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福建省福州市第八中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理

福州八中 2015—2016 学年第一学期期末考试 高二数学(理)
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分

2016.1.26 第Ⅰ卷(100 分) 一、选择题(本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 ) 1.命题: “ ?x ? 0 , x 2 ? x ? 0 ”的否定形式是 A. ?x ? 0 , x 2 ? x ? 0 C. ?x ? 0 , x 2 ? x ? 0 2. 抛物线 C : y ? 4 x 的焦点坐标为
2

B. ?x ? 0 , x 2 ? x ? 0 D. ?x ? 0 , x 2 ? x ? 0

A. (0,1)

B. (1,0)
2 2

C. (0,

1 ) 16

D. (

1 ,0) 16

3. 有下列四个命题:①“若 a +b =0,则 a,b 全为 0”的逆否命题;②“全等三角 形的面积相等”的否命题; ③“若 " q ? 1" ,则 x2 ? 2 x ? q ? 0 有实根”的逆否命题;④ “矩 形的对角线相等”的逆命题。 其中真命题为 A.①② B.①③ 4.“ 1 ? m ? 2 ”是“方程 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 5.经过点 P (2, ?2) ,且与双曲线 C :
2 2

C.②③

D.③④

x y ? ? 1 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆”的 m ?1 3 ? m
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

x2 ? y 2 ? 1 有相同渐近线的双曲线方程是 2
D.
A1


x2 y2 x2 y2 ? ? 1 C. ? ?1 4 2 2 4 6.如图所示,在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E 为上底面对角线 A1C1 的中点,若
A. B. ) BE ? AA1 ? xAB ? y AD ,则( 1 1 1 1 A. x ? ? , y ? B. x ? , y ? ? 2 2 2 2 1 1 1 1 C. x ? ? , y ? ? D. x ? , y ? 2 2 2 2 7. ?ABC 中, A(?5,0), B (5,0) ,点 C 在双曲线 A.
? ? ? ?
B1

y2 x2 ? ?1 2 4

y2 x2 ? ?1 4 2
D1 E C1

A

D

B

C

3 5

B. ?

3 5

x2 y2 sin A ? sin B ? ? 1 上,则 = 16 9 sin C 4 4 C. D. ? 5 5
1

8.已知向量 a ? (1,1,0) , b ? (?1,0,2) ,且 k a ? b 与 2 a ? b 互相垂直,则 k 的值是

?

?

?

?

?

?

3 1 D. 5 5 9.抛物线 y ? ? x2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是 4 7 8 A. B. C. D. 3 3 5 5
A. 1 B.

7 5

C.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 10.若双曲线的方程为 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 ,则其实轴长为 11.若“ x ? a ”是“ x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”的充分不必要条件,则 a 的取值范围为 12.抛物线 y = 4x 的焦点为 F,过点 F 且倾斜角等于 曲线交于点 A,则 AF 的长为 13. 如果椭圆
2

? 的直线与抛物线在 x 轴上方的 3

x2 y 2 ? ? 1 的 弦被点 A(1,1)平分,那么这条弦所在的直线方程是 36 9

三、解答题(本大题共有 3 个小题,共 39 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明 过程。 ) 14.(本 小题满分 12 分)已知 a ? 0, a ? 1 ,命题 p : “函数 f ( x) ? a 在 (0, ??) 上单调
x

1 ? 0 对一 4 切的 x ? R 恒成立” ,若 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,求实数 a 的取值范围.
递减” ,命题 q : “关于 x 的不等式 x ? 2ax ?
2

15.(本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 (0, 2 ) 且斜率为 k 的直线 l

x2 ? y 2 ? 1 有两个不同的交点 P 和 Q. 与椭圆 (1)求 k 的取值范围; (2)设椭圆与 x 轴正 2 半轴、y 轴正 半轴的交点分别为 A,B,是否存在常数 k,使得向量 OP ? OQ 与 AB 共线?如
果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由。 16.(本小题满分 14 分 ) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面

ABCD 是菱形, AB ? 2, ?BAD ? 60? .(Ⅰ)求证: BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)若 PA ? AB,
求异面直线 PB 与 AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的 长.

第Ⅱ卷(50 分) 一、选择题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 ) 17.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是(
x

) D.(2,+∞)
2

A.(-∞,2) 18.已知双曲线

B.(0,3)

C.(1,4)

a x2 y2 x ? 的右焦点 F ,直线 与其渐近线交于A,B两 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) c a2 b2 点,与 x 轴交于D点,且△ ABF 为钝角三角形,则离心率取值范围是( )
A.( 2,? ? ) B.(1, 2 ) C.( 3,? ? ) D.(1, 3 )
2

19.在直三棱柱中,∠ACB=90°,AC=BC=1,侧棱 AA1= 2,M 为 A1B1 的中点,则 AM 与平面 AA1C1C 所成角的正切值为( ) A.

1 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

2 3


二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 4 分,共 8 分) 1 20.若函数 f ? x ? ? mx3 ? x2 ? m 在 x ? 1 处取得极值,则实数 m 的值是 3

21.在平面直角坐标系中,已知 M (?a,0), N (a,0), 其中a ? R, , 若直线 l 上有且只有一 点 P ,使得 PM ? PN ? 10 ,则称直线 l 为“黄金直线” ,点 P 为“黄金点” 。由此定义可 判断以下说法中正确的是 1 当 a ? 7 时,坐标平面内不存在黄金直线;○ 2 当 a ? 5 时,坐标平面内有无数条黄金直线; ○ 3 当 a ? 3 时,黄金点的轨迹是个椭圆;○ 4 当 a ? 0 时,坐标平面内有且只有 1 条黄金直线. ○ 三、解答题(本大题共有 2 个小题,共 27 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明 过程)

? 4) 作抛物 22.(本小题满分 13 分) 设 F 是抛物线 G : x2 ? 4 y 的焦点. (1)过点 P(0,
线 G 的切线, 求切线方程; ( 2) 设 A,B 为抛物线 G 上异于原点的两点, 且满足 FA ? FB , 延长 AF , BF 分别交抛物线 G 于点 C,D ,求四边形 ABCD 面积的最小值.

23.(本小题满分 14 分) 已知 a 是大于 0 的实数,函数 f ( x) ? x 2 ( x ? a ) . (1)若 ( 2 )求 f ( x) 在区间 ?0,2? 上的最小值; ( 3 )在( 1 )的条件下,设 f ?(2) ? 0 , 求 a 值;

g ( x) ? f ( x) ?

m 是 [3,??) 上的增函数,求实数 m 的最大值。 x ?1

福州八中 2015—2016 学年第一学期期末考试 高二数学(理) 试卷参考答案及评分标准 第Ⅰ卷(100 分) 一、选择题(本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1-5 DCBCA 6-9 ADBA
3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 10.6 11. a ? ?1 12.4 13. x ? 4 y ? 5 ? 0 三、解答题(本大题共有 3 个小题,共 39 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 ) 14.解: p 为真: 0 ? a ? 1 ;??2 分;

q 为真: ? ? 4a 2 ? 1 ? 0 ,得 ?
又 a ? 0, a ? 1 ,? 0 ? a ?

1 1 ?a? , 2 2

1 ???5 分 2 因为 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,所以 p, q 命题一真一假??7 分

?0 ? a ? 1 1 ? (1)当 p 真 q 假 ? 1 ? ? a ? 1 ?????9 分 2 a? ? 2 ? ?a ? 1 ? (2)当 p 假 q 真 ? 无解 ????11 分 1 0?a? ? 2 ? 1 综上, a 的取值范围是 ( ,1) ???????12 分 2 15.解: (1)由已知条件,直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,?????1 分
x2 ? (kx ? 2)2 ? 1 代入椭圆方程得 2 . ?1 2? 2 ? ? k ? x ? 2 2kx ? 1 ? 0 ? 整理得 ? 2 ①????3 分 Q 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 等价于
?1 ? ? ? 8k 2 ? 4 ? ? k 2 ? ? 4k 2 ? 2 ? 0 2 2 ?2 ? ,解得 k ? ? 或k ? . 2 2 2 2 即 k 的取值范围为 (??,? )U( ,??) .?????5 分 2 2 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) ,则 (2)设 ??? ? ???? OP ? OQ ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) ,?????6 分
由方程①,

4 2k 1 ? 2k 2 . ?????7 分 y ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 .?????8 分 又 1 ??? ? A ( 2 ,, 0) B (01) ,, AB ? (? 21) , .?????9 分 而 ??? ? ??? ? ??? ? x ? x2 ? ? 2( y1 ? y2 ) , ?????10 分 所以 OP ? OQ 与 AB 共线等价于 1 2 将②③代入上式 ,解得 k ? .?????12 分 2 x1 ? x2 ? ?

4

由(Ⅰ)知 k ? ?

2 2 或k ? ,故没有符合题意的常数 k .?????13 分 2 2

16.证明: (Ⅰ)因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD.?????1 分 又因为 PA⊥平面 ABCD.所以 PA⊥BD.?????2 分 又 PA ? AC ? A ,所以 BD⊥平面 PAC.???3 分 (Ⅱ)设 AC∩BD=O.因为∠BAD=60°,PA=PB=2, 所以 BO=1,A O=CO= 3 .?????4 分 如图,以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O—xyz,则 P(0,— 3 ,2) ,A(0, — 3 ,0) ,B(1,0,0) ,C(0, 3 ,0).?????5 分 所以 PB ? (1, 3,?2), AC ? (0,2 3,0). ?????6 分 设 PB 与 AC 所成角为 ? ,则

cos? ?

PB ? AC | PB | ?| AC |

?

6 6 ? ????8 分 (公式对计算错得 1 分) 4 2 2 ?2 3

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 BC ? (?1, 3,0). 设 P(0,- 3 ,t) (t>0) , 则 BP ? (?1,? 3, t ) ?????9 分 设平面 PBC 的法向量 m ? ( x, y, z ) , 则 BC ? m ? 0, BP ? m ? 0 所以 ?

3y ? tz ? 0 6 令 y ? 3, 则 x ? 3, z ? . t 6 所以 m ? (3, 3 , ) ?????11 分 t
同理,平面 PDC 的法向量 n ? (?3, 3 , ) ?????13 分 因为平面 PCB⊥平面 PDC,所以 m ? n =0,即 ? 6 ? 所以 PA= 6 ?????14 分 第Ⅱ卷(50 分) 一、选择题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1-3 DBA 二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 4 分,共 8 分) 4. ?2 5. ①②③ 三、解答题(本大题共有 2 个小题,共 27 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
2 ? x0 ? x 6.解: (I)设切点 Q ? x0, ? .由 y ? ? ,知抛物线在 Q 点处的切线斜率 2 4? ?

? ?? x ? ? ?? x ?

3y ? 0,

6 t

36 ? 0 解得 t ? 6 , t2

5

x0 x2 x ,故所求切线方程为 y ? 0 ? 0 ( x ? x0 ) . 2 4 2 2 x x 即 y ? 0 x ? 0 .??2 分 2 4 x2 2 因为点 P(0, ? ?) 在切线上.所以 ?4 ? ? 0 , x0 ? 16 , x0 ? ?4 . 4 所求切线方程为 y ? ?2 x ? 4 .??4 分(设直线方程联立求解酌情给分) (II)设 A( x1,y1 ) , C ( x2,y2 ) . 由题意知,直线 AC 的斜率 k 存在,由对称性,不妨设 k ? 0 . 1) ,所以直线 AC 的方程为 y ? kx ? 1 .??5 分 因直线 AC 过焦点 F (0,
为 点 A,C 的坐标满足方程组 ?

? y ? kx ? 1, ? x ? 4 y,
2

得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ,??6 分
2

由根 与系数的关系知 ?

? x1 ? x2 ? 4k, ??7 分 ? x1 x2 ? ?4.

AC ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4(1 ? k 2 )
.??9 分 因为 AC ? BD ,所以 BD 的斜率为 ?
2

1 1 ,从而 BD 的方程为 y ? ? x ? 1 . k k

? 1 ? ? 4(1 ? k 2 ) .??11 分 同理可求得 BD ? 4 ?1 ? ? ? ? ?? ? ? ? k? ? k2 ? ? 1 8(1 ? k 2 )2 1 S ABCD ? AC BD ? ? 8(k 2 ? 2 ? 2 ) ≥ 32 .当 k ? 1 时,等号成立. 2 2 k k 所以,四边形 ABCD 面积的最小值为 32 ??13 分 .

7.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3 x 2 ? 2ax ,?????????1 分 因为 f ?(2) ? 0 ,所以 a ? 3. (Ⅱ)令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? ①当 ???2 分

2a . 3

???4 分

2a ≥ 2 ,即 a ≥ 3 时, f ( x) 在 [0, 2] 上单调递减,从而 f min ? f (2) ? 8 ? 4a ?5 分 3 2a ? 2a ? ? 2a ? ②当 0 ? 2 上单调递增, ? 2 ,即 0 ? a ? 3 时, f ( x) 在 ?0, ? 上单调递减,在 ? , 3 ? 3? ?3 ? ? 2 4 f min ? f ( a) ? ? a 3 3 27 从而 ????7 分 2 4 f min ? f ( a) ? ? a 3 3 27 综上所述, 0 ? a ? 3 时, a ≥ 3 时, f min ? f (2) ? 8 ? 4a ????8 分
6

(III)由(Ⅰ)得 a ? 3,所以

g ( x) ? x 3 ? 3x 2 ?
m ( x ? 1) 2

m x ?1 ,

g ?( x) ? 3 x 2 ? 6 x ?

∵ g ( x) 是 3,?? ? 上的增函数,∴ g ?( x) ? 0 在 3,?? ? 上恒成立,

?

?

???9 分

m ?0 2 ( x ? 1 ) 即 在 ?3,?? ? 上恒成立。 ??????10 分 m 3t ? 3 ? ? 0在?4,??? 2 t 设 ( x ? 1) ? t , t ? ?4,??? ∴ 上恒成立。 1 3 m ? 3t 2 ? 3t ? 3(t ? ) 2 ? ? ? ?上恒成立 2 4 在 ?4, ∴ ?????12 分 1 2 3 h(t ) ? 3(t ? ) ? , t ? ?4,??? 2 4 令 ∴ h(t ) min ? 36,? m ? 36 ,当 m ? 36 时, g ?( x ) 不恒为 0,满足题意。 ∴实数 m 的最大值是 36。 ???14 分 3x 2 ? 6 x ?

7


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