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§4.1空间图形的基本关系与公理


§4空间图形的基本关系与公理
学习目标

1学会观察长方体中点、线、面之间的关系,
2模掌握五类位置关系的分类及其有关概念.

3四个公理的三种语言与应用

一、平面的概念与画法
桌面 黑板面 平静的水面

平面的形 象

几何里的平面是无限延展的.
常常把水平的平面画成锐角为450, 横边长等于其邻边长2倍的平行四边形. 如果一个平面被另一个平面挡住, 则这遮挡的部分用虚线画出来.
β
α

二、平面的表示法
D C

A

α

B

①平面通常用一个希腊字母α、β、γ等来表示 如平面α、平面β、平面γ; ②用表示平行四边形的四个顶点或两个相对顶点的字母 来表示,如平面ABCD或平面AC、平面BD.

1.空间点与直线的位置关系有两种: A a ①点在直线上 A 记作:A? a B a ②点在直线外 记作:

a
α

B?a

c

b
B

2.空间点与平面的位置关系有两种: ①点在平面内 记作: ? a B ②点在平面外

A

a

B

记作:

A? a

3. 空间两条直线的位置关系有三种: A
①平行直线——在同一个平面内,没有公共点 的两条直线。 在同一个平面内,有且只有一 ②相交直线—— 个公共点的两条直线。
α α

a

c

b
B

b 记作:a//b

a

β

a O b

记作: ? b ? O a

③异面直线——不在任何一个平面内,没有公共点的两条直线。

b

α

b

a
a β b

α

γ

a

4 空间直线与平面的位置关系有三种:

1、直线在平面内
直线a与平面α有无数多个公共点

a

? 记作: 直线a? 平面α
2、直线与平面相交
直 直线与平面只有一个公共点 线 记作:直线a∩平面α=点A 在 平 3、直线与平面平行 面 直线与平面没有公共点 外

α
a A α a

?

记作: 直线a//平面α

α

5空间平面与平面的位置关系有两种:
(1)两个平面平行---没有公
共点的两个平面 α

记作:平面α//平面β (2)两个平面相交---两个平面不
重合,并且有公共点
?

?

记作: 平面α? 平面β? 直线a

?

a

练习
1、判断下列各题的说法正确与否,在正

确的说法的题号后打

,否则打

:
( )

1、一个平面长 4 米,宽 2 米;

2、平面有边界;
3、一个平面的面积是 25 cm 2; 4、菱形的面积是 4 cm 2;

(
( (

)
) ) )

5、一个平面可以把空间分成两部分. (

练习
2、图中平面α与平面β是否为同一平面? β 不是 α 不是 α β α

β



四:4个公理
公理1: 如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条 文字语言 直线上的所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).

图形语言 符号语言

A

B

l

公理作用

? ? 一是判定直线在平面内的依据,即要判定直线在平 一、判定线在面内 或点在面内的 面内,只需确定直线上两个点在平面内即可;也是 判定点在平面内的方法,即如果直线在平面内、点 依据 在直线上,则点在平面内. 二、检验平面 二是检验平面的方法

观察下图,你能得到什么结论?

A

C

B

文字语言

公理2 经过不在同一直线上的三点, 有且只有一个平面.
注解:1经过一点、两点或同一条直线上的三点有无数个平面。 2有:指图形存在。 3且只有:指图形唯一。

图形语言 符号语言

B A C 不在同一条直线上的三点A、B、 C?有且只有一个平面α,使 A∈ 面α ,B∈ 面α ,C ∈ 面α
一、确定平面的依据 二、判断点线共面得依据.

公理作用

思考交流 (1)经过一条直线和这条直线外一点,可以确定 一个平面吗? B α LA C (2)经过两条相交直线,可以确定一个平面吗? A B α Aa α a C C B b b (3)经过两条平行直线,可以确定一个平面吗?

公理2 的三个推论
推论1 经过一条直线和直线外一点唯一确定一个平面. 推论2 经过两条相交直线唯一确定一个平面.

推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
作用:确定平面的依据

文字语言

公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么
这两个平面有且只有一条通过这个点的公共直线. 注解:不重合的两个平面相交,交线是条直线。

?
图形语言

?
P ? ? 且P ? ? ?

P

l

符号语言 公理作用

? ? ? ? l且P ? l.
(1)判定两个平面是否相交的依据,只要两个平面有一个公共 一、判定两个平面相交的依据 点,就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线; (2)判定点在直线上的依据,点是某两个平面的公共点,线是这 两个平面的公共交线,则这点在交线上. 二、判定点在线上的依据

平面几何:三条直线,a//b,b//c ?a//c,在立体几何此结论是否成立?

平行公理

文字语言

公理4平行于同一条直线的两条直线平行.
注解:三条直线a,b,c,可以在同一平面内, 也可能两两共面。

a

图形语言

b c

符号语言 a // b, b // c ? a // c
注意:并非所有平面几何中的定理都可以推广到立体几何.

练习1:用符号语言表示图形中的 点、线、面的位置关系。

? b

L

P

a

?

练习2 : 画图象,表示下列符?号语言给出的位置关系。

A ? ? ,B ? ? ,A ? L ,B ? L

练习3:a ? ? ,b ? ? ,a // c ,

b ? c ? p ,? ? ? ? c

等角定理及异面直线所成的角
问题1:在平面内,如果两个角的两边分别对应平行,那么这 两个角相等或者互补.在空间中成立吗?举例说明 观察下图

等角或补角定理:在空间中如果两个角的两边分别对应行,
那么这两个角相等或互补.

空间四边形的常见画法经常用一个平面衬 托,如下图中的两种空间四边形ABCD和 ABOC.

空间四边形的有关概念:

(1)顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成的图形, 叫做空间四边形; (2)四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点; (3)所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边; (4)连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线。

如图:空间四边形ABCD中, AC、BD是它的对角线

问题2:平面内两条直线的夹角是如何定义的?想一想异面直线所 成的角该怎么定义?

思考:

⑴ 作异面直线夹角时,夹角的大小与点O 的位置有关吗?

点O 的位置怎样取才比较简便?
⑵ 异面直线所成的角的范围是多少?

⑶ 两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?
⑷ 异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?

理论迁移
例1 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边 AB,BC,CD,DA的中点. 求证: 四边形EFGH是平行四边形.
证明:如图,连结BD。 因为FG是ΔCBD的中位线, 1 所以 FG//BD,FG ? BD. 又因为EH是ΔABD的中位线 E A H

2

1 B 所以EH // BD,EH ? BD。 2
根据公理4,FG//EH,且FG=EH 。 所以,四边形EFGH是平行四边形。

D
F G

C

理论迁移
例2 如图,将无盖正方体纸盒展开,直线AB,CD在原正方 体中的位置关系是( )
A、平行 B、相交且垂直 C、异面直线

D、相交成60°
C

C A D B
A

B(D)

练习1:根据下列条件作图:
? (1) A∈?,a≠ ?,A∈a; ? ? ? (2) a≠ ?,b≠ ?,c≠ ?,且a∩b=A,

b∩c=B,c∩a=C.

练习2:判断下列命题的真假,真的打“√”,假 的打“×” (1)空间三点可以确定一个平面 (2)两条直线可以确定一个平面 (3)两条相交直线可以确定一个平面 (4)一条直线和一个点可以确定一个平面 (5)三条平行直线可以确定三个平面 (6)两两相交的三条直线确定一个平面 (7)若四点不共面,那么每三个点一定不共线

练习3:列图形中不一定是平面图形的( )

A、三角形 C、梯形

B、菱形 D、四边相等的四边形

练习4
下列结论正确的是( D ) A.若两个角相等,则这两个角的两边分别平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交

课堂小结
1. 平面的概念,画法及表示方法;

2. 平面的性质及其作用;
3. 符号表示.

作业:P26练习2


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