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广东省潮州市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测高三数学(文科)试卷


广东省潮州市 2014-2015 学年度第一学期期末教学质量检测 高三数学(文科)试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. ) 1、设全集 U ? R ,集合 ? ? ? x 0 ? x ? 2? , ? ? ? x x ? 1? ,则集合 ? ? ? ( A. ? 2, ?? ? B. ? 2, ?? ? C. ? ??, 2? ) D. ? 2, 0 ? ) D. ? 0, 2 ? )

D. ? ??,1?

2、复数 z ? ?1 ? i ??1 ? i ? 在复平面内对应的点的坐标为( A. ?1, 0 ? B. ? 0, 2 ?

C. ? 0,1?

3、若向量 a ? ? 2, ?1? , b ? ? 0, 2 ? ,则以下向量中与 a ? b 垂直的是( A. ?1, ?2 ? 4、函数 f ? x ? ? A. ? 0, 2 ? B. ?1, 2 ? C. ? 2,1? ) C. ? 0,1?

2x ? x2 的定义域是( x ?1
B. ? 0, 2?

?1, 2 ?

D. ? 0,1?

?1, 2?

5、高三 ? 3? 班共有学生 56 人,现根据座号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本.已知 3 号、 31 号、 45 号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的座号是( A. 15 B. 16 C. 17 ) D. 18

6 、已知函数 f ? x ? ? ? sin ?? x ? ? ? ( ? ? 0 , ? ? 0 , 分图象如图所示,则 ? ? ( A. ) B.

? ?

?
2

) 的部

? 6
?
6

? 3
?
3

C. ?

D. ?

?x ? 2 y ? 0 ? 7、设 z ? x ? y ,其中实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ?y ? 6 ?
( ) B. 6 C. 0 ) D. ?6

的最大值为

A. 12

8、在 ???C 中, “ ?? ? ?C ? 0 ”是“ ???C 为锐角三角形”的(

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

9、已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( A.
2 3 ?? 3

B.

2 3 ? 2? 3

C. 2 3 ? ?

D. 2 3 ? 2?

10、若函数 y ? f ? x ? ( x ? R )满足 f ? x ? 1? ? ? f ? x ? ,且 x ? ? ?1,1? 时,
?lg x, x ? 0 ? f ? x ? ? 1 ? x 2 ,已知函数 g ? x ? ? ? 1 ,则函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在 ? , x ? 0 ? ? x

区间 ? ?5,5? 内的零点的个数为(



A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 11 、 圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的 圆 心 C 到 抛 物 线 y 2 ? 4 x 的 准 线 的 距 离 为 . 12 、设 ? ? 0, 0 ? , ? ? 4, 0 ? ,在线段 ?? 上任投一点 ? ,则 ?? ? 1 的概率 为 . . 13、 执行右边的程序框图, 若输入的 ? 是 4 , 则输出 p 的值是

14、 如右图所示, 坐标纸上的每个单元格的边长为, 由下往上的六个点: ,
2 , 3 , 4 , 5 , 6 的横、纵坐标分别对应数列 ?an ? ( n ? ? ? )的前 12 项,

如下表所示:

按如此规律下去,则 a2011 ? a2012 ? a2013 ?



三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) ?? ? 15、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . 6? ? ?1? 求 f ?? ? 的值;

? 2? 若 f ? ?? ?
?

2? 3

? 6 ? ? ? ? ? , ? ? ? ? , 0 ? ,求 f ? 2? ? 的值. ? 5 ? 2 ?

16、 (本小题满分 13 分)从一批草莓中,随机抽取 n 个,其重量(单位:克)的频率分布表如下: ?80,85? ?85,90 ? ?90,95? ?95,100 ? 分组(重量) 频数(个)

10

50

x

15
4 . 19

已知从 n 个草莓中随机抽取一个,抽到重量在 ?90,95 ? 的草莓的概率为

?1? 求出 n , x 的值; ? 2 ? 用分层抽样的方法从重量在 ?80,85? 和 ?95,100 ? 的草莓中共抽取 5 个,再从这 5 个草莓中任取 2 个,求重量在 ?80,85 ? 和 ?95,100 ? 中各有个的概率.

17、 (本小题满分 13 分)如图,三棱柱 ??C ? ?1?1C1 中, C? ? C? , ?? ? ??1 , ????1 ? 60 .

?1? 证明: ?? ? ?1C ; ? 2 ? 若 ?? ? C? ? 2 , ?1C ?

6 ,求三棱锥

C ? ??C1 的

体积.

18、 (本小题满分 14 分)已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , an ? 0 , a1 ? 等差数列. ?1? 求数列 ?an ? 的通项公式;

2 3 1 1 ,且 ? , , 成 3 a2 a3 a4

? 2 ? 设数列 ?bn ? 满足 bn ? log3 ?1 ? Sn?1 ? ? 1 ,求适合方程 b1b2 ? b2b3 ? ??? ? bnbn?1 ?

25 的正整数 n 的值. 51

19、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ?

? 2 ? 如果对于任意 x ? ?1, ?? ? ,都有 f ? x ? ? ? x ? 2 ,求 a 的取值范围.

a ,其中 a ? R . x ?1? 当 a ? 2 时,求函数 f ? x ? 的图象在点 ?1, f ?1? ? 处的切线方程;

20、 (本小题满分 14 分)已知椭圆

? ? 2, t ? ( t ? 0 ) .

? 6 1? y 2 x2 2 ,离心率为 ,动点 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )经过点 ? ? , ? 2 ? 2 2? a b 2 ? ?

?1? 求椭圆的标准方程; ? 2 ? 求以 ?? ( ? 为坐标原点)为直径且被直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 的圆的方程; ? 3? 设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 ?? 的垂线与以 ?? 为直径的圆交于点 ? ,证明线段 ?? 的长为
定值,并求出这个定值.

潮州市 2014-2015 学年度第一学期期末教学质量检测 高三数学(文科)试卷参考答案及评分标准
一、选择题:本题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 D 5 C 6 B 7 A 8 B 9 C 10 D

二、填空题:本题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 11.2; 12.

1 ; 4

13.24;

14.1006.

解析提示:
2.由于 z ? (1 ? i ) (1 ? i ) ? 1 ? i ? 2 .
2

3. a ? b ? ( 2 , 1) ,用排除法.

?2 x ? x 2 ? 0 ?0 ? x ? 2 4.由 ? ,解得 ? ,故 0 ? x ? 1 ,或 1 ? x ? 2 . ?x ? 1 ?x ?1 ? 0
5.由系统抽样的特点—等距离可得. 6.由图可知 A ? 2 , T ? 4 ? ( 所以 2 ?

?

?
12

?? ?

?
2

) ? ? ,故 ? ? 2 ,又 f ( ) ? 2 , 3 12 12 ?

?

?

? 2k? (k ? Z ) ,故 ? ?

?

3

? 2k? ,又 | ? | ?

?

2

,所以 ? ?

?
3



7.画出条件的可行域,平移直线 y ? ? x ,当经过点 ( 6 , 6 ) 时 z 取得最大值. 8.由 AB ? AC ? 0 只能得到角 A 是锐角,无法得到 ?ABC 为锐角三角形,但 ?ABC 为锐角三角形时,角 A 一定 是锐角,故 AB ? AC ? 0 9.由三视图可知该几何体是由一个半圆柱与一个直三棱柱组合而成的几何体,于是该几何 体的体积为 V ? [ (? ? 12 ) ?

1 2

1 ? 2 ? 3] ? 2 ? ? ? 2 3 . 2

10.分别作出函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象, 由图象可知函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [ ? 5 , 5] 内的零点的个数为 8 个.

11.圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心 C (1 , 0 ) ,抛物线 y ? 4 x 的准线 l : x ? ?1 .
2 2 2

d ? |1 ? (?1) |? 2 .
13.循环 4 次, p ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? 24 . 14.a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4,?,这个数列的规律是奇数

项为 1,-1,2,-2,3,?,偶数项为 1,2,3,?,故 a2 011+a2 013=0,a2 012=1 006,故 a2 011+a2 012 +a2 013=1 006.
三、解答题:本题有 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)由已知得 f (? ) ? 2 cos(? ? (2)因为 f (? ?

?
6

) ? ?2 cos

?
6

? ?2 ?

3 ? ? 3 .……………4 分 2

2? 2? ? ? ) ? 2 cos(? ? ? ) ? 2 cos(? ? ) ? ?2sin ? , 3 3 6 2 2? 6 6 3 又 f (? ? ) ? ,故 ?2sin ? ? ,即 sin ? ? ? . …. ………………………6 分 3 5 5 5
又? ? ( ?

?

3 4 , 0 ) ,故 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? (? ) 2 ? ..……………..……8 分 5 5 2

所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? ( ? ) ?

3 4 24 , ?? 5 5 25 4 7 ..……………………….………….…10 分 cos 2? ? 2 cos 2 ? 1 ? 2 ? ( ) 2 ? 1 ? 5 25

所以 f (2? ) ? 2 cos(2? ?

?

6

) ? 2 cos 2? cos

?

6

? 2sin 2? sin

?

6

? 2?

7 3 24 1 7 3 ? 24 .. ……………….……12 分 ? ? 2 ? (? ) ? ? 25 2 25 2 25

16.解: (1)依题意可得, ? n

? x 4 ? ? ,从而得 x ? 20, n ? 95 ……………..…4 分 19 ? ?n ? 10 ? 50 ? 20 ? x

(2)若采用分层抽样的方法从重量在 [80 , 85) 和 [ 95 , 100 ) 的草莓中共抽取 5 个,则重量在 [80 , 85) 的个数为

10 …………………..…5 分 ? 5 ? 2 ;记为 x , y , 10 ? 15 15 在 [ 95 , 100 ) 的个数为 ? 5 ? 3 ;记为 a , b , c , …………………..…6 分 10 ? 15 从抽出的 5 个草莓中, 任取 2 个共有 ( x , a ) ,( x , b ) ,( x , c ) ,( a , b ) ,( a , c ) ,( b , c ) ,( y , a ) ,( y , b ) ,
( y , c ) , ( x , y ) 10 种情况.
…8 分

其中符合 “重量在 [80 , 85) 和 [ 95 , 100 ) 中各有一个” 的情况共有 ( x , a ) ,( x , b ) ,( x , c ) ,( y , a ) ,( y , b ) ,

( y , c ) 6 种.

……………10 分

设 事 件 A 表 示 “ 抽 出 的 5 个 草 莓 中 , 任 取 2 个 , 重 量 在 [80 , 85) 和 [ 95 , 100 ) 中 各 有 一 个 ” ,则

6 3 ? .……………..….12 分 10 5 答 : 从 抽 出 的 5 个 草 莓 中 , 任 取 2 个 , 重 量 在 [80 , 85) 和 [ 95 , 100 ) 中 各 有 一 个 的 概 率 为 P( A) ? 3 .………………………..…….13 分 5
17. (1)证明:取 AB 的中点 O ,连接 CO , OA1 , A1 B .

CA ? CB ,故 CO ? AB ,…………………………………………. 2 分
又 AB ? AA1 , ?BAA1 ? 60o .

??A1 AB 为等边三角形. ? A1O ? AB ,…………………………………………………….…….4 分
又因为 CO ? 平面 COA1 , A1O ? 平面 COA1 , CO

A1O ? O .

? AB ? 平面 COA1 .………………………………………..………….6 分
又 A1C ? 平面 COA1 ,因此 AB ? A1C ;…………………………….7 分 (2)解:在等边 ?ABC 中 CO ? 2 ?

3 3 ? 3 ,在等边 ?A1 AB 中 A1O ? 2 ? ? 3; 2 2

在 ?A1OC 中 OC 2 ? A1O 2 ? 3 ? 3 ? 6 ? A1C 2 .

? ?A1OC 是直角三角形,且 ?A1OC ? 90o ,故 OC ? A1O .……….….9 分
又 OC 、 AB ? 平面 ABC , OC

AB ? O ,

? A1O ? 平面 ABC .
故 A1O 是三棱锥 A1 ? ABC 的高.……………………………..…………….10 分

1 ? 2 ? 2sin 60o ? 3 . 2 1 1 ? 三棱锥 A1 ? ABC 的体积 V ? S ?ABC ? A1O ? ? 3 ? 3 ? 1 . 3 3
又 S ?ABC ?

? 三棱锥 C ? ABC1 的体积为 1.…………………………………………….13 分

18.解: (1)设数列 { an } 的公比为 q ,由 an ? 0 ,得 q ? 0 . 由?

3 1 1 , , 成等差数列, a2 a3 a4



2 3 1 2 3 1 , ? ? ? ,所以 ?? ? 2 a3 a2 a4 a1q a1q a1q 3

得 ?3 ?

1 2 ? ,故 3q 2 ? 2q ? 1 ? 0 .…………………...………..2 分 q2 q

1 ,或 q ? ?1 (舍) .………………………….….………4 分 3 2 1 1 所以 an ? a1q n ?1 ? ? ( ) n ?1 ? 2 ? ( ) n ;……………………………6 分 3 3 3 2 1 (1 ? n ?1 ) a1 (1 ? q n ?1 ) 3 1 3 (2)由(1)得 S n ?1 ? ? ? 1 ? n ?1 , 1 1? q 3 1? 3 1 故 log 3 (1 ? S n ?1 ) ? log 3 n ?1 ? ? n ? 1 ,………………………………8 分 3
解得 q ? 所以 bn ?

1 1 .…………………..………………9 分 ?? log 3 (1 ? S n ?1 ) n ?1

bnbn ?1 ?

1 1 1 .…………..……………11 分 ? ? (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2
? bnbn ?1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 3 3 4 ? 1 1 1 1 ? ? ? n ?1 n ? 2 2 n ? 2

b1b2 ? b2b3 ?
由题意得

1 1 25 ..………………………..…………. ……13 分 ? ? 2 n ? 2 51 解得 n ? 100 ,
? 满足题意得 n ? 100 .…………………………..…………. ……14 分
19.(本小题满分 14 分) (1)解:当 a ? 2 时,由已知得 f ( x) ? ln x ? 所以 f '(1) ? 1 ? 2 ? 3 ,又因为 f (1) ? ln1 ?

1 2 2 ,故 f ?( x) ? ? 2 ,………...… 2 分 x x x

2 ? ?2 , 1

所以函数 f ( x) 的图象在点 (1 , f (1) ) 处的切线方程为 y ? 2 ? 3( x ? 1) , 即 3 x ? y ? 5 ? 0 ;…………………………………………………………... 5 分

(2)解:由 f ( x) ? ? x ? 2 ,得 ln x ? 故 a ? x ln x ? x 2 ? 2 x . 设函数 g ( x) ? x ln x ? x ? 2 x ,
2

a ? ? x ? 2 ,又 x ? (1 , ? ? ) , x
…………………………7 分

则 g '( x) ? ln x ? x ?

1 ? 2 x ? 2 ? ln x ? 2 x ? 1 . ………….…..……… 8 分 x

因为 x ? (1 , ? ? ) , 所以 ln x ? 0 , 2 x ? 1 ? 0 , 所以当 x ? (1 , ? ? ) 时, g '( x) ? ln x ? 2 x ? 1 ? 0 ,…………………… 10 分 故函数 g ( x) 在 (1 , ? ? ) 上单调递增. 所以当 x ? (1 , ? ? ) 时, g ( x) ? g (1) ? 1? ln1 ? 1 ? 2 ?1 ? ?1 .. …….… 12 分 因为对于任意 x ? (1 , ? ? ) ,都有 f ( x) ? ? x ? 2 成立, 所以对于任意 x ? (1 , ? ? ) ,都有 a ? g ( x) 成立. 所以 a ? ?1 . 20.解: (1)由题意得 ………………………………..……… 14 分

c 2 ? a 2



因为椭圆经过点 P ( 又 a 2 ? b2 ? c2

6 1 , ) ,所以 2 2

(

6 2 1 ) ( )2 2 ? 22 ? 1 ② 2 a b



由①②③解得 a 2 ? 2 , b 2 ? c 2 ? 1 .

所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .……………………………………….…..4 分 2

t2 t ?1 , (2)以 OM 为直径的圆的圆心为 (1 , ) ,半径 r ? 4 2
故圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? ) ?
2 2

t 2

t2 ? 1 .………………..………………5 分 4

因为以 OM 为直径的圆被直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 , 所以圆心到直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离 d ?

r 2 ?1 ?

t2 t ? 1 ? 1 ? .… 7 分 4 2

| 3 ? 2t ? 5 | t ? ,即 2 | 2t ? 2 | ? 5t , 5 2 故 4t ? 4 ? 5t ,或 4t ? 4 ? ?5t , 4 解得 t ? 4 ,或 t ? ? . 9 又 t ? 0 ,故 t ? 4 .
所以 所求圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 .………………………….……..9 分
2 2

(3)方法一:过点 F 作 OM 的垂线,垂足设为 K . 直线 OM 的方程为 y ?

t 2 x ,直线 FN 的方程为 y ? ? ( x ? 1) . 2 t

t ? y? x ? 4 4 2t ? 2 由? ,解得 x ? 2 ,故 K ( 2 , 2 ) .….……11 分 t ?4 t ?4 t ?4 ? y ? ? 2 ( x ? 1) ? t ?
? | OK | ?

16 4t 2 4 ? ? 2 ; 2 2 2 2 (t ? 4) (t ? 4) t ?4

| OM | ? 4 ? t 2 .……………………………………….……………12 分
又 | ON | ? | OK | ? | OM | ?
2

4 ? 4 ? t2 ? 2 . 2 4?t

? | ON | ? 2 .
所以线段 ON 的长为定值 2 .…………………………………………14 分 方法二:设 N ( x0 , y0 ) ,则 FN ? ( x0 ? 1 , y0 ) , OM ? ( 2 , t ) ,

MN ? ( x0 ? 2 , y0 ? t ) , ON ? ( x0 , y0 ) .

FN ? OM ,? 2( x0 ? 1) ? ty0 ? 0 . ? 2 x0 ? ty0 ? 2 .…………….11分


MN ? ON ,? x0 ( x0 ? 2) ? y0 ( y0 ? t ) ? 0 .

2 2 ? y0 ? 2 x0 ? ty0 ? 2 . ? x0

2 2 ? y0 ? 2 为定值.……………………………………….14分 ? | ON | ? x0


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