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数列知识总结

等比数列 知识梳理: 1、等比数列的定义: 2、通项公式:
an ? a1q n ?1 ? a1 n q ? A ? B n ? a1 ? q ? 0, A ? B ? 0 ? ,首项: a1 ;公比: q q
an a ? q ? n?m n am am
an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? , q 称为公比 an?1

推广: an ? am q n ? m ? q n ? m ? 3、等比中项:

(1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项,即: A2 ? ab 或

A ? ? ab
注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两 个等比中项互为相反数) (2)数列 ?an ? 是等比数列 ? an 2 ? an?1 ? an?1 4、等比数列的前 n 项和 Sn 公式: (1)当 q ? 1 时, Sn ? na1 (2)当 q ? 1 时, Sn ?
?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ( A, B, A ', B ' 为 1? q 1? q

常数) 5、等比数列的判定方法: (1) 用定义: 对任意的 n , 都有 an?1 ? qan或 为等比数列 (2)等比中项: an 2 ? an?1an?1 (an?1an?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 (3)通项公式: an ? A ? Bn ? A ? B ? 0? ? {an } 为等比数列
an?1 ? q(q为常数,an ? 0) ? {an } an

等比数列 6、等比数列的证明方法: 依据定义:若
an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an?1

8、等比数列的性质: (1)当 q ? 1 时 ①等比数列通项公式 an ? a1q n ?1 ? 数的类指数函数,底数为公比 q ; ②前 n 项和 S n ?
a1 ?1 ? q n ? 1? q ? a1 ? a1q n a 1 a ? 1 qn ? A ? A ? Bn ? A ' Bn ? A ' , 1? q 1? q 1? q

a1 n q ? A ? B n ? A ? B ? 0 ? 是关于 n 的带有系 q

系数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比 q 。 (2)对任何 m, n ? N * ,在等比数列 {an } 中,有 an ? amqn?m ,特别的,当 m ? 1 时, 便得到等比数列的通项公式。 因此, 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 (3)若 m ? n ? s ? t( m, n, s, t ? N* ) ,则 an ? am ? as ? at 。特别的,当 m ? n ? 2k 时, 得 an ? am ? ak 2 注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3an?2 ???
a k (4)数列 {an } ,{bn } 为等比数列,则数列 { } ,{k ? an } ,{an k } ,{k ? an ? bn } ,{ n } bn an

( k 为非零常数)均为等比数列。 (5)数列 {an } 为等比数列,每隔 k (k ? N * ) 项取出一项 (am , am?k , am?2k , am?3k , ???) 仍 为等比数列 (6)如果 {an } 是各项均为正数的等比数列,则数列 {log a an } 是等差数列 (7)若 {an } 为等比数列,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , ??? ,成等比数列 (8) {an } 为等比数列, 若 则数列 a1 ? a2 ????? an ,an?1 ? an?2 ????? a2n ,a2n?1 ? a2n?2 ??????a3n 成等比数列

? 0,则{a }为递增数列 {a11 ?0,则{ann }为递减数列 (9)①当 q ? 1 时, a

②当 0<q ? 1时, {a1 ? 0,则{an }为递增数列

a1 ? 0,则{an }为递减数列

③当 q ? 1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列) ; ④当 q ? 0 时,该数列为摆动数列. (10)在等比数列 {an } 中,当项数为 2n(n ? N * ) 时,

S奇 1 ? S偶 q

等比数列·例题解析

【例 1】已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*), 那么数列{an}. [ A.是等比数列 B.当 p≠0 时是等比数列 C.当 p≠0,p≠1 时是等比数列 D.不是等比数列 ]

说明数列{an}成等比数列的必要条件是 an≠0(n∈N*),还要注
意对任n∈N * ,n≥2 , an 都为同一常数是其定义规定的准确含义. a n?1

【例 2】 已知等比数列 1, 1, 2, x2n, 求 x1· 2· 3· x2n. x x ?, 2, x x ?·

【例3】 等比数列{a n }中, (1) 已知a 2 = 4 ,a 5 =-

1 ,求通项公 2

式;(2)已知 a3·a4·a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值.

【例 5】设 a、b、c、d 成等比数列,求证:(b-c)2+(c-a)2+(d- b)2=(a-d)2.

【例 6】求数列的通项公式: (1){an}中,a1=2,an+1=3an+2 (2){an}中,a1=2,a2=5,且 an+2-3an+1+2an=0

说明解题的关键是发现一个等比数列,即化生疏为已知.(1)中发现 {an+1}是等比数列,(2)中发现{an+1-an}是等比数列,这也是通常说的 化归思想的一种体现.

1 21 【例10】 设{a n }是等差数列,b n = ( ) a n ,已知b1 +b 2 +b 3 = , 2 8 1 b1 b 2 b 3 = ,求等差数列的通项. 8

【例 15】已知(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=0. (1)设 a,b,c 依次成等差数列,且公差不为零,求证:x,y,z 成 等比数列. (2)设正数 x,y,z 依次成等比数列,且公比不为 1,求证:a,b,c 成等差数列.

等比数列
一、选择题:
1.{an}是等比数列,下面四个命题中真命题的个数为 ①{an2}也是等比数列 ③{ ②{can}(c≠0)也是等比数列 ④{lnan}也是等比数列 ()

1 }也是等比数列 an
B.3

A.4

C.2

D.1

2.等比数列{a n}中,已知 a9 =-2,则此数列前 17 项之积为 A.216 B.-216
1 2

()

C.217

D.-217
1 2
() D.2

3.等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21,则公比 q 的值为 ()

A.1

B.-

C.1 或-1

D.-1 或

4.在等比数列{an}中,如果 a6=6,a9=9,那么 a3 等于 A.4 B.

3 2

C.

16 9

5.若两数的等差中项为 6,等比中项为 5,则以这两数为两根的一元二次方程为 () A.x2-6x+25=0 C.x2+6x-25=0 B.x2+12x+25=0 D.x2-12x+25=0

6.某工厂去年总产 a,计划今后 5 年内每一年比上一年增长 10%,这 5 年的最 后一年该厂的总产值是() A.1.1 4 a D. (1+1.1 5)a
7.等比数列{an}中,a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,则 a99+a100 等于 ( A. )

B . 1.1

5

a

C . 1.1

6

a

b9 a8

B.(

b 9 ) a

C.

b 10 a9

D.(

b 10 ) a

8.已知各项为正的等比数列的前 5 项之和为 3,前 15 项之和为 39,则该数列的前 10 项之

和为 A.3 2

() B.3 13 C.12 D.15

9. 某厂 2001 年 12 月份产值计划为当年 1 月份产值的 n 倍,则该厂 2001 年度产 值的月平均增长率为 n A. B. 11 n 11 () C. 12 n ? 1 D. 11 n ? 1

10 . 已 知 等 比 数 列 ?an ? 中 , 公 比 q ? 2 , 且 a1 ? a2 ? a3 ??? a30 ? 230 , 那 么

a3 ? a6 ? a9? ? a3等于() ? 0
A. 210 B. 2 20 C 216 D. 215
() D.3 11.等比数列的前 n 项和 Sn=k·n+1,则 k 的值为 3 A.全体实数 B.-1 C.1

二、填空题:
12.在等比数列{an}中,已知 a1=

3 ,a4=12,则 q=_________,an=________. 2

13.在等比数列{an}中,an>0,且 an+2=an+an+1,则该数列的公比 q=______.? 14.在等比数列{an}中,已知 a4a7=-512,a3+a8=124,且公比为整数,求 a10=.

15.数列{ an }中, a1 ? 3 且 an?1 ? an (n 是正整数),则数列的通项公式 an ? .
2

三、解答题:
16.已知数列满足 a1=1,an+1=2an+1(n∈N*) (1) 求证数列{an+1}是等比数列; (2) 求{an}的通项公式.

17.在等比数列{an}中,已知 Sn=48,S2n=60,求 S3n.

18.在等比数列{an}中,a1+an=66,a2·n-1=128,且前 n 项和 Sn=126,求 n 及公比 q. a

参考答案
一、选择题: BDCAD BACDB BC 二、填空题:13.2, 3·n-2. 14. 2 三、解答题:
17.(1)证明:由 an+1=2an+1 得 an+1+1=2(an+1) 又 an+1≠0 ∴
n ?1 1? 5 .? 15.512 .16. 32 . 2

an?1 ? 1 =2 an ? 1

即{an+1}为等比数列. (2)解析:由(1)知 an+1=(a1+1)qn
-1

即 an=(a1+1)qn-1-1=2·n-1-1=2n-1 2

18.解析:由 a1+a2+…+an=2n-1 n∈N*知 a1=1 且 a1+a2+…+an-1=2n 1-1 由①-②得 an=2n 1,n≥2 又 a1=1,∴an=2n 1,n∈N*
- - -



②?

a n ?1 an

2

2

?

(2 n ) 2 =4 ? (2 n ?1 ) 2

即{an2}为公比为 4 的等比数列 ∴a12+a22+…+an2=

a1 (1 ? 4 n ) 1 n ? (4 ? 1) 1? 4 3
2

19.解析一:∵S2n≠2Sn,∴q≠1

根据已知条件

? a1 (1 ? q n ) ? 48 ? ? 1? q ? 2n ? a1 (1 ? q ) ? 60 ? 1? q ?
1 5 即 qn= 4 4



②÷ ①得:1+qn=





③代入①得

a1 =64 1? q



∴S3n=

a1 1 (1-q3n)=64(1- 3 )=63 4 1? q

解析二:∵{an}为等比数列 ∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)

(S 2n ? S 2n ) 2 (60 ? 48) 2 ∴S3n= +60=63 ? S 2n ? Sn 48
20.解析:当 x=1 时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2 当 x≠1 时,∵Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn 1,① 等式两边同乘以 x 得: xSn=x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)xn.②


①-②得: (1-x)Sn=1+2x(1+x+x2+…+xn 2)-(2n-1)xn=1-(2n-1)xn+


2 x( x n ?1 ? 1) , x ?1

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) ∴Sn= . ( x ? 1) 2
21.解析:∵a1an=a2an-1=128,又 a1+an=66, ∴a1、an 是方程 x2-66x+128=0 的两根,解方程得 x1=2,x2=64, ∴a1=2,an=64 或 a1=64,an=2,显然 q≠1. 若 a1=2,an=64,由 ∴q=2,由 an=a1qn
-1

a1 ? a n q =126 得 2-64q=126-126q, 1? q
得 2n 1=32,∴n=6.


1 ,n=6. 2 1 综上所述,n 的值为 6,公比 q=2 或 . 2 数列知识总结
若 a1=64,an=2,同理可求得 q=

一、一般数列有关知识 1.数列的有关概念: (1) 数列:按照一定次序排列的一列数。数列是有序的。数列是定义在 自然数 N*或它的有限子集 {1,2,3,?,n}上的函数。 (2) 通项公式: 数列的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系用一个公式来表示, 这个公式即是该数列的通项公式。 即 an ? f (n) ,如: an ? 2n2 ?1 。 (3) 递推公式:已知数列{an}的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与他的 前一项 an-1(或前几项)可以用一个公式来表示,这个公式即是该数列的递推公 式。 如: a1 ? 1, a2 ? 2, an ? an?1 ? an?2 (n ? 2) 。 2.数列的表示方法: (1) 列举法:如 1,3,5,7,9,? (2)图象法:用(n, an)孤立 点表示。 (3) 解析法:用通项公式表示。 (4)递推法:用递推公式表示。 3.数列的分类: ?常数列:a ? 2
?有穷数列 按项数 ? ?无穷数列
? n ?递增数列:an ? 2n ? 1, an ? 2 按单调性 ? 2 ?递减数列:an ? ?n ? 1 ?摆动数列:a ? (?1) n ? 2n ? n
n

4.数列{an}及前 n 项和之间的关系:

? S , ( n ? 1) Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an an ? ? 1 ? S n ? S n ?1 , (n ? 2)

注意:检验 n=1 的结果是否可以合并. 二、等差数列 1.定义: an ? an?1 ? d (d为常数) n ? 2 ) ( ; 2.等差数列通项公式:
an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * )

, 从而 d ?

首项: a1 ,公差:d,末项: an

推广: an ? am ? (n ? m)d . 3.等差中项

an ? am ; n?m

(1) 如果 a ,A ,b 成等差数列, 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 即:A ? 或 2A ? a ? b

a?b 2

( 2 ) 等 差 中 项 : 数 列 ?an ? 是 等 差 数 列 ? 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2)

? 2an?1 ? an ? an?2
4.等差数列的前 n 项和公式: sn ?
? d 2 1 n ? (a1 ? d )n ? An2 ? Bn 2 2
n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(其中A、B是常数) 5.等差数列的判定方法

(当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)

(1)定义法:若 an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ? ) ? ?an ? 是等差数 列. (2) 等 差 中 项 : 数 列 ?an ? 是 等 差 数 列 ? 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2)

? 2an?1 ? an ? an?2 .
⑶数列 ?an ? 是等差数列 ? an ? kn ? b (其中 k, b 是常数)。

(4)数列 ?an ? 是等差数列 ? Sn ? An2 ? Bn ,(其中A、B是常数)。 6.等差数列的证明方法 定义法:若 an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ? ) ? ?an ? 是等差数列. 7.提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、
d 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3

个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为?, ; a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ? ( 公 差 为 d ) 偶 数 个 数 成 等 差 , 可 设 为 ? ,
a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(公差为 2 d )

8..等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关 于 n 的 一 次 函 数 , 且 斜 率 为 公 差 d
S n ? na1 ?

; 前 n 和

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 2 2

(2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列, 若公差 d ? 0 ,则为常数列。 (3)当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时, 则有 am ? an ? 2ap .
a1 n ??????a???? ? ? a1 , a2 , a3 ,?, an?2 , an?1 , an ? ?? ,图示: ??? ???? ? ? a2 ? an ?1

注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2

(4) 若{ an }是等差数列,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也成等差数列
S ??????????? 3m ?????????? ? ? a1 ? a2 ? a ? ? ? a ? am ? ? ? a2 ? a2m?1 ? ? ? a3 图示: ???? 3 ??? m ??1 ? ??m ?? ???m ? ? ?? ? ? ? Sm S2 m ? Sm S3 m ?S2 m

(5)若等差数列 {an } 、 {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,且 则
an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? ? f (2n ? 1) . bn (2n ? 1)bn B2 n ?1

An ? f ( n) , Bn

(6)若 ?an ? 、 ?bn ? 为等差数列,则 ?an ? bn ? 为等差数列

(7)求 Sn 的最值 法一:因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最 值,但要注意数列的特殊性 n ? N * 。 法二: (1) “首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之 和

?an ? 0 即当 a1 ? 0,d ? 0,由 ? 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. ?an?1 ? 0
(2)“首负” 的递增等差数列中, n 项和的最小值是所有非正项之和。 前
?a n ? 0 即 当 a1 ? 0,d ? 0,由 ? 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. ?a n ?1 ? 0

或求 ?an ?中正负分界项 法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前 n项和的图像是过原 点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时, S n 取最大值(或最小 值) 。若S p = S q则其对称轴为 n ?
p?q 2

(7)设数列 ?an ? 是等差数列, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是前 n 项的和,则: 1.当项数为偶数 2n 时, S偶 ? S奇 ? nd ,其中 n 为总项数的一半,d 为公差; 2、在等差数列 ?an ? 中,若共有奇数项 2n ? 1 项,则
? S2 n ?1 ? S奇 ? S偶 ? (2n ? 1) a中 ? S奇 ? (n ? 1)a中 S n ?1 ? ? ?? ? 奇? (其中 a中 是等差 ? S奇 ? S偶 ? a中 S偶 n ? S偶 ? na中 ? ? ?

数列的中间一项) . 注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法: ①基本量法:即运用条件转化为关于 a1 和 d (q) 的方程; ②巧妙运用等差数列和等比数列的性质, 一般地运用性质可以化繁为简, 减少运算量. 典例分析 1.等差数列 {an } 中, a2 ? 1, S11 ? 33 ,求 {an } 的通项公式。

?a 2 ? a1 ? d ? 解 : ∵ ? 11? 10 ?S11 ? 11a1 ? 2 d ?
a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 1 n 2

?a1 ? d ? 1 ∴ ? ?a1 ? 5d ? 3

1 ? ?a1 ? 2 ? 解 得 ? ?d ? 1 ? 2 ?



2.等差数列 {an } 前 n 项和记为 S n ,已知 a10 ? 30 , a 20 ? 50. (1)求通项 an ; (2)若 S n ? 242 ,求 n. 解: (1)由 an ? a1 ? (n ? 1)d , a10 ? 30, a20 ? 5 ,

?a1 ? 9d ? 30 ?a1 ? 12 得方程组 ? 解得 ? ∴ a n ? 2n ? 10 ?a1 ? 19d ? 50 ?d ? 2
(2)由 S n ? na1 ?
n(n ? 1) n(n ? 1) d , S n ? 242 得方程 12 n ? ? 2 ? 242 2 2

解得 n ? 11 或 n ? ?22 (舍) ,故 n ? 11 . 3.若 a6 ? a9 ? a12 ? a15 ? 20 求 S20 解法一

?an ? a1 ? (n ? 1)d

?a6 ? a9 ? a12 ? a15 ? (a1 ? 5d ) ? (a1 ? 8d ) ? (a1 ? 11d ) ? (a1 ? 14d ) ? 2(2a1 ? 19d ) ? 20
? 2a1 ? 19d ? 10

那么 S 20 ?

20( a1 ? a20 ) ? 10( 2a1 ? 19 d ) ? 100 2

解法二:由 m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq

? a6 ? a9 ? a12 ? a15 ? 2(a6 ? a15 ) ? 2(a1 ? a20 ) ? 20 ? a1 ? a20 ? 10
S 20 ? 20(a1 ? a 20 ) ? 100 2
2 4 ,3 , ? 的前 n 项和为 S n ,求使得 S n 最大的序号 n 的值。 7 7 2 5 ?5 ? ? , 7 7

4、已知等差数列 5,4

分析:数列的首项为 5,公差 d ? 4 所以 S n ? na1 ? 于是,当 n 取与

n(n ? 1) 75b ? 5n 2 5 15 1125 d? ? ? (n ? ) 2 ? , 2 14 14 2 56
15 最接近的整数即 7 或 8 时, S n 取最大值。 2

另解:令 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 5 ? 所以 a 8 = 0,S 7 = S 8 为最大。

5 5 (n ? 1) ? (8 ? n) ? 0 ,得 n≤8, 7 7

5.在等差数列{an}中,若 a3+a8+a13=12,a3a8a13=28,求{an}的通项公式. 解法一:设所求的通项公式为 an=a1+(n-1)d
?(a1+2d)+(a1+7d)+(a1+12d)=12 ? 则? ? ?(a1+2d)(a1+7d)(a1+12d)=28 ? a1+7d=4 ① ? 即? ② ?(a1+2d)(a1+7d)(a1+12d)=28 ?

①代入②得(a1+2d)(a1+12d)=7 ∵a1=4-7d,代入③,∴(4-5d)(4+5d)=8 3 即 16-25d2=7,解得 d=±5 .



3 1 1 3 3 4 当 d=5 时,a1=-5 ,an=-5 +(n-1)·5 =5 n-5 3 41 41 3 3 44 当 d=-5 时,a1= 5 ,an= 5 +(n-1)· (-5 )=-5 n+ 5 . 分析二:视 a3,a8,a13 作为一个整体,再利用性质:若 m+n=p+q,则 am +an=ap+aq 解题. 解法一:∵a3+a13=a8+a8=2a8,又 a3+a8+a13=12,故知 a8=4
?a3+a13=8 ?a3=1 ?a3=7 ? ? ? 代入已知得? 解得? 或? ? ? ? ?a3·a13=7 ?a13=7 ?a13=1

由 a3=1,a13=7 得 d=

a13-a3 7-1 3 = 10 =5 . 13-3

3 3 4 ∴an=a3+(n-3)·5 =5 n-5 . 3 44 由 a3=7,a13=1,仿上可得:an=-5 n+ 5 . 解法二:设所求的通项公式为 an=a1+(n-1)d
?(a1+2d)+(a1+7d)+(a1+12d)=12 ? 则? ? ?(a1+2d)(a1+7d)(a1+12d)=28 ? a1+7d=4 ① ? 即? ② ? ?(a1+2d)(a1+7d)(a1+12d)=28

①代入②得(a1+2d)(a1+12d)=7 ∵a1=4-7d,代入③,∴(4-5d)(4+5d)=8 3 即 16-25d2=7,解得 d=±5 .



3 1 1 3 3 4 当 d=5 时,a1=-5 ,an=-5 +(n-1)·5 =5 n-5 3 41 41 3 3 44 当 d=-5 时,a1= 5 ,an= 5 +(n-1)· (-5 )=-5 n+ 5 . 6.两个等差数列 5,8,11,??和 3,7,11,??都有 100 项,那么它们共有 多少相同的项? 分析:已知的两数列的所有相同的项将构成一个新的数列{an},问题就转化 为一个研究数列{an}的项数问题 解法一:设已知的两数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn},c1=11, 又数列 5,8,11,??的通项公式为 an=3n+2,数列 3,7,11,??的通 项公式为 bn=4n-1. ∴数列{cn}为等差数列,且 d=12.∴cn=12n-1 又∵a100=302,b100=399,∴cn=12n-1<302 1 得 n≤254 ,可见已知两数列共有 25 个相同的项. 解法二:∵an=3n+2,bn=4n-1,设 an=bm 4 则有 3n+2=4m-1(n,m∈N*),即 n=3 m-1(n,m∈N*) 要使 n 为正整数,m 必须是 3 的倍数. 设 m=3k(k∈N*),代入前式得 n=4k-1 又∵1≤3k≤100,且 1≤4k-1≤100,解得 1≤k≤25 ∴共有 25 个相同的项. 7.一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起 为负数,则它的公差是多少?
? ?23+(6-1)d>0 23 解:由? 得-4.6<d<- 6 答案:-4 ?23+(7-1)d<0 ?

8.等差数列 {an } 中,a 1< 0,S 9 = S 11,该数列前多少项的和最小? 分析:由已知得公差 d>0,因此等差数列前 n 项和 S n ? 点开口向下的抛物线, 故 n 取离二次函数对称轴最近的整数时, S n 取最大值(或最小值) , 由于 S 9 = S 11,其对称轴为 n ?

d 2 d n ? (a1 ? )n 的图像是过原 2 2

9 ? 12 21 ? , 2 2

于是,当 n 取与

21 最接近的整数即 10 或 11 时, S n 取最大值。 2

9.若一个等差数列前 3 项和为 34,后 3 项和为 146,且所有项的和为 390,求 这个数列项数. 解
由S n ?

:

? a1 ? a2 ? a3 ? 34, an ? an?1 ? an?2 ? 146,

两式相加得 : 3(a1 ? an ) ? 180, a1 ? an ? 60

,

n( a 1 ? a n ) ? 390, 得n ? 13 2

10.已知?an ? 为等差数列,前 10 项的和为 S10 ? 100, 前 100 项的和 S100 ? 10 ,求前 110 项的和 S110 . 分析一:方程思想,将题目条件应用公式表示成关于首项 a1 与公差 d 的两个 方程.设 ?an ? 的首项为 a1 ,公差 d , 则 ? 10a ?
11 1 ? ? ? 10 ? 9d ? 100 ?a1 ? ? 50 ? S110 2 解得 : ? ? 1 1099 ?100a1 ? ? 100? 99d ? 10 ?d ? 2 100 ? ?
1

? 110 a1 ?

1 ? 110 ? 109 d ? ?110 2

分析二:运用前 n 项和变式:

S n ? An2 ? Bn

?an ? 为 等 差 数 列 , 故 可 设

S n ? An2 ? Bn ,
则 ? 100A ? 10B ? 100 解得110A ? B ? ?1 ?
?10000A ? 100B ? 10

? S110 ? 1102 A ? 110B ? 110(110A ? B) ? ?110


? S110 ?







? S100 ? S10 ?

(a11 ? a100 ) ? 90 ? ?90? a11 ? a100 ? ?2 2

110(a1 ? a110 ) (a11 ? a100 ) ? 110 ? ? ?110 2 2

11、在等差数列{a n}中, a5 ? 11, a8 ? 5 , (1)求该数列的通项公式; 2)求其前n项和S n的最大值; 3)求 ( (

Tn ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | 。
分析: (1) d ?

a 5 ? a8 ? ?2 ,所以 an ? a5 ? (n ? 5)d ? 21? 2n ; 5?8
21 ,所以前10项的和最大; 2

(2) an ? 21 ? 2n ? 0 ? n ? (3)因为 a10 ? 0, a11 ? 0 ,

①当n ≤ 10时,a n ? 0, Tn ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? S n ?

n(11 ? 21 ? 2n) ? 16 n ? n 2 ; 2





n
1? ? 0 2

>

10





Tn ? a1 ? a ? ?? a ? (a 1 ? a ? ??1an ) 1 2 0
2 1 ) 6 0

1

2

(n ? ? 6 ?0

? n( )

1 ? n2 ?

2 1 n? 2 0

12 数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 100n ? n 2 (n ? N ) (1)

? 16n ? n 2 (n ? N ? ,1 ? n ? 10) Tn ? ? 2 ? ?n ? 20n ? 160(n ? N , n ? 10)

?an ? 是什么数列?

(2)设

? bn ? an , 求数列 bn ?的前 n 项和.
分析:本题考查数列的基础知识,以及含绝对值的数列前 n 项和的求法.在求 和前前首先要确定,从哪一项开始该项的值为负,然后将和分段表示. 解:(1) n ? 2时an ? Sn ? Sn?1 ? (100n ? n2 ) ? [100(n ?1) ? (n ?1)2 ] ? 101 ? 2n 又?a1 ? S1 ? 100 ?1 ?12 ? 99 ? 101 ? 2 ?1
?数列?an ?的通项为an ? 101? 2n(n ? N ? )

又 an?1 ? an ? ?2为常数,?数列?an ?是首项为a1 ? 99, 公差d ? ?2的等差数列 . (2)令 an ? 101? 2n ? 0得, n ? 50.5,? n ? N ? ,? n ? 50(n ? N ? ) ①
? Sn ? a1


?? a2

1? n ?

时5n ? 0此时 a
2

?0 n ? b
a
2 n

,


n ? +


a ?

n
1


0


0

?n

a ? 1 ?a

+n S

? n +





n ? 51时

,

?bn ?
1


2



n


n





? Sn ? a1

?? a2

?n

a

?a ?

+

a

5

?? + 0

+

5

a

1

(5

a2

+

a

? S50 ? (S50 ? Sn ) ? 2S50 ? Sn ? 2 ? 2500 ? (100n ? n2 ) ? 5000 ?100n ? n2
2 ? 由①②得数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ? ? 100n ? n (n ? N ,1 ? n ? 50) ? ? 2 ? ?5000? 100n ? n (n ? N , n ? 51)

13、在等差数列{a n}中, a5 ? 11, a8 ? 5 , (1)求该数列的通项公式; 2)求其前n项和S n的最大值; 3)求 ( (

Tn ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | 。
分析: (1) d ?

a 5 ? a8 ? ?2 ,所以 an ? a5 ? (n ? 5)d ? 21? 2n ; 5?8
21 ,所以前10项的和最大; 2

(2) an ? 21 ? 2n ? 0 ? n ? (3)因为 a10 ? 0, a11 ? 0 ,

①当n ≤ 10时,a n ? 0, Tn ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? S n ? ② 当

n(11 ? 21 ? 2n) ? 16 n ? n 2 ; 2
1 2

n
1? ? 0 2

>

10





Tn ? a1 ? a ? ?? a ? (a 1 ? a ? ??1an ) 1 2 0
2 1 ) 6 0

(n ? ? 6 ?0

? n( )

1 ? n2 ?

2 1 n? 2 0

? 16n ? n 2 (n ? N ? ,1 ? n ? 10) Tn ? ? 2 ? ?n ? 20n ? 160(n ? N , n ? 10) 14.数列的前 n 项的和 Sn ? 2n2 ? n ? 1 ;求通项公式。

解:当 n ? 1 时 a1 ? S1 ? 4 , 当 n ? 2 时 an ? Sn ? Sn?1 ? 4n ? 1 , 显然 a1 不适合 an ? 4n ? 1∴ a ? ?4 ? n
?4n ? 1 (n ? 1) . (n ? 2)

14.若数列 {an } 成等差数列,且 Sm ? n, Sn ? m(m ? n) ,求 Sn?m . 解: (法一)基本量法(略) ; ( 法 二 ) 设 Sn ? A 2 n ?
(n2 ? m2 ) A ? (n ? m) B ? m ? n ,
2 ? , B n 则 ? A n ? B? n ?

?A m? ?
2

B?m

m 1 ) ( 1?) ( n 2 ) (

(得 ) 2 :

?m ? n , ∴ (m ? n) A ? B ? ?1,∴ Sn?m ? (n ? m)2 A ? (n ? m)B ? ?(n ? m) .
15.(1)设等差数列的前 n 项之和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0,求公差 d 的取值范围。 (2)指出 S1,S2,S3,?Sn 中哪一个值最大,并说明理由。 解: (1) S12 ? 12 a1 ? 12 ? 11 d ? 0 , S13 ? 13a1 ? 12 ? 13 d ? 0 ,即 ?2a1 ? 11d ? 0 , ?
2 2
? a1 ? 6d ? 0

由 a3 ? a1 ? 2d ? 12 ,代入得: ?

24 ? d ? ?3 。 7

(2) :由 S12 ? 6?a6 ? a7 ? ? 0 , S13 ? 13a7 ? 0 可知: a6 ? 0 , a7 ? 0 ,所以 S6 最大。 16 . 设 Sn 和 Tn 分 别 为 两 个 等 差 数 列 的 前 n 项 和 , 若 对 任 意 n ? N * , 都 有
Sn a 7n ? 1 4 ,则 11 ? . ? Tn 4n ? 27 b11 3

说明:

an S 2 n ?1 . ? bn T2 n ?1

17. 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? pn ,数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? 3n2 ? 2n ,

(1)若 a10 ? b ,求 p 的值; 1 0

(2)取数列 {bn } 中的第 1 项, 第 3 项, 第 答

5 项, ? 构成一个新数列 {cn } , 求数列 {cn } 的通项公式. 案: (1)36 (2) cn ? 12n ? 11

18. 等差数列 {an } 中,前 n 项和 Sn ,若 m>1,且 am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则 m= ____________.
19.等差数列 {an } 中共有奇数项, 且此数列中的奇数项之和为 77 , 偶数项之和为 66 ,a1 ? 1 , 求其项数和中间项. 解:设数列的项数为 2n ? 1 项,

(n ? 1)(a1 ? a2 n ?1 ) n(a2 ? a2 n ) ? 77 , S偶 ? ? 66 2 2 S n ? 1 77 ∴ 奇 ? , ∴ n ? 6 ,∴数列的项数为 13 , 中间项为第 7 项,且 a7 ? 11. ? S偶 n 66
则 S奇 ?

2an 20.在数列{an}中,a1=1,an+1= ,求数列{an}的前 n 项和. an+2 分析:要求数列{anan+1}的前 n 项和,需要先求数列{an}的通项公式. 1 1 1 = + an+1 an 2 1 1 1 ∴{a }为首项为a =1,公差为2 的等差数列. n 1 解:由已知得 n+1 1 1 2 ∴a =1+(n-1)×2 = 2 ,∴an= n+1 n 4 4 4 Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=2× +3× +?+ 3 4 n(n+1) 2(n-1) 1 1 1 1 1 1 1 1 =4[(2 -3 )+(3 -4 )+?+(n - )]=4(2 - )= . n+1 n+1 n+1 21:已知数列 ?an ? , an ? N * , S n ? (an ? 2) 2
1 8

(1) 求证:?an ? 是等差数列;(2)若 bn ?

1 a n ? 30 ,求数列 ?bn ? 的前 n 2

项和的最小值。 思路分析:本题可以根据定义证明是等差数列,然后求数列 ?bn ? 的前 n 项和 的最值。
1 1 1 1 解: (1) a n?1 ? S n?1 ? S n ? (an ?1 ? 2) 2 ? (an ? 2) 2 ? (an ?1 ? 2) 2 ? (an ? 2) 2 , 8 8 8 8

8an ?1 ? (an ?1 ? 2) 2 ? (an ? 2) 2 , (an ?1 ? 2) 2 ? (an ? 2) 2 ? 0, ( an ?1 ? an )( an ?1 ? an ? 4) ? 0, ? an ? N *,? an ?1 ? an ? 0, an ?1 ? an ? 4,

∴数列 {a n } 是等差数列 (2)由(1)得 a1 ? S1 ? (a1 ? 2) ? , 。
1 ?a1 ? 2,?an ? 4n ? 2,?bn ? an ? 30 ? 2n ? 31. 2 1 8

由 bn ? 2n ? 31 可知 {bn } 是等差数列, b1 ? ?29 ,公差 d=2,
? 数 列
{bn }

的 前

n

项 和 Tn ? ?29n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? n ? 29n 2

? n 2 ? 30n ? (n ? 15) 2 ? 225,

22 . 已 知 数 列 ?an ? 的 首 项 a1 ? 3 , 通 项 an 与 前 n 项 和 S n 之 间 满 足

2an ? S n S n?1 (n ? 2)
?1? (1)求证: ? ? 是等差数列,并求公差;(2)求数列 ?an ? 的通项公式; ? Sn ?



:(1)



?a ? S n ? S n?1 1 1 1 1 1 n ? 2时, ? n ? 2S n ? 2S n?1? S n S n?1 ? ? ? ? ,而 ? , S n S n?1 2 S1 3 ? 2a n ? S n S n?1 ?1? 1 1 ? ? ?是首项为 , d ? ? 的等差数列 . 3 2 ? Sn ?
(2)
1 1 1 5 ? 3n 6 1 18 ? ? (n ? 1) ? (? ) ? ,? S n ? ?当n ? 2时, a n ? S n S n ?1 ? S n S1 2 6 5 ? 3n 2 (3n ? 5)(3n ? 8)

? 3 (n ? 1), ? 18 ? an ? ? (n ? 2) ? (3n ? 5)(3n ? 18) ?
23.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 0, 若 a2003 ? a2004 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0, (1) 试求公差 d 的取值范围(用 a1 表示) ;(2) S n 取得最大值的 n 值为多少? (2) 使得 S n ? 0 成立的最大自然数 n 的值为多少?

24.在等差数列{an}中,公差 d ? 0 ,且 | a 3 |?| a 7 | ,设数列前 n 项和为 Sn ,问: n 为何值时 Sn 最大?


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