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古浪县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

古浪县外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 某单位安排甲、乙、丙三人在某月 1 日至 12 日值班,每人 4 天. 甲说:我在 1 日和 3 日都有值班; 乙说:我在 8 日和 9 日都有值班; 丙说:我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是( A.2 日和 5 日 B.5 日和 6 日 C.6 日和 11 日 D.2 日和 11 日 )

姓名__________

分数__________

  2. 如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm)检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的中位数为( )

A.20  

B.25 ﹣

C.22.5 D.22.75 =1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2 相切,则此双曲线的离心率等于(

3. 若双曲线 ) A. B.

C.

D.2 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范

4. 已知函数 f(x)= 围是( )

A.(0,1) B.(1,+∞)
?

C.(﹣1,0) D.(﹣∞,﹣1)
?

5. 在 ?ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC ? ( A. 4 3 B. 2 3 C.



3


D.

3 2

6. 已知 M={(x,y)|y=2x},N={(x,y)|y=a},若 M∩N=?,则实数 a 的取值范围为( A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,1] C.(﹣∞,0) D.(﹣∞,0]

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  7. 已知 A.0 B.2 C.4 ) B.3 C.4 D.5 ,则 f{f[f(﹣2)]}的值为( D.8 )

8. 在正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中, M 是线段 A1C1 的中点,若四面体 M - ABD 的外接球体积为 36p , 则正方体棱长为( A.2

【命题意图】 本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题, 意在考查空间想象能力和基本运算能力. 9. 已知实数 a,b,c 满足不等式 0<a<b<c<1,且 M=2a,N=5﹣b,P=( )c,则 M、N、P 的大小关系为 ( ) A.M>N>P B.P<M<N C.N>P>M   10.将正方形的每条边 8 等分,再取分点为顶点(不包括正方形的顶点),可以得到不同的三角形个数为( ) A.1372 B.2024 C.3136 D.4495 )   11.已知函数 f(x)=ax+b(a>0 且 a≠1)的定义域和值域都是[﹣1,0],则 a+b=( A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣ 或﹣

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , F1 , F2 分别在其左、右焦点,点 P 为双曲线的右支上 a 2 b2 的一点,圆 M 为三角形 PF1 F2 的内切圆, PM 所在直线与轴的交点坐标为 (1, 0) ,与双曲线的一条渐
12.已知双曲线 C : 近线平行且距离为 A. 5

2 ,则双曲线 C 的离心率是( 2
B.2

) C. 2 D.

2 2

二、填空题
13.在直三棱柱中,∠ACB=90°,AC=BC=1,侧棱 AA1= 角的正切值为( A. ) B.
2

,M 为 A1B1 的中点,则 AM 与平面 AA1C1C 所成

C.

D.

14.已知 a ? [ ?2, 2] ,不等式 x ? ( a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 恒成立,则的取值范围为__________.

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15.长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上,E 为 AB 的中点,CE=3,异面直线 A1C1 与 CE 所成角的余弦值为 ,且四边形 ABB1A1 为正方形,则球 O 的直径为  .

16.在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2ρcos2θ=sinθ 与 ρcosθ=1,以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为      . 17.若点 p(1,1)为圆(x﹣3)2+y2=9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为  18.直线 l 过原点且平分平行四边形 ABCD 的面积,若平行四边形的两个顶点为 B(1,4),D(5,0),则 直线 l 的方程为      .

三、解答题
19.(本小题满分 13 分)

x2 ? y 2 ? 1 的上、下顶点分别为 A, B ,点 P 在椭圆上,且异于点 A, B ,直线 AP, BP 4 与直线 l : y ? ?2 分别交于点 M , N ,
如图,已知椭圆 C : (1)设直线 AP, BP 的斜率分别为 k1 , k2 ,求证: k1 ? k2 为定值; (2)求线段 MN 的长的最小值; (3)当点 P 运动时,以 MN 为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.

【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系,考查考生运算求解能力,分析问 题与解决问题的能力,是中档题.

20.已知函数 f(x)=x2﹣mx 在[1,+∞)上是单调函数. (1)求实数 m 的取值范围;
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(2)设向量 不等式   的 α 的取值范围.

,求满足

21.(本题满分 12 分)在 ?ABC 中,已知角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,边 c ?

7 ,且 2

tan A ? tan B ? 3 tan AAtan B ? 3 ,又 ?ABC 的面积为 S ?ABC ?

3 3 ,求 a ? b 的值. 2

22.(本题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S n ? (1)求数列 {an } 的通项公式;

3an ? 3 ( n ? N ? ). 2

7 ( n ? N ? ). 2 【命题意图】本题考查了利用递推关系求通项公式的技巧,同时也考查了用错位相减法求数列的前 n 项和.重
(2)若数列 {bn } 满足 an ? bn ? log 3 a4 n ?1 ,记 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ,求证: Tn ? 点突出运算、论证、化归能力的考查,属于中档难度.

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23. AD∥BC, AB⊥AD, AB⊥PA, BC=2AB=2AD=4BE, 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 平面 PAB⊥平面 ABCD , (Ⅰ)求证:平面 PED⊥平面 PAC; (Ⅱ)若直线 PE 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 ,求二面角 A﹣PC﹣D 的平面角的余弦值.

 

24.(本小题满分 12 分)

3?3 ? a ? 2 1 设 p :实数满足不等式 3a ? 9 ,:函数 f ? x ? ? x3 ? x ? 9 x 无极值点. 3 2

(1)若“ p ? q ”为假命题,“ p ? q ”为真命题,求实数的取值范围;
1? 1? ? ? (2)已知“ p ? q ”为真命题,并记为,且: a 2 ? ? 2m ? ? a ? m ? m ? ? ? 0 ,若是 ?t 的必要不充分 2? 2? ? ?

条件,求正整数 m 的值.

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古浪县外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:由题意,1 至 12 的和为 78, 因为三人各自值班的日期之和相等, 所以三人各自值班的日期之和为 26, 根据甲说:我在 1 日和 3 日都有值班;乙说:我在 8 日和 9 日都有值班,可得甲在 1、3、10、12 日值班,乙 在 8、9、2、7 或 8、9、4、5, 据此可判断丙必定值班的日期是 6 日和 11 日, 故选:C. 【点评】本题考查分析法,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.   2. 【答案】C 【解析】解:根据频率分布直方图,得; ∵0.02×5+0.04×5=0.3<0.5, 0.3+0.08×5=0.7>0.5; ∴中位数应在 20~25 内, 设中位数为 x,则 0.3+(x﹣20)×0.08=0.5, 解得 x=22.5; ∴这批产品的中位数是 22.5. 故选:C. 【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题,是基础题目.   3. 【答案】B 【解析】解:由题意可知双曲线的渐近线方程之一为:bx+ay=0, 圆(x﹣2)2+y2=2 的圆心(2,0),半径为 双曲线 可得: 可得 a2=b2,c= e= = . ﹣ ,

=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2 相切, , a,

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故选:B. 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用,考查计算能力.   4. 【答案】A

【解析】解:函数 f(x)=

的图象如下图所示:

由图可得:当 k∈(0,1)时,y=f(x)与 y=k 的图象有两个交点, 即方程 f(x)=k 有两个不同的实根, 故选:A   5. 【答案】B 【解析】

考点:正弦定理的应用. 6. 【答案】D 【解析】解:如图,

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M={(x,y)|y=2x},N={(x,y)|y=a},若 M∩N=?, 则 a≤0. ∴实数 a 的取值范围为(﹣∞,0]. 故选:D. 【点评】本题考查交集及其运算,考查了数形结合的解题思想方法,是基础题.   7. 【答案】C 【解析】解:∵﹣2<0 ∴f(﹣2)=0 ∴f(f(﹣2))=f(0) ∵0=0 ∴f(0)=2 即 f(f(﹣2))=f(0)=2 ∵2>0 ∴f(2)=22=4 即 f{f[(﹣2)]}=f(f(0))=f(2)=4 故选 C.   8. 【答案】C

9. 【答案】A 【解析】解:∵0<a<b<c<1, ∴1<2a<2, 5﹣b=( <5﹣b<1, )c>( <( )c, )c<1,

)b>(

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即 M>N>P, 故选:A 【点评】本题主要考查函数值的大小比较,根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键.   10.【答案】   C 【解析】 【专题】排列组合. 【分析】分两类,第一类,三点分别在三条边上,第二类,三角形的两个顶点在正方形的一条边上,第三个顶 点在另一条边,根据分类计数原理可得. 【解答】解 : 首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上.任选正方形的三边,使三个顶点分别在其 上,有 4 种方法, 再在选出的三条边上各选一点,有 73 种方法.这类三角形共有 4×73=1372 个. 另外,若三角形有两个顶点在正方形的一条边上,第三个顶点在另一条边上,则先取一边使其上有三角形的两 个顶点,有 4 种方法, 再在这条边上任取两点有 21 种方法,然后在其余的 21 个分点中任取一点作为第三个顶点.这类三角形共有 4×21×21=1764 个. 综上可知,可得不同三角形的个数为 1372+1764=3136. 故选:C. 【点评】本题考查了分类计数原理,关键是分类,还要结合几何图形,属于中档题. 11.【答案】B 【解析】解:当 a>1 时,f(x)单调递增,有 f(﹣1)= +b=﹣1,f(0)=1+b=0,无解; 当 0<a<1 时,f(x)单调递减,有 f(﹣1)= 解得 a= ,b=﹣2; 所以 a+b= 故选:B   12.【答案】C 【解析】 试题分析:由题意知 ?1, 0 ? 到直线 bx ? ay ? 0 的距离为 线,离心率为 2 .故本题答案选 C. 1 =﹣ ; =0,f(0)=1+b=﹣1,

2 b 2 ,那么 ,得 a ? b ,则为等轴双曲 ? 2 2 b2 ? a 2

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考点:双曲线的标准方程与几何性质. 【方法点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几 何条件构造 a, b, c 的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中 a, b, c 与椭圆中 a, b, c 的关系不同.求双曲 线离心率的值或离心率取值范围的两种方法:(1)直接求出 a, c 的值,可得;(2)建立 a, b, c 的齐次关系式, 将用 a, c 表示,令两边同除以或 a 化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围.
2

二、填空题
13.【答案】 【解析】解:法 1:取 A1C1 的中点 D,连接 DM, 则 DM∥C1B1, 在在直三棱柱中,∠ACB=90°, ∴DM⊥平面 AA1C1C, 则∠MAD 是 AM 与平面 AA1C1C 所的成角, 则 DM= ,AD= = = ,

则 tan∠MAD=



法 2:以 C1 点坐标原点,C1A1,C1B1,C1C 分别为 X,Y,Z 轴正方向建立空间坐标系, 则∵AC=BC=1,侧棱 AA1= ∴ =(﹣ , ,﹣ ), ,M 为 A1B1 的中点, =(0,﹣1,0)为平面 AA1C1C 的一个法向量

设 AM 与平面 AA1C1C 所成角为 θ, 则 sinθ=| 则 tanθ= 故选:A |=

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【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角,其中利用定义法以及建立坐标系,求出直线的方向向量和 平面的法向量,将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键.   14.【答案】 ( ??, 0) ? (4, ??) 【解析】

2] 时恒成立,只要满足在 a ? [-2, 2] 时直线在轴上方 试题分析:把原不等式看成是关于的一次不等式,在 a ? [-2, 2] , 即可, 设关于的函数 y ? f(x) ? x ? ( a ? 4) x ? 4 ? 2a ? ( x ? 2) a ? x ? 4 x ? 4 对任意的 a ? [-2, 当 a ? -2
2 2

时, y ? f(a) ? f ( ?2) ? x ? ( ?2 ? 4) x ? 4 ? 4 ? 0 , 即 f ( ?2) ? x ? 6 x ? 8 ? 0 , 解得 x ? 2或x ? 4 ; 当a ? 2
2 2

时, y ? f ( 2) ? x ? ( 2 ? 4) x ? 4 ? 4 ? 0 ,即 f ( 2) ? x ? 2 x ? 0 ,解得 x ? 0或x ? 2 ,∴的取值范围是
2 2

{x|x ? 0或x ? 4} ;故答案为: (??, 0) ? (4, ??) .
考点:换主元法解决不等式恒成立问题. 【方法点晴】本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法,解题时应用更换主元的方法,使繁杂问题变得简

2] 时恒成立,只要满足在 a ? [-2, 2] 时直线在轴 洁,是易错题.把原不等式看成是关于的一次不等式,在 a ? [-2,
上方即可.关键是换主元需要满足两个条件,一是函数必须是关于这个量的一次函数,二是要有这个量的具体 范围. 15.【答案】 4 或  .

【解析】解:设 AB=2x,则 AE=x,BC= ∴AC= , ×



由余弦定理可得 x2=9+3x2+9﹣2×3× ∴x=1 或 或 AB=2 , ,球 O 的直径为 ,球 O 的直径为 .



∴AB=2,BC=2 故答案为:4 或

=4, = .

,BC=

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  16.【答案】 (1,2) .

【解析】解:由 2ρcos2θ=sinθ,得:2ρ2cos2θ=ρsinθ, 即 y=2x2. 由 ρcosθ=1,得 x=1. 联立 ,解得: .

∴曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为(1,2). 故答案为:(1,2). 【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化,考查了方程组的解法,是基础题.   17.【答案】:2x﹣y﹣1=0 解:∵P(1,1)为圆(x﹣3)2+y2=9 的弦 MN 的中点, ∴圆心与点 P 确定的直线斜率为 ∴弦 MN 所在直线的斜率为 2, 则弦 MN 所在直线的方程为 y﹣1=2(x﹣1),即 2x﹣y﹣1=0. 故答案为:2x﹣y﹣1=0 18.【答案】   . =﹣ ,

【解析】解:∵直线 l 过原点且平分平行四边形 ABCD 的面积,则直线过 BD 的中点(3,2), 故斜率为 = , ,

∴由斜截式可得直线 l 的方程为 故答案为 .

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【点评】本题考查直线的斜率公式,直线方程的斜截式.  

三、解答题
19.【答案】 【解析】(1)易知 A ? 0,1? , B ? 0, ?1? ,设 P ? x0 , y0 ? ,则由题设可知 x0 ? 0 ,

? 直线 AP 的斜率 k1 ?

y0 ? 1 y ?1 ,BP 的斜率 k2 ? 0 ,又点 P 在椭圆上,所以 x0 x0
(4 分)

2 2 x0 y0 ? 1 y0 ? 1 y0 ?1 1 ? y0 ? 1 , ? x0 ? 0 ? ,从而有 k1 ? k2 ? ? 2 ?? . 4 x0 x0 x0 4

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20.【答案】 【解析】解:(1)∵函数 f(x)=x2﹣mx 在[1,+∞)上是单调函数 ∴x= ≤1 ∴m≤2 ∴实数 m 的取值范围为(﹣∞,2]; (2)由(1)知,函数 f(x)=x2﹣mx 在[1,+∞)上是单调增函数

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∵ ∵ ∴2﹣cos2α>cos2α+3 ∴cos2α< ∴ ∴α 的取值范围为





【点评】本题考查函数的单调性,考查求解不等式,解题的关键是利用单调性确定参数的范围,将抽象不等式 转化为具体不等式.   21.【答案】 【解析】

11 . 2

试 题解析:由 tan A ? tan B ? 可得

3 tan AAtan B ? 3

tan A ? tan B ? ? 3 ,即 tan( A ? B) ? ? 3 . 1 ? tan AAtan B ∴ tan(? ? C ) ? ? 3 ,∴ ? tan C ? ? 3 ,∴ tan C ? 3 .
∵ C ? (0, ? ) ,∴ C ?

?
3

.

3 3 1 3 3 1 3 3 3 ? ,∴ ab sin C ? ,即 ab ? ,∴ ab ? 6 . 2 2 2 2 2 2 7 2 ? 2 2 2 2 2 又由余弦定理可得 c ? a ? b ? 2ab cos C ,∴ ( ) ? a ? b ? 2ab cos , 2 3 7 2 121 11 2 2 2 2 ∴ ( ) ? a ? b ? ab ? ( a ? b) ? 3ab ,∴ ( a ? b) ? ,∵ a ? b ? 0 ,∴ a ? b ? .1 2 4 2
又 ?ABC 的面积为 S ?ABC ? 考点:解三角形问题. 【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题,其中解答中涉及到两角和与两角差的正切函数公式、三角形的面 积、正弦定理和余弦定理,以及特殊角的三角函数值等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问 题的能力,以及推理与运算能力,其中熟练掌握基本公式和灵活运用公式是解答本题的关键,属于中档试题.

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22.【答案】 【 解 析 】

23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB,AB⊥PA ∴PA⊥平面 ABCD

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结合 AB⊥AD,可得 分别以 AB、AD、AP 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系 o﹣xyz,如图所示… 可得 A(0,0,0)D(0,2,0),E(2,1,0),C(2,4,0), P(0,0,λ) ∴ 得 ∴DE⊥AC 且 DE⊥AP, ∵AC、AP 是平面 PAC 内的相交直线,∴ED⊥平面 PAC. ∵ED?平面 PED∴平面 PED⊥平面 PAC (Ⅱ)由(Ⅰ)得平面 PAC 的一个法向量是 设直线 PE 与平面 PAC 所成的角为 θ, 则 得 λ=±2 ∵λ>0,∴λ=2,可得 P 的坐标为(0,0,2) 设平面 PCD 的一个法向量为 =(x0, y0, z0) , , , 解之 , (λ>0) , , , ,





,得到 =(1,﹣1,﹣1)



令 x0=1,可得 y0=z0=﹣1,得 ∴cos< ,

由图形可得二面角 A﹣PC﹣D 的平面角是锐角, ∴二面角 A﹣PC﹣D 的平面角的余弦值为 .

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【点评】本题在四棱锥中证明面面垂直,并且在线面所成角的正弦情况下求二面角 A﹣PC﹣D 的余弦值.着 重考查了线面垂直、 面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法, 属于中 档题.   24.【答案】(1) ?a a ? 1或2 ? a ? 5? ;(2) m ? 1 . 【解析】

(1)∵“ p ? q ”为假命题,“ p ? q ”为真命题,∴ p 与只有一个命题是真命题.
?a ? 2 ? a ? 1 .………………………………5 分 若 p 为真命题,为假命题,则 ? ?a ? 1或a ? 5 ?a ? 2 ? 2 ? a ? 5 .……………………………………6 分 若为真命题, p 为假命题,则 ? ?1 ? a ? 5

于是,实数的取值范围为 ?a a ? 1或2 ? a ? 5? .……………………………………7 分

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考点: 1、不等式;2、函数的极值点;3、命题的真假;4、充要条件.

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