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函数单调性与最值问题巩固复习课_图文

1.函数的最大(小)值的定义及几何意义. 函数在其定义域上的最大值,其几何 意义是图象上最高点的纵坐标;最小值为 图象上最低点的纵坐标. 2.三类函数的最值的求法. ?利用图象求函数的最大(小)值. ?利用二次函数的性质(配方法)求函数的 最大(小)值. ?利用函数单调性求函数的最大(小)值

已经学过的判断函数单调性的方法有哪些?

1.定义法

2.图像法

一.函数单调性的定义:
一般地,设函数f ( x)的定义域为A,区间I ? A.

?1?增函数:如果对于区间I内的任意两个值x1 , x2 ,
当x1 ? x2时,都有f ( x1 ) ? f ( x2 ), 那么就说y ? f ( x) 在区间I上是单调增函数。

?2?减函数:如果对于区间I内某个的任意两个值x1 , x2 ,
当x1 ? x2时,都有f ( x1 ) ? f ( x2 ), 那么就说y ? f ( x) 在区间I上是单调减函数。

函数的单调性是函数的局部性质。

?二.复合函数的定义

? 函数y=f[g(x)]称为函数y=f(u)及u=g(x)

的复合函数

复合函数单调性
对于复合函数y ? f [ g ( x)]的单调性,必须考虑y ? f (u )与 u ? g ( x)的单调性,从而得出y ? f [ g ( x)]的单调性。
y ? f (x)
增函数 增函数 减函数 减函数

u ? g (x)
增函数 减函数 增函数 减函数

y ? f [ g ( x)]
增函数 减函数 减函数 增函数

小结:同增异减。研究函数的单调性,首先考虑函数的定义域,要注意函数的 单调区间是函数定义域内的某个区间。

1 2 的单调区间。 例1:求函数 ( x ) ? ? f 1 ? 9x 2
解:由1-9x2≥0得:-1/3≤x≤1/3 当-1/3≤x≤0,x增大时,1-9x2增大,f(x)减小

当0<x≤1/3,x增大时,1-9x2减小,f(x)增大
∴函数的单调区间是 [-1/3,0],[0,1/3]。

三、对勾函数
1 例题精讲:判断函数 f ( x) ? x ? x

在区间 ? 0,1? 和 (1, ?? ) 上的单调性?

Y

2

?1

0

X

1 ?2

a 1.形如 f ? x ? ? x ? ? a ? 0 ?的性质 x 0 ? ?1? 定义域为 ? ??,? ? ? 0, ? ?

? ? 2 ? 值域为 ? ??,-2 a ? ? ? 2 a, ? ? ? ? ? 3? 奇偶性:在其定义域上是奇函数 ? 4 ? 单调性:??,- a ?, a, ? ? 上是增函数 ? ? ?

?-

a, , , a 上是减函数 0 0

??

?

? 5 ?图像:见题板

a f ( x) ? x ? x
2

(X>0)
Y

a 2 ? ( x) ? ( ) ? 2 a ? 2 a x a 2 ?( x ? ) ?2 a x
当 x? a 时, x

2 a

? a

0 X

X

a
?2 a

a 即x ? ,x 2 ? a, x x ? a时,y ? 2 a

3 例:求函数 f ( x ) ? x ? 在下列定义域下的值域 x (1) (??,0) ? ?0,?? ?
Y

(2) ?0,2 ?
2 3

(3) (?3,?2]

? 3

0

3
X

X

?2 3

2

课堂小练
例1.已知函数y=kx+b在x?[-1,3]的

值域为[-3,5],求实数k,b的值.

{

k=2 b=-1

{

k=-2 b=3

例2,将进货单价为40元的商品按50元一个 出售时,能卖出500个,已知这种商品每涨 价1元,其销售量就减少10个,为得到最大 利润,售价应为多少元?最大利润是多少? 解:设售价为x元,利润为y元,单个涨价(x -50)元,销量减少10(x-50)个.

∴y=(x-40)(1000-10x)
=-10(x-70)2+9000≤9000. 故当x=70时,ymax=9000. 所以售价为70元时,利润最大为9000元.

1 1 例 3.已知函数 f(x)= - (a>0,x>0), a x (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数; 1 1 ,2 ,2 (2)若 f(x)在 2 上的值域是 2 ,求 a 的值.

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第二章

函数、导数及其应用

栏目导引

?1 ? ?1 ? ? ,2?上的值域是? ,2?, (2)∵f(x)在 2 ? ? ?2 ? ?1 ? 又f(x)在?2,2?上单调递增, ? ? ?1 ? 1 2 ? ?= ,f(2)=2,∴a= . ∴f 2 5 ? ? 2

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第二章

函数、导数及其应用

栏目导引

例 4 . (2009· 天 津 卷 ) 已 知 函 数 f(x) = x2 +4x 4x-x2 x≥0, x<0. 若 f(2-a2 )>f(a),则实数 a 的取值

范围是(

)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
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第二章

函数、导数及其应用

栏目导引

4 例 5,求函数 f(x)=x+ 在 x x∈[1,3]上的最大值与最小值.
【思路点拨】 定义法判断函数单调性 → 求最小值 → 求最大值

【解】

设 1≤x1<x2≤3, 4 4 则 f(x1)-f(x2)=x1-x2+ - x1 x2 4 =(x1-x2)(1- ). x1x2 又∵x1<x2,∴x1-x2<0. 4 当 1≤x1<x2≤2 时, 1- <0, 1)-f(x2)>0, f(x x1x2 ∴f(x)在[1,2]上是减函数;

4 当 2≤x1<x2≤3 时,1- >0,f(x1)- x1x2 f(x2)<0, ∴f(x)在[2,3]上是增函数. 4 ∴f(x)的最小值为 f(2)=2+ =4. 2 4 13 又∵f(1)=5,f(3)=3+ = <f(1), 3 3 ∴f(x)的最大值为 5.

要点铭记 对于定义域内的函数的单调性, 要正确分开其单调区间再比较各区间端点的 函数值.

例 2: 定 义 在 ? 上 的 函 数 ( x )满 足 : R f (1) f ( 2) ? 1 ( 2) f ( xy) ? f ( x ) ? f ( y ) ( 4) f ( x ) ? f ( x ? 3) ? 2 ( 3) x ? y时 ,f ( x ) ? f ( y ) 求 x的 取 值 范 围 .

解:由 3)知f ( x )在R ? 上减,又 (4) ? f ( 2) ? f ( 2) ? 2 ( f

从而(4) ? f ( x( x ? 3)) ? f (4)
? x ( x ? 3) ? 4 ? ? x?4 ?? x?0 ? x?3?0 ?


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