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黑山县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

黑山县实验中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , F1 , F2 分别在其左、右焦点,点 P 为双曲线的右支上 a 2 b2 PM 所在直线与轴的交点坐标为 (1, 0) ,与双曲线的一条渐 的一点,圆 M 为三角形 PF 1F 2 的内切圆,
1. 已知双曲线 C : 近线平行且距离为 A. 5

姓名__________

分数__________

2 ,则双曲线 C 的离心率是( 2
B.2

) C. 2 D. )

2 2

2. 用一平面去截球所得截面的面积为 2π,已知球心到该截面的距离为 1,则该球的体积是( A. A. π B.2 π C.4 π D. π ) )

3. 双曲线 4x2+ty2﹣4t=0 的虚轴长等于( B.﹣2t C. D.4 B.2:3:4

4. 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径,则圆柱、圆锥、球的体积的比为( A.1:2:3 5. 已知 f(x)= A.﹣1 B.0 C.3:2:4 ,则 f(2016)等于( C.1 D.3:1:2 ) D.2

6. 设 m 是实数,若函数 f(x)=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在 R 上的奇函数,但不是偶函数,则下列关于函数 f (x)的性质叙述正确的是( C.m=±1 D.最小值为﹣3 ) A.只有减区间没有增区间 B.是 f(x)的增区间

7. 设 a , b 为正实数, A. 0 B. ?1

1 1 ? ? 2 2 , (a ? b)2 ? 4(ab)3 ,则 loga b =( a b
C. 1 D. ?1或 0



【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识,意在考查代数变形能与运算求解能力. 8. 设 f ( x ) 是偶函数,且在 (0, ??) 上是增函数,又 f (5) ? 0 ,则使 f ( x) ? 0 的的取值范围是( A. ?5 ? x ? 0 或 x ? 5 9. 下列命题正确的是( B. x ? ?5 或 x ? 5 )
2



C. ?5 ? x ? 5

D. x ? ?5 或 0 ? x ? 5

2 2 A.已知实数 a , b ,则“ a ? b ”是“ a ? b ”的必要不充分条件

2 B.“存在 x0 ? R ,使得 x0 ?1 ? 0 ”的否定是“对任意 x ? R ,均有 x ?1 ? 0 ”

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1 3

x C.函数 f ( x) ? x ? ( ) 的零点在区间 ( , ) 内

1 2

1 1 3 2

D.设 m, n 是两条直线, ? , ? 是空间中两个平面,若 m ? ? , n ? ? , m ? n 则 ? ? ? 10.设向量 , 满足:| |=3,| |=4, 的圆的公共点个数最多为( A.3 B.4 ) C.5 D.6 ) =0.以 , , ﹣ 的模为边长构成三角形,则它的边与半径为 1

11.已知△ABC 是锐角三角形,则点 P(cosC﹣sinA,sinA﹣cosB)在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12.函数 y=|a|x﹣ (a≠0 且 a≠1)的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题
13.已知 | a |? 2 , | b |? 1 , ?2a 与 b 的夹角为 14.若 log2(2m﹣3)=0,则 elnm﹣1= 15.命题“ ?x ? (0, ) , sin x ? 1 ”的否定是 2 x+y-5≤0

1 3

? ,则 | a ? 2b |? 3




?





? ? 16.若 x,y 满足约束条件?2x-y-1≥0,若 z=2x+by(b>0)的最小值为 3,则 b=________. ? ?x-2y+1≤0
17.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 6a=4b=3c,则 cosB= 18.执行如图所示的程序框图,输出的所有值之和是 . .

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【命题意图】本题考查程序框图的功能识别,突出对逻辑推理能力的考查,难度中等.

三、解答题
19.已知函数 (1)求 f(x)的周期. (2)当 时,求 f(x)的最大值、最小值及对应的 x 值. .

20.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sinA﹣sinC(cosB+ (1)求角 C 的大小; (2)若 c=2,且△ABC 的面积为 ,求 a,b 的值.

sinB)=0.

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21.已知函数



(Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点 P(1,f(1))处的切线与直线 y=x+2 垂直,求函数 y=f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对于?x∈(0,+∞)都有 f(x)>2(a﹣1)成立,试求 a 的取值范围;
1 (Ⅲ)记 g(x)=f(x)+x﹣b(b∈R).当 a=1 时,函数 g(x)在区间[e﹣ ,e]上有两个零点,求实数 b 的取

值范围.

22.设 F 是抛物线 G:x2=4y 的焦点. (1)过点 P(0,﹣4)作抛物线 G 的切线,求切线方程; (2)设 A,B 为抛物线上异于原点的两点,且满足 FA⊥FB,延长 AF,BF 分别交抛物线 G 于点 C,D,求四 边形 ABCD 面积的最小值.

23.某班 50 名学生在一次数学测试中,成绩全部介于 50 与 100 之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一 组[50,60),第二组[60,70),…,第五组[90,100].如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (Ⅰ)若成绩大于或等于 60 且小于 80,认为合格,求该班在这次数学测试中成绩合格的人数;

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(Ⅱ)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为 m、n, 求事件“|m﹣n|>10”概率.

24.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且满足 2bcosC=2a﹣c. (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若△ABC 的面积为 ,b=2 求 a,c 的值.

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黑山县实验中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意知 ?1,0 ? 到直线 bx ? ay ? 0 的距离为 线,离心率为 2 .故本题答案选 C. 1 考点:双曲线的标准方程与几何性质. 【方法点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几 何条件构造 a, b, c 的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中 a, b, c 与椭圆中 a, b, c 的关系不同.求双曲 线离心率的值或离心率取值范围的两种方法:(1)直接求出 a , c 的值,可得;(2)建立 a, b, c 的齐次关系式, 将用 a , c 表示,令两边同除以或 a 化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围. 2. 【答案】C 【解析】解:用一平面去截球所得截面的面积为 2π,所以小圆的半径为: 已知球心到该截面的距离为 1,所以球的半径为: 所以球的体积为: 故选:C. 3. 【答案】C
2 2 【解析】解:双曲线 4x +ty ﹣4t=0 可化为:
2

2 b 2 ,那么 ,得 a ? b ,则为等轴双曲 ? 2 2 b2 ? a 2

cm;



=4

π


2 2 ∴双曲线 4x +ty ﹣4t=0 的虚轴长等于

故选 C. 4. 【答案】D 【解析】解:设球的半径为 R,则圆柱、圆锥的底面半径也为 R,高为 2R, 则球的体积 V 球= 圆柱的体积 V 圆柱=2πR 圆锥的体积 V 圆锥= 故圆柱、圆锥、球的体积的比为 2πR :
3 3



=3:1:2

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故选 D 【点评】 本题考查的知识点是旋转体, 球的体积,圆柱的体积和圆锥的体积, 其中设出球的半径,并根据圆柱、 圆锥的底面直径和高都等于球的直径,依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键. 5. 【答案】D 【解析】解:∵f(x)= ,

∴f(2016)=f(2011)=f(2006)=…=f(1)=f(﹣4)=log24=2, 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数求值,难度不大,属于基础题. 6. 【答案】B 【解析】解:若 f(x)=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在 R 上的奇函数, 则 f(0)=|m|﹣1=0,则 m=1 或 m=﹣1, 当 m=1 时,f(x)=|x﹣1|﹣|x﹣1|=0,此时为偶函数,不满足条件, 当 m=﹣1 时,f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|,此时为奇函数,满足条件, 作出函数 f(x)的图象如图: 则函数在上为增函数,最小值为﹣2, 故正确的是 B, 故选:B

【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用,根据条件求出 m 的值是解决本题的关键.注意使用数形结合进 行求解. 7. 【答案】B.

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【解析】 (a ? b)2 ? 4(ab)3 ? (a ? b)2 ? 4ab ? 4(ab)3 ,故

1 1 a?b ? ?2 2? ?2 2 a b ab

1 1 (a ? b)2 4ab ? 4(ab)3 1 1 ? 2 ab ? ?2, ? 8 ? ? 4(ab ? ) ? 8 ? ab ? ? 2 ,而事实上 ab ? 2 2 ab ab (ab) (ab) ab ab ∴ ab ? 1 ,∴ log a b ? ?1,故选 B.

?

8. 【答案】B

考 点:函数的奇偶性与单调性. 【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性,数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数,所 以定义域关于原点对称,图象关于 y 轴对称,单调性在 y 轴两侧相反,即在 x ? 0 时单调递增,当 x ? 0 时, 函数单调递减.结合 f (5) ? 0 和对称性,可知 f (?5) ? 0 ,再结合函数的单调性,结合图象就可以求得最后的 解集.1 9. 【答案】C 【解析】

考 点:1.不等式性质;2.命题的否定;3.异面垂直;4.零点;5.充要条件. 【方法点睛】本题主要考查不等式性质,命题的否定,异面垂直,零点,充要条件.充要条件的判定一般有① 定义法:先分清条件和结论(分清哪个是条件,哪个是结论),然后找推导关系(判断 p ? q, q ? p 的真假), 最后下结论(根据推导关系及定义下结论). ②等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆 否命题来判断. 10.【答案】B 【解析】解:∵向量 ab=0,∴此三角形为直角三角形,三边长分别为 3,4,5,进而可知其内切圆半径为 1, ∵对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点, 对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况, 但 5 个以上的交点不能实现.

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故选 B 【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系.可采用数形结合结合的方法较为直观. 11.【答案】B 【解析】解:∵△ABC 是锐角三角形, ∴A+B> ∴A> , ﹣B, ﹣B)=cosB,

∴sinA>sin( ∴sinA﹣cosB>0,

同理可得 sinA﹣cosC>0, ∴点 P 在第二象限. 故选:B 12.【答案】D 【解析】解:当|a|>1 时,函数为增函数,且过定点(0,1﹣ 当|a|<1 时且 a≠0 时,函数为减函数,且过定点(0,1﹣ 故选:D. ),因为 0<1﹣ ),因为 1﹣ <1,故排除 A,B

<0,故排除 C.

二、填空题
13.【答案】 2 【解析】解析:本题考查向量夹角与向量数量积的应用. a 与 b 的夹角为 ∴ | a ? 2b |? 14.【答案】

2? , a ? b ? ?1 , 3

(a ? 2b) 2 ? | a |2 ?4a ? b ? 4 | b |2 ? 2 .

m

【解析】解:∵log2(2 ﹣3)=0,
m ∴2 ﹣3=1,解得 m=2, lnm 1 ln2 ∴e ﹣ =e ÷e= .

故答案为: . 【点评】本题考查指数式化简求值,是基础题,解题时要注意对数方程的合理运用.

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15.【答案】 ?x ? 0, 【解析】

? ?2 ?
?

, sin ≥ 1

试题分析:“ ?x ? (0, ) , sin x ? 1 ”的否定是 ?x ? 0, , sin ≥ 1 2 2 考点:命题否定 【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作:①找到命题所含的量词,没有量词的要结合 命题的含义加上量词,再进行否定;②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“?x∈M,p(x)”是 真命题,需要对集合 M 中的每个元素 x,证明 p(x)成立;要判定一个全称命题是假命题,只要举出集合 M 中的一个特殊值 x0,使 p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个 x =x0,使 p(x0)成立即可,否则就是假命题. 16.【答案】 【解析】

? ??

约束条件表示的区域如图, 当直线 l:z=2x+by(b>0)经过直线 2x-y-1=0 与 x-2y+1=0 的交点 A(1,1)时,zmin=2+b,∴2+b =3,∴b=1. 答案:1 17.【答案】 .

【解析】解:在△ABC 中,∵6a=4b=3c ∴b= ,c=2a, = = .

由余弦定理可得 cosB= 故答案为: .

【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用,用 a 表示 b,c 是解决问题的关键,属于基础题.

18.【答案】54

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【解析】根据程序框图可知循环体共运行了 9 次,输出的 x 是 1,3,5,7,9,11,13,15, 17 中不是 3 的 倍数的数,所以所有输出值的和 1 ? 5 ? 7 ? 11 ? 13 ? 17 ? 54 .

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)∵函数 ∴函数 f(x)=2sin(2x+ ∴f(x)的周期 T= 即 T=π (2)∵ ∴ ∴﹣1≤sin(2x+ 最大值 2,2x 最小值﹣1,2x , )≤2 = = ,此时 此时 , =π ). .

【点评】本题简单的考察了三角函数的性质,单调性,周期性,熟练化为一个角的三角函数形式即可.

20.【答案】 【解析】(本题满分为 12 分) 解:(1)∵由题意得,sinA=sin(B+C), ∴sinBcosC+sinCcosB﹣sinCcosB﹣ 即 sinB(cosC﹣ ∵sinB≠0, ∴tanC= ,故 C= = .…(6 分) , sinC)=0, sinBsinC=0,…(2 分)

(2)∵ ab× ∴ab=4,①

又 c=2,…(8 分)
2 2 ∴a +b ﹣2ab× =4,

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∴a2+b2=8.② ∴由①②,解得 a=2,b=2.…(12 分) 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理,三角函数恒等变换的应用,三角形面积公式,余弦定理在解三角 形中的综合应用,考查了转化思想,属于基础题. 21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)直线 y=x+2 的斜率为 1,函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 因为 所以, ,所以, , ,所以,a=1. . 由 f'(x)>0 解得 x>2;由 f'(x)<0,解得 0<x<2.

所以 f(x)的单调增区间是(2,+∞),单调减区间是(0,2). (Ⅱ) ,由 f'(x)>0 解得 ; 由 f'(x)<0 解得 .

所以,f(x)在区间 所以,当 成立, 所以,

上单调递增,在区间

上单调递减. .因为对于?x∈(0,+∞)都有 f(x)>2(a﹣1)

时,函数 f(x)取得最小值,

即可. 则

. 由

解得



所以,a 的取值范围是 (Ⅲ) 依题得 由 g'(x)>0 解得 x>1;

. ,则 由 g'(x)<0 解得 0<x<1. .

所以函数 g(x)在区间(0,1)为减函数,在区间(1,+∞)为增函数. 又因为函数 g(x)在区间[e﹣ ,e]上有两个零点,所以
1



解得



所以,b 的取值范围是



【点评】本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系,利用导数求函数的单调区间以及函数的最值.

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22.【答案】 【解析】解:(1)设切点 由 . ,

,知抛物线在 Q 点处的切线斜率为 .

故所求切线方程为
2 即 y= x0x﹣ x0 .

因为点 P(0,﹣4)在切线上. 所以 , ,解得 x0=±4.

所求切线方程为 y=±2x﹣4. (2)设 A(x1,y1),C(x2,y2). 由题意知,直线 AC 的斜率 k 存在,由对称性,不妨设 k>0. 因直线 AC 过焦点 F(0,1),所以直线 AC 的方程为 y=kx+1. 点 A,C 的坐标满足方程组 得 x ﹣4kx﹣4=0, 由根与系数的关系知 |AC|= , =4(1+k2),
2



因为 AC⊥BD,所以 BD 的斜率为﹣ ,从而 BD 的方程为 y=﹣ x+1. 同理可求得|BD|=4(1+ SABCD= |AC||BD|= 当 k=1 时,等号成立. 所以,四边形 ABCD 面积的最小值为 32. 【点评】本题考查抛物线的方程和运用,考查直线和抛物线相切的条件,以及直线方程和抛物线的方程联立, 运用韦达定理和弦长公式,考查基本不等式的运用,属于中档题. 23.【答案】 ), =8(2+k2+ )≥32.

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【解析】解:(I)由直方图知,成绩在[60,80)内的人数为:50×10×(0.18+0.040)=29. 所以该班在这次数学测试中成绩合格的有 29 人. (II)由直方图知,成绩在[50,60)内的人数为:50×10×0.004=2, 设成绩为 x、y 成绩在[90,100]的人数为 50×10×0.006=3,设成绩为 a、b、c, 若 m,n∈[50,60)时,只有 xy 一种情况, 若 m,n∈[90,100]时,有 ab,bc,ac 三种情况, 若 m,n 分别在[50,60)和[90,100]内时,有 a b c x xa xb xc y ya yb yc 共有 6 种情况,所以基本事件总数为 10 种, 事件“|m﹣n|>10”所包含的基本事件个数有 6 种 ∴ . ,所以有: ×组距=

【点评】在频率分布直方图中,每一个小矩形都是等宽的,即等于组距,高是 频率;即可把所求范围内的频率求出,进而求该范围的人数. 24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)已知等式 2bcosC=2a﹣c,利用正弦定理化简得: 2sinBcosC=2sinA﹣sinC=2sin(B+C)﹣sinC=2sinBcosC+2cosBsinC﹣sinC, 整理得:2cosBsinC﹣sinC=0, ∵sinC≠0, ∴cosB= , 则 B=60°; (Ⅱ)∵△ABC 的面积为 = acsinB= ac,解得:ac=4,①

2 2 2 2 2 又∵b=2,由余弦定理可得:2 =a +c ﹣ac=(a+c) ﹣3ac=(a+c) ﹣12,

∴解得:a+c=4,② ∴联立①②解得:a=c=2.

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