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直线与椭圆的位置关系_图文

. 精彩回顾

10 1.已知椭圆 mx + 5y = 5m ? m > 0 ? , e = 中, 求m的值 5
2 2

25 m ? 3或 m ? 3
x2 y 2 2.已知 F1、 F2是椭圆 G: 2 ? 2 ? 1的两个焦点,在椭圆 G上 a b ? c 存在一点 P使得 ?F1 PF2 ? ,求 的取值范围。 2 a

2 ?e?1 2

复习回顾
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 ?a > b > 0? 2 a b
B2

x2 y2 + 2 = 1 ?a > b > 0? 2 b a
A2

y P
A2
O

y P
B2 A1

不 同 点





A1

F2
x
B1
O

F1
B1

F2

x

F1

焦点坐标 顶点坐标 对称性 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断

F1 ? - c , 0 ?, F2 ? c , 0 ?
A 1(-a,0),A 2(a,0)

F1 ? 0?,?- c ?, F2 ? 0?,?c ?
A 1(0,-a),A 2(0,a) B 1(-b,0),B 2(b,0)

B 1(0,-b),B 2(0,b)

椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形

a 2 = b2 + c 2

分母哪个大,焦点就在哪个轴上

复习回顾 直线与圆的位置关系有几种? 相交、相切、相离 直线与椭圆的位置关系有几种? 仍是相交、相切、相离 如何判断直线与圆的位置关系?又怎样判定直 线与椭圆的位置关系呢? 直线与圆位置关系有两种判定方法: 一是根据圆心到直线的距离与圆的半径比较 另一种判别方法是直线与圆联立方程组,转化 为一元二次方程根的判别式来解决

直线与椭圆的位置关系

种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)

直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
? Ax ? By ? C ? 0 ? 2 由方程组 ? x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

? mx 2 ? nx ? p ? 0( m ? 0)

△= n 2 ? 4 mp

△?0

方程组有两解 方程组有一解 方程组无解

两个交点 一个交点 无交点

相交 相切 相离

△= 0 △?0

对不同的实数值m,讨论直线y=x+m与椭圆 的位置关系。

x 2 ? y ?1 4

2

x 2 变式:已知点P( x , y )在椭圆 ? y ? 1上, 4 求m ? y ? x的取值范围
x2 变式:已知点P ( x , y )是椭圆 ? y 2 ? 1上的点, 4 x?6 求t ? 的取值范围。 y?4

2

x2 y2 练习.若直线 L : y ? kx ? 2与椭圆 G: ? ? 1总有公共点, 9 m 求 m的取值范围。 ? x2 y2 ?1 ? ? 解:由 ? 9 m 消去 y得: ? 9k 2 ) x 2 ? 36kx ? 36 ? 9m ? 0 (m ? y ? kx ? 2 ? 从图中

依 题 意 , 无 论 k取 何 值 , 该 方 程 总 有 实 数 解 。
? ? ? 0 恒成立,即: k ) 2 ? 4( m ? 9 k 2 )(36 ? 9 m ) ? 0 (36

你能得 到什么 启发?

化简得,k 2 ? m ? 4 ? 0, 对 k ? R恒成立。 9 ? m ? 4,

y

又 m ? 9, m的取值范围 是: 9) ? (9, ?? ) [4,
0

2
x

练习:已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ,判断它们的位置关系。
2

解:联立方程组
1 y? x? 2

消去y

x2+4y2=2
因为

5 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ----- (1)

4 ? ? x1 ? x2 ? 5 由韦达定理 ? 1 ? x1 ? x2 ? ? 5 ?

?>0

所以,方程(1)有两个根, 则原方程组有两组解….

那么,相交所得的弦的弦长是多少?
6 AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? 2 5
2 2 2 2

弦长公式

P1 P2 ?

x1 ? x2 ? y1 ? y2

2

2

若P1P2斜率存在,设为K,那么P1P2间距离与斜率关系如何?

y 2 ? y1 (1)k ? ? y 2 ? y1 ? k ( x 2 ? x1 ) x 2 ? x1
P1 P2 ? x1 ? x2 ? k x1 ? x2
2 2 2

?

?k ? ? ? 11 ? k x ? x
2

y 2 ? y1 1 ( 2 )k ? ? x 2 ? x1 ? ( y 2 ? y1 ) k ? 0 x 2 ? x1 k

2x ? x 2 ? 1 1 2? 2

P1 P2 ?

1 k
2

y1 ? y2 ? y1 ? y2

2

2

11 2 ? ? ?? ? 11 ? 2 ?2 y1 ? ?2 ? 2 ? ? y1 y y kk ? ?

k?0

题型二:弦长公式
例2:已知斜率为1的直线L过椭圆 的右焦点,交椭圆于A,B两点,求弦AB之长.
解 :由椭圆方程知 : a 2 ? 4, b2 ? 1, c 2 ? 3.
右焦点F ( 3, 0). 直线l方程为 : y ? x ? 3. 消y得:x 2 ? 8 3x ? 8 ? 0 5

?y ? x ? 3 ? 2 ?x ? y2 ? 1 ? ?4

设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

8 3 8 ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 5 5
? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2

8 ? 2 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 5

题型三:中点弦问题
例3 :已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点

被平分,求此弦所在直线的方程. 解:

韦达定理→斜率 韦达定理法:利用韦达定理及中点坐标公式来构造

题型三:中点弦问题
例 3 已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程.

点 作差

点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造 出中点坐标和斜率.

知识点3:中点弦问题
点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作 差构造出中点坐标和斜率.

设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB中点M ( x0 , y0 ), 则有:x0 ? x1 ? x2 , 2 y0 ? y1 ? y2 2 y1 ? y2 又k AB ? x1 ? x2 ? A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )在椭圆上, 2 2 x2 2 y2 2 x1 y1 ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 a b a2 b

两式相减得:

b2 ( x12 ? x2 2 ) ? a 2 ( y12 ? y12 ) ? 0

由b 2 ( x12 ? x2 2 ) ? a 2 ( y12 ? y12 ) ? 0

y ?y b 即 ?? 2 x ?x a
2 1 2 1 2 1 2 2 2

? k AB

y1 ? y1 b 2 x1 ? x2 b 2 x0 ? ?? 2 x1 ? x2 a y1 ? y1 ? ? a 2 y 0

直线和椭圆相交有关弦的中点问题,常用设而不求的 思想方法.

x y ? ? 1 ,直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 ,椭圆 练习:已知椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?

2

2

分析:设 P ( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 的距离的表达式.
42 ? 52 尝试遇到困难怎么办? d? 4 x0 ? 5 y0 ? 40 ? 4 x0 ? 5 y0 ? 40 41
l
m m



x0 2 25

?

y0 2 9

?1

作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.

x y 练习:已知椭圆 ? ? 1,直线l:x - 5 y ? 40 ? 0.椭圆上 4 25 9 是否存在一点,它到直线l的距离最小? y 最小距离是多少? 解:设直线m平行于l,
则l可写成:x ? 5 y ? k ? 0 4

2

2

x
o

?4 x ? 5 y ? k ? 0 ? 2 2 消去y,得25 x 2 ? 8kx ? k 2 - 225 ? 0 由方程组 ? x y ?1 ? ? ? 25 9 由? ? 0,得64k 2 - 4 ? 25 k 2 - 225) 0 ( ?
解得k1 =25,k 2 =-25

由图可知k ? 25.

x2 y 2 练习:已知椭圆 ? ? 1,直线l:x - 5 y ? 40 ? 0.椭圆上 4 25 9 是否存在一点,它到直线l的距离最小? y 最小距离是多少?
?直线m为:x ? 5 y ? 25 ? 0 4

直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 且d ? 40 ? 25 15 ? 41 42 ? 52 41

x

o

d max

思考:最大的距离是多少?

65 ? ? 41 42 ? 52 41

40 ? 25

小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法; 解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △< 0 相离 △= 0 相切 △> 0 2、弦长的计算方法: 弦长公式:
2 |AB|=1 ? k 2 · x1 ? x 2) ? 4 x1 x 2 (

相交

1 1 ? 2 · y1 ? y2) 4 y1 y2 ( ? = k (适用于任何曲线) 3、弦中点问题的两种处理方法: (1)联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理; (2)设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率。

x2 练习.已知椭圆 ? y 2 ? 1 , 过左焦点F作倾斜角为30° 9
的直线交椭圆于A、B两点,求弦AB的长

拓展练习:已知椭圆x ? 8 y ? 8, 在椭圆上求
2 2

一点P,使P到直线l:x-y+4=0的距离最小,并 求出最小值。

课堂练习
x2 y2 ? ? 1 的两个焦点为F1 1.椭圆 45 20
、F 2

,过左焦点作

直线与椭圆交于A,B 两点,若△ AB F2 的面积为20, 求直线的方程。
(x1 , y1) A

y

o
(x2 , y2) B F1 F2

x

2.已知中心在原点,长轴在x轴上的椭圆的两准
线间的距离为2,若椭圆被直线x+y+1=0截得的

2 弦的中点的横坐标是 ? ,求椭圆的方程. 3

课堂小结 1.直线与椭圆的位置关系,一般是通过方程组转化 为一元二次方程,运用一元二次方程的知识(如求根、 判别式、根与系数关系)求得. 2.要注意数形结合思想的运用。 课后作业

自主完成课堂新坐标

课堂延伸

x2 y2 1.已知点 P ( x , y )在椭圆 ? ? 1上,求 ? ? x ? y的 144 25 取值范围。

? 13 ? ? ? 13

x2 y2 2.已知点 P ( x , y )是椭圆 ? ? 1上的点, 25 9 x?6 求t ? 的取值范围。 y?4

x2 y2 2. 已知点 P ( x , y )是椭圆 ? ? 1上的点, 25 9 x?6 求t ? 的取值范围。 y?4

x ? 6 5 cos ? ? 6 ?t ? ? , 整理得: y ? 4 3 sin ? ? 4 3t sin ? ? 5 cos ? ? 6 ? 4t 6 ? 4t 9t 2 ? 25

解法1(数形结合)(略) ? x ? 5 cos ? M(-6,4) 解法2:依题意可设: ? ? y ? 3 sin ?

y P(x,y)

0

x

? 9t 2 ? 25 sin( ? ? ? ) ? 6 ? 4t ,
? ?1 ?

6 ? 4t 9t 2 ? 25

? sin( ? ? ? ) ?

?1

? sin( ? ? ? ) ? 1,

? 24 ? 499 ? 24 ? 499 ?t? 7 7


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