=12,然后可 以用方差的计算公式,求出这五个数的方差,即可得到正确答案. 【解答】解:∵五个数 x,8,9,10,11 的平均数为 10, ∴ (x+8+9+10+11)=10, ∴x=12, ∴五个数的方差为:s2= [(12﹣10)2+(8﹣10)2+(9﹣10)2+(10﹣10)2+(11﹣10) 2]=2, 故答案为:2 【点评】本题给出五个数,通过已知平均数的情况下求出未知数 x 的值,并且进一步求它们 的方差,着重考查了平均数和方差的计算公式,属于基础题.

5.过点(2,﹣2)的抛物线的标准方程是 y2=2x 或 x2=﹣2y . 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】分别设焦点在 x 轴和在 y 轴上的抛物线的方程,然后将点代入即可. 【解答】解:①设焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程为 y2=ax,将点(2,﹣2)代入可得 a=2, 故抛物线的标准方程为 y2=2x ②设焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程为 x2=by,将点(2,﹣2)代入可得 b=﹣2 故抛物线的标准方程为 x2=﹣2y 故答案为:y2=2x 或 x2=﹣2y 【点评】本题主要考查抛物线的标准方程,考查学生的计算能力,正确分类是关键.

6.在区间[﹣5,5]内随机地取出一个数 a,则使得 a∈{a|﹣a2+a+2>0}的概率为



【考点】几何概型. 【专题】概率与统计. 【分析】根据几何概型计算公式,用 a∈{a|﹣a2+a+2>0}的长度除以区间[﹣5,5]的长度,即 可得到本题的概率. 【解答】解:∵a∈{a|﹣a2+a+2>0} ∴a∈(﹣1,2) 区间(﹣1,2]的长度为 2﹣(﹣1)=3,区间[﹣5,5]的长度为 5﹣(﹣5)=10,

∴满足题意的概率为 P=

故答案为: . 【点评】本题用在区间上取值,求满足条件事件的概率为例,考查了几何概型及其计算方法 的知识,属于基础题.

7.已知△ ABC 和△ DEF,则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的 充分不必 要 条件(填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分又不必要”中的一个). 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】结合充分必要条件的定义,分别对充分性,必要性进行判断即可. 【解答】解:“这两个三角形全等”能推出“这两个三角形面积相等”,是充分条件, “这两个三角形面积相等”推不出“这两个三角形全等”,不是必要条件,

故答案为:充分不必要. 【点评】本题考查了充分必要条件,是一道基础题.

8.椭圆

上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1,F2 的连线互相垂直,则△ PF1F2 的面积

为 24 . 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点坐标,利用点 P 与椭圆的两个焦点 F1,F2 的连线互 相垂直以及点 P 在椭圆上,求出点 P 的纵坐标,从而计算出△ PF1F2 的面积. 【解答】解:由题意得 a=7,b=2 , ∴c=5,两个焦点 F1 (﹣5,0),F2(5,0), 设点 P(m,n),

则 由题意得

=﹣1, + =1,

∴n2= ,n=± ,

则△ PF1F2 的面积为 ×2c×|n|= ×10× =24, 故答案为:24. 【点评】本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、方程组的解法等基础知识,考 查运算求解能力,考查数形结合思想,属于基础题.

9.定义某种新运算⊙:s=a⊙b 的运算原理如图流程图所示,则 5⊙4﹣3⊙4= 9 .

【考点】选择结构. 【专题】新定义. 【分析】通过程序框图判断出 S=a⊙b 的解析式,然后根据解析式求出 5⊙4﹣3⊙4 的值即 可.
【解答】解:有框图知 S=a⊙b=
∴5⊙4﹣3⊙4=5×(4+1)﹣4×(3+1)=9 故答案为:9 【点评】本题主要考查了选择结构,以及分段函数,新定义题是近几年常考的题型,解决新 定义题关键是理解题中给的新定义.

10.已知变量 x、y 满足

,则 z=2x+y 的最大值 12 .

【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;作图题;不等式的解法及应用. 【分析】由题意作出其平面区域,将 z=2x+y 化为 y=﹣2x+z,z 相当于直线 y=﹣2x+z 的纵 截距,由几何意义可得.

【解答】解:由题意作出其平面区域,

将 z=2x+y 化为 y=﹣2x+z,z 相当于直线 y=﹣2x+z 的纵截距,



可解得,

x=5,y=2; 故 z=2x+y 的最大值为 2×5+2=12; 故答案为:12. 【点评】本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题.

11.已知双曲线的中心是原点,焦点到渐近线的距离为 2 ,一条准线方程为 y=﹣1,则其 渐近线方程为 y=± x . 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】双曲线的焦点在 y 轴上,且 =1,焦点到渐近线的距离为 2 ,求出 a,b,c, 即可求出双曲线的渐近线方程. 【解答】解:∵一条准线方程为 y=﹣1, ∴双曲线的焦点在 y 轴上,且 =1, ∵焦点到渐近线的距离为 2 ,



=2 ,

∴b=2 , ∴a=2,c=4 ∴渐近线方程为 y=± x=± x. 故答案为:y=± x. 【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其渐近线方程、点到直线的距离公式,属于基础题.

12.过椭圆 + =1(a>b>0)的右焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 M、N 两点,以

MN 为直径的圆恰好过左焦点,则椭圆的离心率等于 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.

﹣1 .

【分析】过椭圆的右焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 M、N 两点,可取 M

.又

以 MN 为直径的圆恰好过左焦点,可得

,再利用 b2=a2﹣c2, 即可得出.

【解答】解:∵过椭圆的右焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 M、N 两点,∴可取

M



又以 MN 为直径的圆恰好过左焦点,∴



化为 a2﹣c2=2ac,∴e2+2e﹣1=0,e>0.

解得

=



故答案为:



【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的性质,属于基础题.

13.若“(x﹣a)(x﹣a﹣1)<0”是“1<2x<16”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是 (0,3) . 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑.

【分析】将问题转化为“a<x<a+1”是“0<x<4”的充分不必要条件,得不等式组,解出即可. 【解答】解:若“(x﹣a)(x﹣a﹣1)<0”是“1<2x<16”的充分不必要条件 ?“a<x<a+1”是“0<x<4”的充分不必要条件

?

,解得:0<a<3,

故答案为:(0,3). 【点评】本题考查了充分必要条件,考查了转化思想,是一道基础题.

14.已知椭圆

=1(a>b>0)的离心率 e= ,A,B 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆

上不同于 A,B 的一点,直线 PA,PB 倾斜角分别为 α,β,则

=



【考点】椭圆的简单性质;两角和与差的余弦函数. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】利用斜率公式,表示出 tanα ,tan

,利用离心率化简椭圆方程,再根

据和差的余弦公式,即可求得结论.

【解答】解:由题意,A(﹣a,0),B(a,0),设 P(x,y),则 tanα= ,tan



∴tanαtanβ=

=

∵椭圆

=1(a>b>0)的离心率 e= ,



=

∴a2= b2,









=﹣ ,

tanαtanβ=﹣ ,



=

=



故答案为: 【点评】本题考查斜率公式的运用,考查椭圆的几何性质,考查和差的余弦公式,考查学生 的计算能力,属于中档题.

二、解答题(本大题共 7 小题,共计 58 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤)

15.已知函数 f(x)=

,x∈[1,+∞).

(1)当 a=4 时,求函数 f(x)的最小值;

(2)若对任意 x∈[1,4],f(x)>6 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

【考点】函数的最值及其几何意义.

【专题】转化思想;综合法;函数的性质及应用.

【分析】(1)由 a=4,利用基本不等式求得 f(x)的最小值. (2)由题意可得,a>﹣x2+4x,当 x∈[1,4]时恒成立,故 a>g(x)max,再利用二次函数 的性质求得 g(x)max,从而求得 a 的范围.

【解答】解:(1)由 a=4,∴f(x)=

=x+ +2≥6,当 x=2 时,取得等号.

即当 x=2 时,f(x)取得最小值为 6.

(2)x∈[1,4],

>6 恒成立,即 x∈[1,4],x2+2x+a>6x 恒成立.

等价于 a>﹣x2+4x,当 x∈[1,4]时恒成立, 令 g(x)=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,x∈[1,4], ∴a>g(x)max=g(2)=4,即 a 的取值范围是{a|a>4}. 【点评】本题主要考查利用基本不等式、二次函数的性质求函数的最值,函数的恒成立问题,

属于中档题.

16.已知 a>0 且 a≠1.设命题 p:函数 y=ax 是定义在 R 上的增函数;命题 q:关于 x 的方 程 x2+ax+1=0 有两个不等的负实根.若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取 值范围. 【考点】复合命题的真假. 【专题】计算题. 【分析】根据指数函数的性质可知,若 p 真:a>1,若 q 真:△ =(a﹣1)2﹣4>0,再根据 “p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,判断命题 p、q 一真一假,从而求出 a 的范围. 【解答】解:由函数 y=ax 是定义在 R 上的增函数,得 a>1, ∴p 为真时,a>1;

由关于 x 的方程 x2+ax+1=0 有两个不等的负实根,得

?a>2,

∵p 或 q 为真,p 且 q 为假,由复合命题真值表知:p,q 一真一假, 若 p 真 q 假时,1<a≤2;

若 p 假 q 真时,

?a∈?;

综上 a 的取值范围是 1<a≤2. 【点评】本题主要考查了指数函数的单调性及其应用,考查了二次函数的图象性质及应用, 考查了复合命题的真假判断规律,利用二次函数的图象性质分析求解命题 q 为真时的等价条 件是解答本题的关键.

17.从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)分 成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的 信息,回答下列问题: (1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)根据上面补充完整的频率分布直方图估计出本次考试的平均分; (3)用分层抽样的方法在分数段为[40,60)的学生中抽取一个容量为 5 的样本,将该样本 看成一个总体,从中任取 2 人,求至少有 1 人在分数段[50,60)的概率.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 【专题】概率与统计. 【分析】(1)频率分布直方图中,小矩形的面积等于这一组的频率,而频率的和等于 1, 可求出分数在[70,80)内的频率,即可求出矩形的高,画出图象即可; (2)同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,将中点值与每一组的频率相乘再求出它 们的和即可求出本次考试的平均分; (3)先计算[40,50)、[50,60)分数段的人数,然后按照比例进行抽取,设从样本中任 取 2 人,至多有 1 人在分数段[50,60)为事件 A,然后列出基本事件空间包含的基本事件, 以及事件 A 包含的基本事件,最后将包含事件的个数求出题目比值即可. 【解答】解:(1)分数在[70,80)内的频率为 1﹣(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1﹣0.7=0.3. 又 =0.03,补出的图形如下图所示.…
(2)平均分为: =45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71. 答:估计这次考试的平均分是 71. (3)由题意,[40,50)分数段的人数为 0.10×60=6 人;[50,60)分数段的人数为 0.15×60=9 人;

在[40,60)的学生中抽取一个容量为 5 的样本,在[40,50)分数段抽取 2 人,分别记为 m, n;[50,60)分数段抽取 3 人,分别记为 a,b,c, 设从样本中任取 2 人,至少有 1 人在分数段[50,60)为事件 A,则基本事件空间包含的基 本事件有(m,n)、(m,a)、(m,b)、(m,c)、…、(b,c)共 10 种,则事件 A 包含的基本事件有(m,a)、(m,b)、(m,c)、(n,a)、(n,b)、(n,c)、(a, b)、(a,c)、(b,c)共 9 种, 所以 P(A)= =0.9.… 【点评】本题主要考查了频率及频率分布直方图,以及平均数和概率的有关问题,考查运用 统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力和运用意识.

18.已知椭圆 Γ: + =1(a>b>0)的焦距为 4,且椭圆 Γ 过点 A(2, ).
(1)求椭圆 Γ 的方程; (2)设 P、Q 为椭圆 Γ 上关于 y 轴对称的两个不同的动点,求 ? 的取值范围. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题.

【分析】(1)由已知条件推导出

,由此能求出椭圆 Γ 的方程.

(2)设 P(x,y),则 Q(﹣x,y),(x≠0), =(x﹣2,y﹣ ), =(﹣x﹣2,y

﹣ ),由

,得 x2=8﹣2y2,由此能求出

的取值范围.

【解答】(1)解:∵椭圆 Γ: + =1(a>b>0)的焦距为 4, 且椭圆 Γ 过点 A(2, ).∴c=2,…
,… 解得 a2=8,b2=4,…

∴椭圆 Γ 的方程为

.…

(2)设 P(x,y),则 Q(﹣x,y),(x≠0), =(x﹣2,y﹣ ), =(﹣x﹣2,y﹣ ),…



,得 x2=8﹣2y2,



=4﹣x2+(y﹣ )2

=3y2﹣2 y﹣2

=3(y﹣ )2﹣ ,…

由题意,﹣2<y<2,∴﹣ ≤3

﹣ <10+4 .…



的取值范围是[﹣ ,10+4 ).…

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查向量的数量积的取值范围的求法,解题时要认真审 题,注意函数与方程思想的合理运用.

19.已知圆 M:x2+(y﹣2)2=1,直线 l:y=﹣1,动圆 P 与圆 M 相外切,且与直线 l 切, 设动圆圆心 P 的轨迹为 E. (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)若点 A,B 是 E 上的两个动点,O 为坐标原点,且 ? =﹣16,求证:直线 AB 恒 过定点. 【考点】直线和圆的方程的应用;轨迹方程. 【专题】综合题;直线与圆. 【分析】(Ⅰ)根据动圆 P 与直线 y=﹣1 相切,且与定圆 M:x2+(y﹣2)2=1 外切,可得 动动点 P 到 M(0,2)的距离与到直线 y=﹣2 的距离相等,由抛物线的定义知,点 P 的轨 迹是抛物线,由此易得轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AB:y=kx+b,将直线 AB 代入到 x2=8y 中得 x2﹣8kx﹣8b=0,利用韦达定理, 结合 ? =﹣16,求出 b,即可证明直线 AB 恒过定点. 【解答】(Ⅰ)解:由题意动圆 P 与直线 y=﹣1 相切,且与定圆 M:x2+(y﹣2)2=1 外切 所以动点 P 到 M(0,2)的距离与到直线 y=﹣2 的距离相等 由抛物线的定义知,点 P 的轨迹是以 C(0,2)为焦点,直线 y=﹣2 为准线的抛物线

故所求 P 的轨迹方程为:x2=8y. … (Ⅱ)证明:设直线 AB:y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线 AB 代入到 x2=8y 中得 x2﹣8kx﹣8b=0, 所以 x1+x2=8k,x1x2=﹣8b…

又因为 ? =x1x2+y1y2=x1x2+

=﹣8b+b2=﹣16,

∴b=4,…

∴恒过定点(0,4).



【点评】本题考查轨迹方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查转化思想与计算能力,熟

记抛物线的定义是求解本题的关键.

20.某市出租汽车的收费标准如下:在 3km 以内(含 3km)的路程统一按起步价 7 元收费, 超过 3km 以外的路程按 2.4 元/km 收费.而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分: 一是固定费用约为 2.3 元;二是燃油费,约为 1.6 元/km;三是折旧费,它与路程的平方近 似成正比,且当路程为 100km 时,折旧费约为 0.1 元.现设一次载客的路程为 xkm. (Ⅰ)试将出租汽车一次载客的收费 F 与成本 C 分别表示为 x 的函数; (Ⅱ)若一次载客的路程不少于 2km,则当 x 取何值时,该市出租汽车一次载客每 km 的收 益 y(y= )取得最大值? 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】综合题. 【分析】(Ⅰ)根据收费标准如下:在 3km 以内(含 3km)的路程统一按起步价 7 元收费, 超过 3km 以外的路程按 2.4 元/km 收费,可得 F 关于 x 的函数;根据当路程为 100km 时, 折旧费约为 0.1 元,求出比例系数,从而可得函数解析式; (Ⅱ)根据 y= ,写出分段函数,分段确定函数的最值,从而可得结论.

【解答】解:(Ⅰ)F(x)=

=

设折旧费 z=kx2,将(100,0.1)代入,得 0.1=1002k,解得 k= 所以 C(x)=2.3+1.6x+ x2;

(Ⅱ)因为 y= ,所以 y=

①当 x>3 时,由基本不等式,得 y≤0.8﹣2

=0.79(当且仅当 x=500 时取等号)

②当 2≤x≤3 时,由 y 在[2,3]上单调递减,得 ymax=0.75﹣ <0.79 答:该市出租汽车一次载客路程为 500km 时,每 km 的收益 y 取得最大值. 【点评】本题考查的知识为分段函数的应用,考查利用基本不等式求最值,属于中档题.

21.设 A1、A2 与 B 分别是椭圆 E:

的左右顶点与上定点,直线 A2B

与圆 C:x2+y2=1 相切.

(1)求证:



(2)P 是椭圆 E 上异于 A1、A2 的一点,直线 PA1、PA2 的斜率之积为﹣ ,求椭圆 E 的方

程;

(3)直线 l 与椭圆 E 交于 M、N 两点,且

,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系,并

说明理由.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;直线与圆的位置关系;椭圆的标准方程.

【专题】综合题.

【分析】(1)由题设知 A1(﹣a,0),A2(a,0),B(0,b),故直线 A2B 的方程是



再由直线 A2B 与圆 C:x2+y2=1 相切,能够证明



(2)设 P(x0,y0),则直线 PA1,PA2 的斜率之积为

=

=

=﹣ ,由此能够求出椭圆 E 的方程.

(3)设点 M(x1,y1),N(x2,y2),设直线 l 为 y=kx+m,由 y=kx+m 代入





,由此能够推导出直线 l 与圆 C 相切.若直线 l 的斜率不存在同样能

够导出直线 l 与圆 C 相切.

【解答】(1)证明:∵A1、A2 与 B 分别是椭圆 E:

上定点,

∴A1(﹣a,0),A2(a,0),B(0,b),

∴直线 A2B 的方程是



∵直线 A2B 与圆 C:x2+y2=1 相切,



=1,故



的左右顶点与

(2)解:设 P(x0,y0),则直线 PA1,PA2 的斜率之积为:

=

=

=﹣ ,





,∴



结合

,得



∴椭圆 E 的方程为



(3)解:设点 M(x1,y1),N(x2,y2), ①若直线 l 的斜率存在,设直线 l 为 y=kx+m,

由 y=kx+m 代入

,得



化简,得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0(△ >0),





y1y2=(kx1+m)(kx2+m) =k2x1x2+km(x1+x2)+m2

=

+km(﹣

)+m2

=





,∴x1x2+y1y2=0.

代入,得(a2+b2)m2﹣a2b2(1+k2)=0,



,∴m2=1+k2,

圆心到直线 l 的距离为 d=



所以,直线 l 与圆 C 相切. ②若直线 l 的斜率不存在,设直线 l:x=n,

代入

,得 y=



∴|n|=b

,∴a2n2=b2(a2﹣n2),

化简整理可得 n2=



又由(1)中的结论可知,

,即

=1,

∴n2=1, 解得 n=±1,所以直线 l 与圆 C 相切. 【点评】本题考查椭圆方程的求法,判断直线与椭圆的位置关系,具体涉及到椭圆的简单性 质、直线与椭圆的位置关系,综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较 高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.


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