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桐柏县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

桐柏县一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 M={2,3,4},N={0,1,4},则集合{0,1}可以表示为( A.M∪N B.(?UM)∩N C.M∩(?UN) D.(?UM)∩(?UN) ) )

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 如图,一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置 C 对隧道底 AB 的张角 θ 最大时采集效果最好,则采集效果最好时位置 C 到 AB 的距离是(

A.2 A.3 A.1

m B.2 B.4 B. C.5 C.

m C.4 m D.6 m ) ) D.6 D.2

3. 设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,已知 3S3=a4﹣2,3S2=a3﹣2,则公比 q=(

4. 极坐标系中,点 P,Q 分别是曲线 C1:ρ=1 与曲线 C2:ρ=2 上任意两点,则|PQ|的最小值为(

5. 一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧(左)视图分别如图所,则该几何体的俯视图为 ( )

A.

B.

C.

D. )

6. 已知 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数,当 x∈(0,1)时,f(x)=3x﹣1,则 f(log35)=( A. B.﹣ C.4 D. )

7. 单位正方体(棱长为 1)被切去一部分,剩下部分几何体的三视图如图所示,则(

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A.该几何体体积为

B.该几何体体积可能为 D.该几何体唯一 ) C. 60 D. 30

C.该几何体表面积应为 +

8. 直线 3x ? y ?1 ? 0 的倾斜角为( A. 150 B. 120

9. 已知数列 ?an ? 的各项均为正数, a1 ? 2 ,an ?1 ? an ? ( A. 35
2

? 1 ? 4 , 若数列 ? 则n ? ? 的前 n 项和为 5, an ?1 ? an a ? a ? n?1 n ?
D. 121

) B. 36 C. 120 )

10.“x ﹣4x<0”的一个充分不必要条件为( A.0<x<4 B.0<x<2 C.x>0 D.x<4

11.若复数 z1 , z2 在复平面内对应的点关于 y 轴对称,且 z1 ? 2 ? i ,则复数 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

z1 在复平面内对应的点在( z2



D.第四象限 )

【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识,意在考查转化思想与计算能力. 12.已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能是( A.1 B. C. D.

二、填空题
13.设全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,2},集合 B={2,3},则(? UA)∪B= 的标准差是 2 2 ,则 a ? . . 14.已知一组数据 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的方差是 2,另一组数据 ax1 , ax2 , ax3 , ax4 , ax5 ( a ? 0 )

? y ? 2x ? 15.设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 3 y 的最大值是____________. ? y ?1 ? 0 ?
16.一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 .

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17.设 f(x)是(x2+ 围是 18. .

) 展开式的中间项,若 f(x)≤mx 在区间[

6



]上恒成立,则实数 m 的取值范

=



三、解答题
19.已知函数 f(x)=1+ (﹣2<x≤2).

(1)用分段函数的形式表示函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域.

20.已知 z 是复数,若 z+2i 为实数(i 为虚数单位),且 z﹣4 为纯虚数. (1)求复数 z;
2 (2)若复数(z+mi) 在复平面上对应的点在第四象限,求实数 m 的取值范围.

21.已知双曲线过点 P(﹣3 (1)求双曲线的标准方程;

,4),它的渐近线方程为 y=± x.

(2)设 F1 和 F2 为该双曲线的左、右焦点,点 P 在此双曲线上,且|PF1||PF2|=41,求∠F1PF2 的余弦值.

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2 2 22.已知 A ? a , a ? 1, ?3 , B ? a ? 3,3a ? 1, a ? 1 ,若 A

?

?

?

?

B ? ??3? ,求实数的值.

23.(本题满分 15 分)
2 2 正项数列 {an } 满足 an ? an ? 3an ?1 ? 2an?1 , a1 ? 1 .

(1)证明:对任意的 n ? N , an ? 2an?1 ;
*

(2)记数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,证明:对任意的 n ? N , 2 ?
*

1 2 n ?1

? Sn ? 3 .

【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性,不等式性质等基础知识,意在考查推理论证能力,分析和解 决问题的能力.

24.已知函数 f(x)=lnx+ ax2+b(a,b∈R). (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线为 y=﹣1,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)求证:对任意给定的正数 m,总存在实数 a,使函数 f(x)在区间(m,+∞)上不单调; (Ⅲ)若点 A(x1,y1),B(x2,y2)(x2>x1>0)是曲线 f(x)上的两点,试探究:当 a<0 时,是否存在 实数 x0∈(x1,x2),使直线 AB 的斜率等于 f'(x0)?若存在,给予证明;若不存在,说明理由.

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桐柏县一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:全集 U={0,1,2,3,4},集合 M={2,3,4},N={0,1,4}, ∴?UM={0,1}, ∴N∩(?UM)={0,1}, 故选:B. 【点评】本题主要考查集合的子交并补运算,属于基础题. 2. 【答案】A
2 【解析】解:建立如图所示的坐标系,设抛物线方程为 x =﹣2py(p>0),

将点(4,﹣4)代入,可得 p=2,
2 所以抛物线方程为 x =﹣4y,

设 C(x,y)(y>﹣6),则 由 A(﹣4,﹣6),B(4,﹣6),可得 kCA= ,kCB= ,

∴tan∠BCA=

=

=



令 t=y+6(t>0),则 tan∠BCA= ∴t=2

=



时,位置 C 对隧道底 AB 的张角最大,

故选:A.

【点评】本题考查抛物线的方程与应用,考查基本不等式,确定抛物线的方程及 tan∠BCA,正确运用基本不 等式是关键. 3. 【答案】B

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【解析】解:∵Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,3S3=a4﹣2,3S2=a3﹣2, 两式相减得 3a3=a4﹣a3, a4=4a3, ∴公比 q=4. 故选:B. 4. 【答案】A 【解析】解:极坐标系中,点 P,Q 分别是曲线 C1:ρ=1 与曲线 C2:ρ=2 上任意两点, 可知两条曲线是同心圆,如图,|PQ|的最小值为:1. 故选:A.

【点评】本题考查极坐标方程的应用,两点距离的求法,基本知识的考查. 5. 【答案】C 【解析】 解: 由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向, 从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧, 由以上各视图的描述可知其俯视图符合 C 选项. 故选:C. 【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系,要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义.

6. 【答案】B 【解析】解:∵f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数, ∴f(log35)=f(log35﹣2)=f(log3 ),

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x ∵x∈(0,1)时,f(x)=3 ﹣1

∴f(log3 )═﹣ 故选:B 7. 【答案】C 【解析】解:由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为 1 的正方体,截掉一个角(三棱锥)得到 且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为 1 该几何体的表面积由三个正方形,有三个两直角边为 1 的等腰直角三角形和一个边长为 故其表面积 S=3?(1×1)+3?( ×1×1)+ 故选:C. 【点评】 本题考查的知识点是由三视图求表面积, 其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题 的关键. 8. 【答案】C 【解析】 试题分析:由直线 3x ? y ? 1 ? 0 ,可得直线的斜率为 k ? 3 ,即 tan ? ? 3 ? ? ? 60 ,故选 C.1 考点:直线的斜率与倾斜角. 9. 【答案】C 【解析】解析:本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前 n 项和.由 an ?1 ? an ?
2 2 2 4 4 a2 an ?1 ? an ? 4 ,∴ ? n ? 是等差数列,公差为 ,首项为 ,∴ an ? 4 ? 4(n ? 1) ? 4n ,由 an ? 0 得

的正三角形组成

?(

2 )=



4 得 an ?1 ? an

an ? 2 n .

? 1 ? 1 1 1 ? ? ( n ? 1 ? n ) ,∴数列 ? ? 的前 n 项和为 an?1 ? an 2 n ? 1 ? 2 n 2 ? an?1 ? an ? 1 1 1 1 ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? ? ( n ? 1 ? n ) ? ( n ? 1 ? 1) ? 5 ,∴ n ? 120 ,选 C. 2 2 2 2

10.【答案】B 【解析】解:不等式 x ﹣4x<0 整理,得 x(x﹣4)<0 ∴不等式的解集为 A={x|0<x<4}, 因此,不等式 x ﹣4x<0 成立的一个充分不必要条件, 对应的 x 范围应该是集合 A 的真子集. 写出一个使不等式 x ﹣4x<0 成立的充分不必要条件可以是:0<x<2, 故选:B.
2 2 2

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11.【答案】B 【 解 析 】

12.【答案】C 【解析】解:水平放置的正方体,当正视图为正方形时,其面积最小为 1;当正视图为对角面时,其面积最大 为 . . 因此可知:A,B,D 皆有可能,而 故选 C. 【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为 是解题的关键. <1,故 C 不可能. 因此满足棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积的范围为

二、填空题
13.【答案】 {2,3,4} . 【解析】解:∵全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,2}, ∴CUA={3,4}, 又 B={2,3}, ∴(CUA)∪B={2,3,4}, 故答案为:{2,3,4} 14.【答案】2 【解析】 试 题 分 析 : 第 一 组 数 据 平 均 数 为 x,?( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ( x3 ? x)2 ? ( x4 ? x)2 ? ( x5 ? x)2 ? 2 ,

(ax1 ? ax)2 ? (ax2 ? ax)2 ? (ax3 ? ax)2 ? (ax4 ? ax)2 ? (ax5 ? ax)2 ? 8,?a2 ? 4,?a ? 2 .
考点:方差;标准差. 15.【答案】 【解析】 试题分析:画出可行域如下图所示,由图可知目标函数在点 A ? ,

7 3 7 ?1 2? ? 处取得最大值为 3 . ?3 3?

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考点:线性规划. 16.【答案】 .

【解析】解:由题意可得,2a,2b,2c 成等差数列 ∴2b=a+c 2 2 2 ∴4b =a +2ac+c ①
2 2 2 ∵b =a ﹣c ②

①②联立可得,5c2+2ac﹣3a2=0 ∵
2 ∴5e +2e﹣3=0

∵0<e<1 ∴ 故答案为: 【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用,解题中要椭圆离心率的取值范围的应用,属于中档试题 17.【答案】 [5,+∞) .

【解析】二项式定理. 【专题】概率与统计;二项式定理.

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3 2 【分析】由题意可得 f(x)= x ,再由条件可得 m≥ x 在区间[



]上恒成立,求得 x2 在区间[



]

上的最大值,可得 m 的范围. 【解答】解:由题意可得 f(x)= 由 f(x)≤mx 在区间[
2 由于 x 在区间[

x6

= x3. , ]上恒成立,



]上恒成立,可得 m≥ x2 在区间[



]上的最大值为 5,故 m≥5,

即 m 的范围为[5,+∞), 故答案为:[5,+∞). 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,函数的恒成立问 题,属于中档题. 18.【答案】 2 . 【解析】解: 故答案为:2. 【点评】本题考查了对数的运算性质,属于基础题. =2+lg100﹣2=2+2﹣2=2,

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)函数 f(x)=1+ (2)函数的图象如图: = ,



(3)函数值域为:[1,3).

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20.【答案】 【解析】解:(1)设 z=x+yi(x,y∈R). 由 z+2i=x+(y+2)i 为实数,得 y+2=0,即 y=﹣2. 由 z﹣4=(x﹣4)+yi 为纯虚数,得 x=4. ∴z=4﹣2i.
2 2 (2)∵(z+mi) =(﹣m +4m+12)+8(m﹣2)i,

根据条件,可知 解得﹣2<m<2, ∴实数 m 的取值范围是(﹣2,2). 【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义,属于基础题. 21.【答案】
2 【解析】解:(1)设双曲线的方程为 y ﹣

x2=λ(λ≠0),

代入点 P(﹣3

,4),可得 λ=﹣16,

∴所求求双曲线的标准方程为 (2)设|PF1|=d1,|PF2|=d2,则 d1d2=41, 又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6,
2 2 2 2 ∴d1 +d2 ﹣2d1d2=36 即有 d1 +d2 =36+2d1d2=118,

又|F1F2|=2c=10,
2 2 2 ∴|F1F2| =100=d1 +d2 ﹣2d1d2cos∠F1PF2

∴cos∠F1PF2= 【点评】本题给出双曲线的渐近线,在双曲线经过定点 P 的情况下求它的标准方程,并依此求∠F1PF2 的余弦 值.着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识,属于中档题.

22.【答案】 a ? ? 【解析】

2 . 3

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考点:集合的运算. 23.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.

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24.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)由已知得 此时 ,

解得

… (x>0).

令 f'(x)=0,得 x=1,f(x),f'(x)的变化情况如下表: x 1 (0,1) f'(x) f(x) + 单调递增 0 极大值

(1,+∞) ﹣ 单调递减

所以函数 f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+∞).… (Ⅱ) (x>0).

(1)当 a≥0 时,f'(x)>0 恒成立,此时,函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,不合题意,舍去.… (2)当 a<0 时,令 f'(x)=0,得 x f'(x) f(x) (0, + 单调递增 ) 0 极大值 ),减区间为( ,f(x),f'(x)的变化情况如下表: ( ﹣ 单调递减 ,+∞).… >m,即 . ,+∞)

所以函数 f(x)的增区间为(0,

要使函数 f(x)在区间(m,+∞)上不单调,须且只须 所以对任意给定的正数 m,只须取满足 单调.…

的实数 a,就能使得函数 f(x)在区间(m,+∞)上不

(Ⅲ)存在实数 x0∈(x1,x2),使直线 AB 的斜率等于 f'(x0).… 证明如下:令 g(x)=lnx﹣x+1(x>0),则 ,

易得 g(x)在 x=1 处取到最大值,且最大值 g(1)=0,即 g(x)≤0,从而得 lnx≤x﹣1. (*)… 由 令 增. , ,得 .… ,则 p(x),q(x)在区间[x1,x2]上单调递

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且 , 结合(*)式可得,





. 令 h(x)=p(x)+q(x),由以上证明可得,h(x)在区间[x1,x2]上单调递增,且 h(x1)<0,h(x2)>0,… 所以函数 h(x)在区间(x1,x2)上存在唯一的零点 x0, 即 (注:在(Ⅰ)中,未计算 b 的值不扣分.) 【点评】 本小题主要考查函数导数的几何意义、 导数的运算及导数的应用, 考查运算求解能力、 抽象概括能力、 推理论证能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想. 成立,从而命题成立.…

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