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滨海新区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

滨海新区二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. “m=1”是“直线(m﹣2)x﹣3my﹣1=0 与直线(m+2)x+(m﹣2)y+3=0 相互垂直”的( A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 2. 函数 A.{x|1<x≤4} 3. 函数 f(x)= A.1 4. ( A.120 +
2n

姓名__________

分数__________


D.既不充分也不必要条件 的定义域为( B.{x|1<x≤4,且 x≠2} ) C.{x|1≤x≤4,且 x≠2} D.{x|x≥4} ) D.4 )

,则 f(﹣1)的值为( B.2
*

C.3

) (n∈N )展开式中只有第 6 项系数最大,则其常数项为( B.210 C.252 D.45

5. 设 i 是虚数单位,若 z=cosθ+isinθ 且对应的点位于复平面的第二象限,则 θ 位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6. 在△ ABC 中,a2=b2+c2+bc,则 A 等于( A.120° B.60° C.45° D.30° 7. 已知圆 C 方程为 x2 ? y 2 ? 2 ,过点 P(?1,1) 与圆 C 相切的直线方程为( A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 ) D.(0,1) ) 8. 函数 f(x)=3x+x 的零点所在的一个区间是( A.(﹣3,﹣2) B.(﹣2,﹣1) C.(﹣1,0) ) )



D. x ? y ? 2 ? 0

9. 函数 f(x)=log2(x+2)﹣ (x>0)的零点所在的大致区间是( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4) 10.已知数列 {an } 的首项为 a1 ? 1 ,且满足 an ?1 ? A.1 B.

1 2

1 1 an ? n ,则此数列的第 4 项是( 2 2 3 C. 4

) D.

5 8

11.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R,都有 f(x+2)=f(x).当 0≤x≤1 时,f(x) =x2.若直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数 a 的值是( A.0 B.0 或 C. 或 D.0 或 ) )

12.已知向量 与 的夹角为 60°,| |=2,| |=6,则 2 ﹣ 在 方向上的投影为(
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A.1

B.2

C.3

D.4

二、填空题
13.在复平面内,复数 14.二项式 与 对应的点关于虚轴对称,且 ,则 ____. . 展开式中,仅有第五项的二项式系数最大,则其常数项为

15.若数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? a3 ????? an ? n2 ? 3n ? 2 ,则数列 {an } 的通项公式为 16.设全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,2},集合 B={2,3},则(? UA)∪B= 17.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若 c ? cos B ? a ? 则边 c 的最小值为_______. .

.

1 3 b , ?ABC 的面积 S ? c, 2 12

【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识,意在考查基本运算能 力.

(0,1 ) 18 .当 x ? 时,函数 f ? x ? ? ex ?1 的图象不在函数 g ( x) ? x 2 ? ax 的下方,则实数 a 的取值范围是
___________. 【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性,意在考查等价转化能力、逻辑思维能 力、运算求解能力.

三、解答题
19.已知正项数列{an}的前 n 项的和为 Sn,满足 4Sn=(an+1)2. (Ⅰ)求数列{an}通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}满足 bn=
* (n∈N ),求证:b1+b2+…+bn< .

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? ln x ( a, b ? R ).
2

(1)当 a ? ?1, b ? 3 时,求函数 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的最大值和最小值; 2

?1 ?

? ?

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(2)当 a ? 0 时,是否存在实数 b ,当 x ? ? 0,e? ( e 是自然常数)时,函数 f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求 出 b 的值;若不存在,说明理由;

21.(本题满分 12 分)为了了解某地区心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机地对入院的 50 人进行了问 卷调查,得到了如下的 2 ? 2 列联表: 患心肺疾病 男 女 合计 20 10 30 患心肺疾病 5 15 20 合计 25 25 50

(1)用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽 6 人,其中男性抽多少人? (2)在上述抽取的 6 人中选 2 人,求恰有一名女性的概率. (3)为了研究心肺疾病是否与性别有关,请计算出统计量 K ,判断心肺疾病与性别是否有关? 下面的临界值表供参考:
2

0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10 .828 n(ad ? bc) 2 2 (参考公式: K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K 2 ? k ) k

0.15 2.072

22.(本小题满分 12 分)
2 2 已知圆 C : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的圆心在第二象限,半径为 2 ,且圆 C 与直线 3x ? 4 y ? 0 及 y 轴都

相切.

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(1)求 D、E、F ; (2)若直线 x ? y ? 2 2 ? 0 与圆 C 交于 A、B 两点,求 | AB | .

23.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,首项为 b,若存在非零常数 a,使得(1﹣a)Sn=b﹣an+1 对一切 n∈N*都成 立. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)问是否存在一组非零常数 a,b,使得{Sn}成等比数列?若存在,求出常数 a,b 的值,若不存在,请说 明理由.

24.如图所示,已知在四边形 ABCD 中,AD⊥CD,AD=5,AB=7,BD=8,∠BCD=135°. (1)求∠BDA 的大小 (2)求 BC 的长.

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滨海新区二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:当 m=0 时,两条直线方程分别化为:﹣2x﹣1=0,2x﹣2y+3=0,此时两条直线不垂直,舍去; 当 m=2 时,两条直线方程分别化为:﹣6y﹣1=0,4x+3=0,此时两条直线相互垂直; 当 m≠0,2 时,两条直线相互垂直,则 × =﹣1,解得 m=1.

综上可得:两条直线相互垂直的充要条件是:m=1,2. ∴“m=1”是“直线(m﹣2)x﹣3my﹣1=0 与直线(m+2)x+(m﹣2)y+3=0 相互垂直”的充分不必要条件. 故选:B. 【点评】 本题考查了直线相互垂直的充要条件、 充要条件的判定, 考查了分类讨论方法、 推理能力与计算能力, 属于中档题. 2. 【答案】B

【解析】解:要使函数有意义,只须







解得 1<x≤4 且 x≠2, ∴函数 f(x)的定义域为{x|1<x≤4 且 x≠2}. 故选 B 3. 【答案】A 【解析】解:由题意可得 f(﹣1)=f(﹣1+3)=f(2)=log22=1 故选:A 【点评】本题考查分度函数求值,涉及对数的运算,属基础题. 4. 【答案】 B 【解析】

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【专题】二项式定理. 【分析】由已知得到展开式的通项,得到第 6 项系数,根据二项展开式的系数性质得到 n,可求常数项. 【解答】解:由已知( +
2n * ) (n∈N )展开式中只有第 6 项系数为

最大,

所以展开式有 11 项,所以 2n=10,即 n=5, 又展开式的通项为 令 5﹣ =0 解得 k=6, =210; = ,

所以展开式的常数项为 故选:B

【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项;解得本题的关键是求出 n,利用通项求特征项. 5. 【答案】B 【解析】解:∵z=cosθ+isinθ 对应的点坐标为(cosθ,sinθ), 且点(cosθ,sinθ)位于复平面的第二象限, ∴ 故选:B. 【点评】本题考查复数的几何意义,考查三角函数值的符号,注意解题方法的积累,属于中档题. 6. 【答案】A 【解析】解:根据余弦定理可知 cosA=
2 2 2 ∵a =b +bc+c , 2 2 2 ∴bc=﹣(b +c ﹣a )

,∴θ 为第二象限角,

∴cosA=﹣ ∴A=120° 故选 A 7. 【答案】A 【解析】 试题分析:圆心 C(0,0), r ? 2 ,设切线斜率为,则切线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1),? kx ? y ? k ? 1 ? 0 ,由

d ? r,?

k ?1 k 2 ?1

? 2 ,?k ?1,所以切线方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,故选 A.

考点:直线与圆的位置关系.
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8. 【答案】C 【解析】解:由函数 f(x)=3x+x 可知函数 f(x)在 R 上单调递增,
0 又 f(﹣1)= ﹣1<0,f(0)=3 +0=1>0,

∴f(﹣1)f(0)<0, 可知:函数 f(x)的零点所在的区间是(﹣1,0). 故选:C. 【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性,属于基础题. 9. 【答案】B 【解析】解:∵f(1)= ﹣3<0,f(2)= ﹣ =2﹣ >0,

∴函数 f(x)=log2(x+2)﹣ (x>0)的零点所在的大致区间是(1,2), 故选:B. 10.【答案】B 【解析】

11.【答案】D 【解析】解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=x ,
2 2 ∴当﹣1≤x≤0 时,0≤﹣x≤1,f(﹣x)=(﹣x) =x =f(x), 2

又 f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为 2 的函数, 又直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,其图象如下:

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当 a=0 时,直线 y=x+a 变为直线 l1,其方程为:y=x,显然,l1 与函数 y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不 同的公共点; 当 a≠0 时,直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,由图可知,直线 y=x+a 与 函数 y=f(x)相切,切点的横坐标 x0∈[0,1]. 由
2 得:x ﹣x﹣a=0,由△=1+4a=0 得 a=﹣ ,此时,x0=x= ∈[0,1].

综上所述,a=﹣ 或 0 故选 D. 12.【答案】A 【解析】解:∵向量 与 的夹角为 60°,| |=2,| |=6, ∴(2 ﹣ )? =2 ﹣ =2×22﹣6×2×cos60°=2, = .

∴2 ﹣ 在 方向上的投影为 故选:A.

【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题,是基础题目.

二、填空题
13.【答案】-2 【解析】【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】由题知: 所以 故答案为:-2 14.【答案】 70 .

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【解析】解:根据题意二项式 则 n=8, 所以二项式 Tr+1=(﹣1)rC8rx8﹣2r 令 8﹣2r=0 得 r=4
4 则其常数项为 C8 =70

展开式中,仅有第五项的二项式系数最大,

=

展开式的通项为

故答案为 70. 【点评】本题考查二项式定理的应用,涉及二项式系数的性质,要注意系数与二项式系数的区别.

?6 , n ? 1 ? 15.【答案】 an ? ? n ? 2 , n ? 2, n ? N? ? ? n
【解析】【解析】 a1 ? a2 ? a3 ????? an ? ? n ? 1?? n ? 2?

n ? 1: a1 ? 6 ;

n ? 2 : a1 ? a2 ? a3 ??????an ?1 ? an ? ? n ? 1?? n ? 2 ? a1 ? a2 ? a3 ??????an ?1 ? n ? n ? 1?

故 n ? 2 : an ?

n?2 n

16.【答案】 {2,3,4} . 【解析】解:∵全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,2}, ∴CUA={3,4}, 又 B={2,3}, ∴(CUA)∪B={2,3,4}, 故答案为:{2,3,4} 17.【答案】 1

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18.【答案】 [2 ? e, ??) 【解析】 由题意, 知当 x ? 时, 不等式 e ? 1 ? x ? ax , 即a ? (0,1 )
x 2

h '? x? ?

? x ?1? ? x ? 1 ? e x ?
x2

1 ? x2 ? ex 1 ? x2 ? ex 恒成立. 令 h ? x? ? , x x
x

.令 k ? x ? ? x ? 1 ? e , k ' ? x ? ? 1 ? e .∵ x ? ? 0,1 ? ,∴ k ' ? x ? ?1 ?e ?0, ∴ k ? x ?
x x

在 x ? ? 0,1? 为递减,∴ k ? x ? ? k ? 0? ? 0 ,∴ h ' ? x ? ?

? x ?1? ? x ? 1? ex ?
x2

? 0 ,∴ h ? x ? 在 x ? ? 0,1? 为递增,∴

h ? x ? ? h ?1? ? 2 ? e ,则 a ? 2 ? e .
三、解答题
19.【答案】 【解析】(Ⅰ)解:由 4Sn=(an+1) , 令 n=1,得 又 4Sn+1=(an+1+1) , ∴ ∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1; (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知,bn= 则 b1+b2+…+bn= = = 20.【答案】 . =
2 2

,即 a1=1, ,整理得:(an+1+an)(an+1﹣an﹣2)=0.

∵an>0,∴an+1﹣an=2,则{an}是等差数列,



【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识,意在考查逻辑 思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力.

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(2)当 a ? 0 时, f ? x ? ? bx ? ln x .

假设存在实数 b ,使 g ? x ? ? bx ? ln x x ? ? 0, e ? 有最小值 3,

?

?

f ?( x) ? b ?

1 bx ? 1 ? .………7 分 x x 4 (舍去).………8 分 e

①当 b ? 0 时, f ( x ) 在 ? 0,e? 上单调递减, f ( x) min ? f ? e ? ? be ? 1 ? 3, b ? ②当 0 ?

1 ? 1? ?1 ? ? e 时, f ( x) 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? , e ? 上单调递增, b ? b? ?b ? ?1? 2 ∴ f ( x) min ? g ? ? ? 1 ? ln b ? 3, b ? e ,满足条件.……………………………10 分 ?b? 1 4 ③当 ? e 时, f ( x ) 在 ? 0,e? 上单调递减, f ( x) min ? g ? e ? ? be ? 1 ? 3, b ? (舍去),………11 分 b e 2 综上,存在实数 b ? e ,使得当 x ? ? 0,e? 时,函数 f ( x ) 最小值是 3.……………………………12 分
21.【答案】 【解析】【命题意图】本题综合考查统计中的相关分析、概率中的古典概型,突出了统计和概率知识的交汇, 对归纳、分析推理的能力有一定要求,属于中等难度.

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22.【答案】(1) D ? 2 2 , E ? ?4 2 , F ? 8 ;(2) AB ? 2 . 【解析】

试 题解析:(1)由题意,圆 C 方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? 2 ,且 a ? 0, b ? 0 ,
2 2

∵圆 C 与直线 3x ? 4 y ? 0 及 y 轴都相切,∴ a ? ? 2 , ∴圆 C 方程为 ( x ? 2 )2 ? ( y ? 2 2 )2 ? 2 , 化为一般方程为 x2 ? y 2 ? 2 2 x ? 4 2 y ? 8 ? 0 , ∴ D ? 2 2 , E ? ?4 2 , F ? 8 .

| 3a ? 4b | ? 2 ,∴ b ? 2 2 , 5

(2)圆心 C(? 2 ,2 2 ) 到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 d ? ∴ | AB |? 2 r 2 ? d 2 ? 2 2 ? 1 ? 2 . 考点:圆的方程;2.直线与圆的位置关系.1 23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,首项为 b,

|? 2 ?2 2 ?2 2 | ? 1, 2

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存在非零常数 a,使得(1﹣a)Sn=b﹣an+1 对一切 n∈N 都成立, 由题意得当 n=1 时,(1﹣a)b=b﹣a2,∴a2=ab=aa1, 当 n≥2 时,(1﹣a)Sn=b﹣an+1,(1﹣a)Sn+1=b﹣an+1, 两式作差,得:an+2=a?an+1,n≥2, ∴{an}是首项为 b,公比为 a 的等比数列, ∴ . (Ⅱ)当 a=1 时,Sn=na1=nb,不合题意, 当 a≠1 时, 若 ,即 , ,

*

化简,得 a=0,与题设矛盾, 故不存在非零常数 a,b,使得{Sn}成等比数列. 【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查使得数列成等比数列的非零常数是否存在的判断与求法,是中 档题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用. 24.【答案】 【解析】(本题满分为 12 分) 解:(1)在△ABC 中,AD=5,AB=7,BD=8,由余弦定理得 = ∴∠BDA=60°… (2)∵AD⊥CD, ∴∠BDC=30°… 在△ABC 中,由正弦定理得 ,… … …







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