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邹城市一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

邹城市一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 《九章算术》是我国古代的数学巨著,其卷第五“商功” “今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈。 思为:“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)”,下 丈,长 AB=4 丈,上棱 EF=2 丈,EF∥平面 ABCD.EF 与平面 1 丈,问它的体积是( A.4 立方丈 C.6 立方丈 2. 已知双曲线的方程为 A. B. C. 或 ﹣ ) B.5 立方丈 D.8 立方丈 =1,则双曲线的离心率为( D. 或 ) ) 有如下的问题: 问积几何?”意 底 面 宽 AD = 3 ABCD 的距离为

座号_____

姓名__________

分数__________

3. 已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ 是三个互不重合的平面,则下列命题中 正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β C.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n D.若 m∥α,m∥β,则 α∥β 4. 一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图为等腰直角三角形,侧视图与俯视图为正方形, 则该几何体的体积为( A.64 ) B .32 C.

64 3

D.

32 3

5. 复数

的虚部为( D.2i



A.﹣2 B.﹣2i C.2

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6. 直线 x+y﹣1=0 与 2x+2y+3=0 的距离是( A. B. C. D.



7. 已知集合

,则

A0 或 B0 或 3 C1 或 D1 或 3
8. 函数 y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],当 a 变动时,函数 b=g(a)的图象可以是( )

A.

B.

C.

D.

9. 如果 a>b,那么下列不等式中正确的是( A. B.|a|>|b| C.a2>b2 D.a3>b3



10.执行右面的程序框图,若输入 x=7,y=6,则输出的有数对为(



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A.(11,12)

B.(12,13) )

C.(13,14)

D.(13,12)

11.下列判断正确的是(

A.①不是棱柱 B.②是圆台C.③是棱锥D.④是棱台 12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若该程序运行后输出的结果不大于 20,则输入的整数 i 的 最大值为( )

A.3

B.4

C.5

D.6

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二、填空题
13.过椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若∠F1PF2=60°,则 . )an+sin . .
2

椭圆的离心率为

14.已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2 15.命题:“?x∈R,都有 x3≥1”的否定形式为 16.等比数列{an}的公比 q=﹣ ,a6=1,则 S6=

,则该数列的前 16 项和为



17.如图所示,正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 1,E、F 分别是棱 AA′,CC′的中点,过直线 EF 的平面分别 与棱 BB′、DD′交于 M、N,设 BM=x,x∈[0,1],给出以下四个命题: ①平面 MENF⊥平面 BDD′B′; ②当且仅当 x= 时,四边形 MENF 的面积最小; ③四边形 MENF 周长 l=f(x),x∈0,1]是单调函数; ④四棱锥 C′﹣MENF 的体积 v=h(x)为常函数; 以上命题中真命题的序号为 .

18.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入的 X 的值为 2,则输出的结果是



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三、解答题
19. 已知二阶矩阵 M 有特征值 λ1=4 及属于特征值 4 的一个特征向量 ﹣1 的一个特征向量 (Ⅰ)求矩阵 M;
5 (Ⅱ)求 M

=

并有特征值 λ2=﹣1 及属于特征值

=



=



20.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上. (1)求证:平面 AEC⊥平面 PDB; (2)当 PD= AB,且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.

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21.已知向量( +3 )⊥(7 ﹣5 )且( ﹣4 )⊥(7 ﹣2 ),求向量 , 的夹角 θ.

22.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x . (1)若 f ( x ) 在 [3,5] 上是单调递减函数,求实数 a 的取值范围; (2)记 g ( x) ? f ( x) ? (2 ? a) ln x ? 2(b ? 1) x ,并设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ( x) 的两个极值点,若 b ? 求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值.

7 , 2

23.直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=AB=AC=1,E,F 分别是 CC1、BC 的中点,AE⊥

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A1B1,D 为棱 A1B1 上的点. (1)证明:DF⊥AE; (2) 是否存在一点 D, 使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 若不存在,说明理由. ?若存在, 说明点 D 的位置,

24.已知函数 f(x)=alnx+x2+bx+1 在点(1,f(1))处的切线方程为 4x﹣y﹣12=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求 f(x)的单调区间和极值.

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邹城市一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 【解析】解析:

选 B.如图,设 E、F 在平面 ABCD 上的射影分别为 P,Q,过 P,Q 分别作 GH∥MN∥AD 交 AB 于 G,M,交 DC 于 H,N,连接 EH、GH、FN、MN,则平面 EGH 与平面 FMN 将原多面体分成四棱锥 EAGHD 与四棱锥 FMBCN 与直三棱柱 EGHFMN. 由题意得 GH=MN=AD=3,GM=EF=2, EP=FQ=1,AG+MB=AB-GM=2, 1 1 1 所求的体积为 V= (S 矩形 AGHD+S 矩形 MBCN)· EP+S△EGH·EF= ×(2×3)×1+ ×3×1×2=5 立方丈,故选 B. 3 3 2 2. 【答案】C 【解析】解:双曲线的方程为 ﹣ =1,

2 2 2 焦点坐标在 x 轴时,a =m,b =2m,c =3m,

离心率 e=



2 2 2 焦点坐标在 y 轴时,a =﹣2m,b =﹣m,c =﹣3m,

离心率 e= 故选:C.

=



【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,注意实轴所在轴的易错点. 3. 【答案】C 【解析】解:对于 A,若 m∥α,n∥α,则 m 与 n 相交、平行或者异面;故 A 错误; 对于 B,若 α⊥γ,β⊥γ,则 α 与 β 可能相交,如墙角;故 B 错误; 对于 C,若 m⊥α,n⊥α,根据线面垂直的性质定理得到 m∥n;故 C 正确; 对于 D,若 m∥α,m∥β,则 α 与 β 可能相交;故 D 错误; 故选 C. 【点评】本题考查了空间线线关系.面面关系的判断;熟练的运用相关的定理是关键. 4. 【答案】B

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【解析】 试题分析: 由题意可知三视图复原的几何体是一个放倒的三棱柱, 三棱柱的底面是直角边长为的等腰直角三角 形,高为的三棱柱, 所以几何体的体积为:

1 ? 4 ? 4 ? 4 ? 32 ,故选 B. 2

考点:1、几何体的三视图;2、棱柱的体积公式. 【方法点睛】本题主要考查利几何体的三视图、棱柱的体积公式,属于难题.三视图问题是考查学生空间想象 能力及抽象思维能力的最常见题型,也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键,解题 时不但要注意三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”,还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位 置对几何体直观图的影响. 5. 【答案】C 【解析】解:复数 故选;C. 【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,属于基础题. 6. 【答案】A 【解析】解:直线 x+y﹣1=0 与 2x+2y+3=0 的距离,就是直线 2x+2y﹣2=0 与 2x+2y+3=0 的距离是: = . = = =1+2i 的虚部为 2.

故选:A. 7. 【答案】B 【解析】 ,故 或 。 8. 【答案】B 【解析】解:根据选项可知 a≤0 a 变动时,函数 y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],
|b| ∴2 =16,b=4

, 或 ,解得 或 或 ,又根据集合元素的互异性 ,所以

故选 B.

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【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域,同时考查了函数图象,属于基础题. 9. 【答案】D 【解析】解:若 a>0>b,则 ,故 A 错误;

若 a>0>b 且 a,b 互为相反数,则|a|=|b|,故 B 错误; 若 a>0>b 且 a,b 互为相反数,则 a2>b2,故 C 错误; 函数 y=x3 在 R 上为增函数,若 a>b,则 a3>b3,故 D 正确; 故选:D 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了函数的单调性,难度不大,属于基础题. 10.【答案】 A 【解析】解:当 n=1 时,满足进行循环的条件,故 x=7,y=8,n=2, 当 n=2 时,满足进行循环的条件,故 x=9,y=10,n=3, 当 n=3 时,满足进行循环的条件,故 x=11,y=12,n=4, 当 n=4 时,不满足进行循环的条件, 故输出的数对为(11,12), 故选:A 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答. 11.【答案】C 【解析】解:①是底面为梯形的棱柱; ②的两个底面不平行,不是圆台; ③是四棱锥; ④不是由棱锥截来的,

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故选:C. 12.【答案】B 【解析】解:模拟执行程序框图,可得 s=0,n=0 满足条件 n<i,s=2,n=1 满足条件 n<i,s=5,n=2 满足条件 n<i,s=10,n=3 满足条件 n<i,s=19,n=4 满足条件 n<i,s=36,n=5 所以,若该程序运行后输出的结果不大于 20,则输入的整数 i 的最大值为 4, 有 n=4 时,不满足条件 n<i,退出循环,输出 s 的值为 19. 故选:B. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题.

二、填空题
13.【答案】 .

【解析】解:由题意知点 P 的坐标为(﹣c, ∵∠F1PF2=60°, ∴ = , b2= (a ﹣c ). =0, (舍去).
2 2

)或(﹣c,﹣

),

即 2ac= ∴ ∴e=

e2+2e﹣ 或 e=﹣

故答案为:



【点评】 本题主要考查了椭圆的简单性质, 考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力, 属基础题. 14.【答案】 546 .
* 【解析】解:当 n=2k﹣1(k∈N )时,a2k+1=a2k﹣1+1,数列{a2k﹣1}为等差数列,a2k﹣1=a1+k﹣1=k;

当 n=2k(k∈N )时,a2k+2=2a2k,数列{a2k}为等比数列,

*



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∴该数列的前 16 项和 S16=(a1+a3+…+a15)+(a2+a4+…+a16) =(1+2+…+8)+(2+22+…+28) = =36+29﹣2 =546. 故答案为:546. 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前 n 项和公式、“分类讨论方法”,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题. 15.【答案】 ?x0∈R,都有 x03<1 .
3 【解析】解:因为全称命题的否定是特称命题.所以,命题:“?x∈R,都有 x ≥1”的否定形式为:命题:“?x0∈R,

+

都有 x0 <1”. 故答案为:?x0∈R,都有 x0 <1. 【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查. 16.【答案】 ﹣21 . 【解析】解:∵等比数列{an}的公比 q=﹣ ,a6=1,
5 ∴a1(﹣ ) =1,解得 a1=﹣32, 3

3

∴S6= 故答案为:﹣21

=﹣21

17.【答案】 ①②④ . 【解析】解:①连结 BD,B′D′,则由正方体的性质可知,EF⊥平面 BDD′B′,所以平面 MENF⊥平面 BDD′B′, 所以①正确. ②连结 MN,因为 EF⊥平面 BDD′B′,所以 EF⊥MN,四边形 MENF 的对角线 EF 是固定的,所以要使面积 最小,则只需 MN 的长度最小即可,此时当 M 为棱的中点时,即 x= 时,此时 MN 长度最小,对应四边形 MENF 的面积最小.所以②正确.

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③因为 EF⊥MN,所以四边形 MENF 是菱形.当 x∈[0, ]时,EM 的长度由大变小.当 x∈[ ,1]时,EM 的 长度由小变大.所以函数 L=f(x)不单调.所以③错误. ④连结 C′E,C′M,C′N,则四棱锥则分割为两个小三棱锥,它们以 C′EF 为底,以 M,N 分别为顶点的两个 小棱锥.因为三角形 C′EF 的面积是个常数.M,N 到平面 C'EF 的距离是个常数,所以四棱锥 C'﹣MENF 的 体积 V=h(x)为常函数,所以④正确. 故答案为:①②④.

【点评】 本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式, 本题巧妙的把立体几何问题和 函数进行的有机的结合,综合性较强,设计巧妙,对学生的解题能力要求较高. 18.【答案】 ﹣3 .

【解析】解:分析如图执行框图, 可知:该程序的作用是计算分段函数 f(x)= 当 x=2 时,f(x)=1﹣2×2=﹣3 故答案为:﹣3 【点评】本题主要考查了选择结构、流程图等基础知识,算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中 的一个热点,应高度重视. 的函数值.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)设 M= 则 =4 = ,∴ ①

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=(﹣1)

=

,∴ ;



由①②可得 a=1,b=2,c=3,d=2,∴M= (Ⅱ)易知
5 ∴M

=0?

+(﹣1) = .



=(﹣1)6

【点评】本题考查矩阵的运算法则,考查学生的计算能力,比较基础. 20.【答案】 【解析】(Ⅰ)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD, ∵PD⊥底面 ABCD, ∴PD⊥AC,∴AC⊥平面 PDB, ∴平面 AEC⊥平面 PDB. (Ⅱ)解:设 AC∩BD=O,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O, ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角, ∴O,E 分别为 DB、PB 的中点, ∴OE∥PD, ,

又∵PD⊥底面 ABCD, ∴OE⊥底面 ABCD,OE⊥AO, 在 Rt△AOE 中, ,

∴∠AEO=45°,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45°.

【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定,以及直线与平面所成的角,考查空间想象能力、运算能力和 推理论证能力,属于基础题. 21.【答案】

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【解析】解:∵向量( +3 )⊥(7 ﹣5 )且( ﹣4 )⊥(7 ﹣2 ), ∴ +8 ∴ 化为 化为: ∴ ∴θ= 或 +16 , . =0, =0, = , ,代入 ﹣ =0, cos2θ,

【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 22.【答案】 【解析】【命题意图】本题综合考查了利用导数研究函数的单调问题,利用导数研究函数的最值,但本题对函 数的构造能力及运算能力都有很高的要求, 判别式的技巧性运用及换元方法也是本题的一大亮点, 本题综合性 很强,难度大,但有梯次感.

(2)∵ g ( x) ? x 2 ? a ln x ? (2 ? a) ln x ? 2(b ?1) x ? x 2 ? 2 ln x ? 2(b ?1) x ,

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23.【答案】 【解析】(1)证明:∵AE⊥A1B1,A1B1∥AB,∴AE⊥AB, 又∵AA1⊥AB,AA1⊥∩AE=A,∴AB⊥面 A1ACC1, 又∵AC?面 A1ACC1,∴AB⊥AC, 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A﹣xyz,

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则有 A(0,0,0),E(0,1, ),F( , ,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1), 设 D(x,y,z), 则 D(λ ,0,1),所以 ∵ =(0,1, ),∴ ? =( = 且 λ ∈,即(x,y,z﹣1)=λ (1,0,0), , ,﹣1), =0,所以 DF⊥AE; .

(2)结论:存在一点 D,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 理由如下: 设面 DEF 的法向量为 =(x,y,z),则 ∵ =( , , ), =( ,﹣1), ,



,即



令 z=2(1﹣λ ),则 =(3,1+2λ ,2(1﹣λ )). 由题可知面 ABC 的法向量 =(0,0,1), ∵平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 ∴|cos< , >|= 解得 或 = ,即 , = ,

(舍),所以当 D 为 A1B1 中点时满足要求.

【点评】 本题考查空间中直线与直线的位置关系、 空间向量及其应用, 建立空间直角坐标系是解决问题的关键, 属中档题. 24.【答案】

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【解析】解:(1)求导 f′(x)= +2x+b,由题意得: f′(1)=4,f(1)=﹣8, 则
2

,解得



所以 f(x)=12lnx+x ﹣10x+1; (2)f(x)定义域为(0,+∞), f′(x)= ,

令 f′(x)>0,解得:x<2 或 x>3, 所以 f(x)在(0,2)递增,在(2,3)递减,在(3,+∞)递增, 故 f(x)极大值=f(2)=12ln2﹣15, f(x)极小值=f(3)=12ln3﹣20.

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