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2018-2019学年广东省深圳市第二学期宝安中学期中测试卷高一文科数学

2018-2019学年广东省深圳市第二学期宝安中学期中测试卷高一文科数学 分值:150 时间:120分钟

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.

( )1.已知倾斜角为 45 的直线经过 A(2, 4) , B(3, m) 两点,则 m ?

A. 3

B. ?3

C. 5

D. ?1

( )2.过点 A( 3,1) 且倾斜角为120? 的直线方程为

A. y ? ? 3x ? 4

B. y ? ? 3x ? 4

C. y ? ? 3 x ? 2 3

D. y ? ? 3 x ? 2 3

( )3.下列四个命题中正确的是

①若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;

②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相

互平行;

③垂直于同一平面的两个平面相互平行;

④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另

一个平面也不垂直.

A. ①和③

B. ①和④

C. ①②和④

D. ①③和④

( )4.如右图,某几何体的正视图与 侧视图 都是边长为 1 的正方形, 且体积为12,则该几何体的俯视
图 可能是

( )5.已知两条直线 m, n 和两个不同平

面?, ? ,满足? ? ? ,? ? ? =l , m / /? , n ? ? ,则

A. m / /n C. m / /l

B. m ? n D. n ? l

? ? ? ? ( )6.已知向量 a ? ??1, ?2? , b ? ?3,0? ,若 2a ? b / / ma ? b ,则 m 的值

为 A. 3
7

B. ? 3
7

C. ?2

D. 2

( )7.已知点 M 是△ABC 的边 BC 的中点,点 E 在边 AC 上,且E→C=2A→E,

则向量E→M=

A. 12A→C+13A→B

B. 12A→C+16A→B

C. 16A→C+12A→B

D. 16A→C+32A→B

( )8.某几何体的正视图和侧视图如图①,它的俯视图的直观图是矩形

O1A1B1C1 如图②,其中 O1A1 ? 6, O1C1 ? 2, 则该几何体的体积为

A. 32

B. 64

C.16 2

D.32 2

( )9.如图,平面? ? 平面 ? ,

A??, B ? ? , AB与两平面?, ? 所成的角分别为 ? 和 ? ,过 46

?

A, B 分别作两平面交线的垂线,垂足为 A' , B ' ,若 AB ?16 ,

A

B’

B?

则 A'B' ?

A‘

A. 4

B. 6

C. 8

D. 9

( )10.如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,O→P=xO→A+yO→B,且B→P

=2 P→A,则
A.x=23,y=13 C.x=14,y=34

B.x=13,y=23 D.x=34,y=14

( )11.已知 M 是 ?ABC 内部一点,且 AB ? AC ? 4AM ,则 ?MBC 的

面积与 ?ABC 的面积之比为

A. 1 3

B. 1 2

C.2

D. 1

4

( )12.直角梯形 ABCD ,满足 AB ? AD, CD? AD, AB? 2 AD? 2 CD? 2,
现将其沿 AC 折叠成三棱锥 D ? ABC ,当三棱锥 D ? ABC 体积取最大值 时其表面积为

? ? A. 1 2 ? 3 ? 2 2
? ? C. 1 5 ? 2 2

? ? B. 1 4 ? 2 2
? ? D. 1 3? 3 ? 2 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

13.直线 3x ? 3y ? 1的倾斜角等于



14 . 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , ?ACB ? 900 , A A1 ? A C? B C?1,则异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值 是____________.

15.已知△ABC 和点 M 满足M→A+M→B+M→C=0,若存在实数 m 使得A→B+A→C=

mA→M成立,则 m=________.

16.已知棱长为 6 的正四面体(四个面都是正三角形的三棱锥)的四个顶点都

在同一球面上,

则球的体积为



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤.
17.(10 分)已知直线 l 的方程为 2x ? 3y ? 6

(1)若直线 m 与 l 平行且过点 (?1,3) ,求直线 m 的方程;
(2)若直线 n 与 l 垂直,且 n 与两坐标轴围成三角形面积为 3, 求直线 n 的方 程。

18.(12 分)如图,已知点 A(1,0),B(0,2),C(-1,-2),求以 A, B, C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标.

19.(12 分)在如图所示的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,

(1)过点 C 作与面 A1BD 平行的截面;

D1

(2)求证: AC1 ? 面A1BD

A1

D A

C1 B1
C B

(3)若正方体的棱长为 2,求四面体 A1BC1D 的体积。

20.(12 分)已知向量 a 与 b 满足:|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61, (1) 求向量 a 与 b 的夹角 θ; (2) 求|a+b|;
(3) 若A→B=a,B→C=b,求△ABC 的面积.

21.(12 分)如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面是矩形,
PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是 AB、PD 的中点,?PDA ? 45 .
(1)求证:AF∥平面 PEC; (2)求证:平面 PEC⊥平面 PCD; (3)设 AD=2,CD=2 2 ,求点 A 到平面 PEC 的距离.

22. (12 分)如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1中,AB ? AA1 ? 2,

M 为 AB 的中点,N 为 AA1 的中点,BC1 与 CB1 的 B1

C1

交点为O ,

(1) 求证: CB1 ? NC1 ;

A1 O

(2) 求直线 CM 与平面 BNC1 所成角的正弦值。

N

B

C

M

A

2018-2019学年广东省深圳市第二学期宝安中学期中测试卷高一文科数 参考答案

一.CBBC BCCC CABD 二、

13. 3? 4

14. 3 3

15.3

16. 9 ? 2

三、17.解(1) m 与 l 平行,直线 l 的斜率为 - 2 ,设直线 m 的的方程为 y=- 2 x ? b ,

3

3

(?1,3) 代入,得 3= 2 ? b, ?b= 7 .∴直线 m 的方程为 y=- 2 x ? 7 .。。。5

3

3

33



(2) n 与 l 垂直,? n 的斜率为 3 ,设直线 n 的的方程为 y= 3 x ? a ,

2

2

令 y=0 得 x=- 2 a ,令 x=0 得 y=a . 3

?S= 1 a ? 2 a ? 3 ,解得 a ? ?3 ? n 的的方程为 y= 3 x ? 3

23

2

。。。。10 分

18 解: 解 如图所示,以 A,B,C 为顶点的平行四边形可以有三种情况: ①?ABCD;②?ADBC;③?ABDC.设 D 的坐标为(x,y),①若是?ABCD,

则由A→B=D→C,得
(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y), 即(-1,2)=(-1-x,-2-y),

?-1-x=-1, ∴??-2-y=2, ∴x=0,y=-4.
∴D 点的坐标为(0,-4) (如图中所示的 D1)……。。。..4 分

②若是?ADBC,由C→B=A→D,得
(0,2)-(-1,-2)=(x,y)-(1,0), 即(1,4)=(x-1,y),解得 x=2,y=4. ∴D 点的坐标为(2,4) (如图中所示的 D2).。。。。。。。8 分
③若是?ABDC,则由A→B=C→D,得
(0,2)-(1,0)=(x,y)-(-1,-2), 即(-1,2)=(x+1,y+2).解得 x=-2,y=0. ∴D 点的坐标为(-2,0) (如图中所示的 D3), ∴以 A,B,C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标为

(0,-4)或(2,4)或(-2,0).

。。。。。。。。。。12 分

19.(1)见右图

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2 分

(2)证明: 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , C C1 ? 面 A B C D

?C C1 ? B D

又有

AC ? BD ,? BD ? 面ACC1A1 , AC1 ? 面ACC1A1,? BD ? AC1

同理 AC1 ? A1B ,而 BD ? A1B ? B ,? AC1 ? 面A1BD 。。。。。7 分

(3)法一(直接计算)由(2)知 AC1 ? 面A1BD ,设垂足为 O,由等积法知

AO

?

23 3

,?C1O

?

43 3

? ? 1

13

243 8

?VA1BC1D

?

3 S?A1BD

C1O

?

? 3

4

?

2

2

? 3

? 3

法二:(间接计算)用正方体体积减去四个角落的体积

。。。。。。12 分

20. 解 (1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61. 又|a|=4,|b|=3,∴64-4a·b-27=61,

∴a·b=-6.∴cos θ=|aa|·|bb|=-4×63=-12. 又 0≤θ≤π,∴θ=23π.。。。。。。。。。4

分 (2) |a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2

=42+2×(-6)+32=13,∴|a+b|= 13.

。。。。 。。。。。8

分 (3)∵A→B与B→C的夹角 θ=23π,∴∠ABC=π-23π=π3.

又|A→B|=|a|=4,|B→C|=|b|=3,

∴S△ABC=12|A→B||B→C|sin∠ABC=12×4×3× 23=3 3.

分 21.(1)证明 取 PC 的中点 G, 连接 EG、FG, ∵F 为 PD 的中点,



1 CD.

2

∵CD AB,又 E 为 AB 的中点, ∴AE GF. ∴四边形 AEGF 为平行四边形. ∴AF∥GE,且 AF ? 平面 PEC,因此 AF∥平面

。。。 。。。。。。12

PEC.。。。。。。。。。4 分

(2)证明 PA⊥平面 ABCD,∠PDA=45°.F 为 Rt△PAD 斜边 PD 的中点,

AF⊥PD,PD∩CD=D,∴AF⊥平面 PCD.

由(1)知 AF∥EG.∴EG⊥平面 PCD.

∵EG ? 平面 PEC,∴平面 PEC⊥平面 PCD.

。。。。。。。。。。8 分

(3)解 由(1)(2)知 AF∥平面 PEC,平面 PCD⊥平面 PEC,过 F 作 FH⊥PC

交 PC 于 H,则 FH⊥平面 PEC.

∴FH 的长度为 F 到平面 PEC 的距离,

即 A 到平面 PEC 的距离.

在△PFH 与△PCD 中,∠P 为公共角,

∠FHP=∠CDP=90°,

∴△PFH∽△PCD,∴ FH = PF .
CD PC

∵AD=2,PF= 2 ,PC= CD2 ? PD 2 = 8?8 =4,

∴FH= 2 ×2 2 =1.
4
∴A 到平面 PEC 的距离为 1. (也可用等积法做)

。。。。。。。。。。。。。。。12 分

22. 解:(1)连接 NO, NC, NB1

NC ? NB1 ? O为CB1中点

5 ?? ? ??

?

NO

?

CB1

?

? ?

?

CB1

?

平面BNC1

?

CB1

?

NC1

B B1C1C为正方形 ?

BC1

?

? CB1 ?

。。。。。。5 分

(2)延长 CA, C1N 交于 Q,连接 BQ,延长 CM 交 BQ 于 P,连接 OP.

NA NA

// CC1 ??

?

1 2

? CC1 ??

?

QA

?

AC

?

2

,

AB

?

2,

?QB ? BC

QB ? BC ?

BB1

?

QB

? ?

?

QB

?

平面B1BCC1

?

QB

?

? B1C ?
?

?

OC

?

平面QBC1

B1C ? BC1

? ?

??OPC为直线 CM 与平面 BNC1 所成角的平面角

??BCP ? ? , ?PBC ? ? , BC ? 2 ,

6

2

? 2 ? cos ? ? 3 ,? PC ? 4 3

PC

62

3

?sin ?OPC ? 2 ? 6 43 4 3

所以,直线 CM 与平面 BNC1 所成角的正弦值为

6. 4



。。。。。。。12

((3)思路二:取 A1B1 中点为 H,连接 C1H , 则 C1H // CM ,?C1H 与平面 BNC1 所

成角等于直线 CM 与平面 BNC1 所成角,可等体积法求得 H 到平面 BNC1 的距离 h ,

然后求线面角的正弦值 h ) C1H


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