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高三数学复习之30分钟小练习(3)


高三数学复习之 30 分钟小练习(3)
1. 设函数 f(x) (x∈R)是以 3 为周期的奇函数, 且 f(1)>1, f(2)= a, 则 A. a>2
2

B. a<-2

C. a>1

D. a<-1

2.设函数 f(x)= ? x ? 4 x ? a , g ( x) ? 的一个值是 A. -5 B. 5

4 x ? 1, 当 x∈[-4, 0]时, 恒有 f(x)≤g(x), 则 a 可能取 3 5 3 5 3

C. -

D.

3. 已知函数 f(x)对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y), 且 f(2)=4,则 f(-1)= A. -2 B. 1 C. 0.5 D. 2

4. 已知 c ? 0 ,则下列不等式中成立的一个是 A. c ? 2
c

B. c ? ( )

1 2

c

C. 2 ? ( )
c

1 2

c

D. 2 ? ( )
c

1 2

c

x ( x ? 0) 5. 若 f ( x ) ? ? ?
x

,则 f (3) ? ?1 ? 2 x ( x ? 0) .

6. y ? (log1 a) 在 R 上为减函数,则 a ?
2

7.设 f (x) 是奇函数, g (x) 是偶函数,并且 f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? x ,求 f (x)

8.已知二次函数 y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数 y=f2(x)的图象与直线 y=x 的两个交点间距离为 8,f(x)= f1(x)+ f2(x). (Ⅰ) 求函数 f(x)的表达式; (Ⅱ) 证明:当 a>3 时,关于 x 的方程 f(x)= f(a)有三个实数解.

参考答案
DAAD; -5, ( ,1) 7. f (x) 为奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x)

1 2

g (x) 为偶函数

? g ( ? x) ? ? g ( x )

f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? x
2

? f (? x) ? g (? x) ? x 2 ? x
2

从而 ? f ( x) ? g ( x) ? x ? x, f ( x) ? g ( x) ? ? x ? x

? f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? x ? f ( x) ? ? x ? f ( x) ? g ( x) ? ? x 2 ? x ? ? g ( x) ? ? x 2 ? ?

8.(Ⅰ)由已知,设 f1(x)=ax2,由 f1(1)=1,得 a=1, ∴f1(x)= x2.设 f2(x)= 的交点分别为 A( k , k ),B(- k ,- k )

k (k>0),它的图象与直线 y=x x

8 8 .故 f(x)=x2+ . x x 8 8 (Ⅱ) (证法一)f(x)=f(a),得 x2+ =a2+ , x a 8 8 8 即 =-x2+a2+ .在同一坐标系内作出 f2(x)= 和 x a x 8 f3(x)= -x2+a2+ 的大致图象,其中 f2(x)的图象是以坐 a
由 AB =8,得 k=8,. ∴f2(x)= 标轴为渐近线,且位于第一、 三象限的双曲线, f3(x)与的图象是以(0, a2+

8 )为顶点,开口向下的 a

抛物线.因此, f2(x)与 f3(x)的图象在第三象限有一个交点,即 f(x)=f(a)有一个负数解.又 ∵f2(2)=4, f3(2)= -4+a2+

8 8 ,当 a>3 时,. f3(2)-f2(2)= a2+ -8>0,当 a>3 时,在第一象限 f3(x) a a

的图象上存在一点(2,f(2))在 f2(x)图象的上方.f2(x)与 f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即 f(x)=f(a)有两个正数解.因此,方程 f(x)=f(a)有三个实数解. (证法二) f(x)=f(a),得 x2+ 由

8 2 8 8 =a + ,即(x-a)(x+a- )=0,得方程的一个解 x1=a.方程 x+a x a ax



8 ? a 2 ? a 4 ? 32a =0 化 为 ax2+a2x - 8=0, 由 a>3,△=a4+32a>0, 得 x2= , ax 2a

x3=

? a 2 ? a 4 ? 32a ? a 2 ? a 4 ? 32a ,x2<0, x3>0, ∵x1≠ x2,且 x2≠ x3.若 x1= x3,即 a= ,则 2a 2a

3a2= a 4 ? 32a , a4=4a,得 a=0 或 a= 3 4 ,这与 a>3 矛盾,∴x1≠ x3.故原方程 f(x)=f(a)有三个实 数解.
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