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2014届云南省玉溪一中高三上学期第一次月考文科数学试卷(带解析)

2014 届云南省玉溪一中高三上学期第一次月考文科数学试卷(带解析) 一、选择题 1.已知集合 A ? { y | y ? 2 ? 0} ,集合 B ? {x | x 2 ? 2 x ? 0} ,则 A ? B 等于 (A) [0, ??) (C) [0,2) ? (2, ??) 2.若复数 (B) (??,2] (D) ? ( ) ( )

a?i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则实数 a 的值为 1 ? 2i 1 1 2 (A) 2 (B) (C) ? (D) ? 5 5 2 1 3.若 tan? ? 2 ,则 的值等于 ( ) sin 2? 5 5 4 4 (A) ? (B) (C) ? (D) 4 5 4 5
4. log 3 a ? log 3 b ”是“ 2 ? 2 ”的 “
a b





(A)充分不必要条件 (C)充要条件 5.下列命题中,真命题的个数有 ① ?x ? R, x 2 ? x ? ② ?x ? 0, ln x ?

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 ( )

1 ?0; 4

1 ? 2; ln x

③“ a ? b ”是“ ac 2 ? bc 2 ”的充要条件; ④ y ? 2 x ? 2? x 是奇函数. (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

6.已知函数 f ? x ? ? ?

? x , x ? 1, ? ? 2 , x ? 1. ?
x

若关于 x 的方程 f ? x ? ? k 有 3 个不同的实根,则实数

k 的取值范围为
(A) ? 0, ? ? ?



) (B) ?1, ? ? ? (C) ? 0, 2 ? ( ) (D) ?1, 2?

7.一个棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的全面积是

正视图侧视图

俯视图 试卷第 1 页,总 4 页

(A) 4 ? 2 6

(B) 4 ? 6

(C) 4 ? 2 2

(D) 4 ? 2

x2 y 2 8.设双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,A 是双曲线渐近 a b
线上的一点, AF2 ? F1 F2 ,原点 O 到直线 AF1 的距离为 ( ) (A) 5 或 ? 5 (B) 2 或 ? 2 (C)1 或 ?1 ( D )

1 OF1 ,则渐近线的斜率为 3
2 或 2

?

2 2
2

9.若曲线 f ( x) ? cos x 与曲线 g ( x) ? x ? bx ? 1 在交点 (0,m ) 处有公切线,则 b ? ( ) (A) ?1

(B) 0

(C) 1

(D) 2

10.已知球 O 的半径为 5 ,球面上有 A、B、C 三点,如果 AB ? AC ? 2, BC ? 2 2 , 则三棱锥 O-ABC 的体积为 (A) ( ) (C)1 (D)

3 3

(B)

6 3

2 3 3

11.设等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,已知 a3 ? 5 , S11 ? 22 ,则数列 ?a n ? 的公差 d 为 ( ) (B) ?

(A) ? 1

1 3

(C)

1 3

(D)1

12 . 设 函 数 f ( x) 满 足 f (? x)? f ( x)且 当 x ? 0 时 , f ( x )? ( ,

1 x ), 又 函 数 4
( )

g ( x)?
(A) 3

1 ? 1 ? s i? x,则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 ? ? , 2 ? 上的零点个数为 n 2 ? 2 ?
(B) 4 (C) 5 (D) 6

二、填空题

?x ? y ?1 ? 0 ? 13.变量 x , y 满足条件 ? x ? y ? 0 ,求 2x ? y 的最大值为 _______________. ?x ? 0 ?
14.利用独立性检验来判断两个分类变量 X 和 Y 是否有关系,通过查阅下表来确定“X 和 Y 有关系”的可信度.为了调查用电脑时间与视力下降是否有关系,现从某地网民中 抽取 100 位居民进行调查.经过计算得 K 2 ? 3.855 , 那么就有_______________%的根据 认为用电脑时间与视力下降有关系.

试卷第 2 页,总 4 页

K2 ? k

0.50 0.455

0.40

0.25

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

0.708 1.323

15 . 在 直 角 三 角 形 ABC 中 , ?C ?
??? ??? ? ? C D? C A _________. ?

?
2

??? ? ??? ? , AC ? 3 , 取 点 D 使 BD ? 2DA , 那 么

16.已知抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F ,准线与 y 轴的交点为 M , N 为抛物线上的任意
2

一点,且满足 NF ? ? MN ,则 ? 的取值范围是____



三、解答题 17.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,已知

a 3 cos A

?

c , sin C

(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 6 ,求 b ? c 的取值范围. 18.某地区因干旱缺水,政府向市民宣传节约用水,并进行广泛动员 三个月后,统计 部门在一个小区随机抽取了 100 户家庭, 分别调查了他们在政府动员前后三个月的月平 均用水量(单位:吨) ,将所得数据分组,画出频率分布直方图(如图所示)
频率/组距
0.160
0.200

频率/组距

0.120 0.090 0.070 0.030 0.015

0.120 0.105

0.030 0.015

O

2

4

6

8

10

12

14

16用水量(吨)

O

2

4

6

8

10

12

14

用水量(吨)

动员前 动员后 (Ⅰ)已知该小区共有居民 10000 户,在政府进行节水动员前平均每月用水量是

8.96 ?104 吨,请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨;
(Ⅱ)为了解动员前后市民的节水情况,媒体计划在上述家庭中,从政府动员前月均用 水量在 [12, 14) 内的家庭中选出 2 户作为采访对象,其中甲、乙两家在备选之列,求恰 好选中他们两家作为采访对象的概率 19.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 M 是 A1B 的中点,点 N 是 B1C 的中点,连接 MN A1 A M M M B M N M C C1 (Ⅰ)证明:MN//平面M ABC; M B1 M

(Ⅱ)若 AB=1,AC=AA1= 3 ,BC=2,求二面角 A—A1C—B 的余弦值的大小
试卷第 3 页,总 4 页

x2 y 2 1 20. 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F (c ,0) , 上顶点为 B, 离心率为 , a b 2
圆 F : ( x ? c) ? y ? a 与 x 轴交于 E 、D 两点
2 2 2

(Ⅰ)求

BD BE

的值;

(Ⅱ)若 c ? 1 ,过点 B 与圆 F 相切的直线 l 与 C 的另一交点为 A ,求 △ABD 的面积 21.设 f ( x) ? ln x ? ax ( a ? R 且 a ? 0 ) (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)若 a ? 1 ,证明: x ? [1, 2] 时, f ( x) ? 3 ?

1 成立 x

22.在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 cos ? ( ? 为参数) ,以坐 ? y ? 3sin ?

标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,得曲线 C2 的极坐标方程为

? ? 6sin ? ? 8cos ? ? 0 ( ? ? 0 )
(Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程;

? x ? 2?t ? (Ⅱ)直线 l : ? ( t 为参数)过曲线 C1 与 y 轴负半轴的交点,求与直线 3 ?y ? ? 2 ? ? t ?

l 平行且与曲线 C2 相切的直线方程

试卷第 4 页,总 4 页

2014 届云南省玉溪一中高三上学期第一次月考文科数学试卷(带解析)参考答案 1.A 【解析】 试题分析:由题意可得 A ? ?2,?? ?, B ? ?0,2? ;所以 A ? B ? ?0,??? ,故选 A. 考点:集合的基本运算. 2.A 【解析】 试题分析:由

?a ? i ??1 ? 2i ? ? ?a ? 2? ? ?1 ? 2a ?i 是纯虚数可得 a ? 2 ? 0 ,所以 a?i ? 1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? 2i ? 5

a ? 2 ,故选 A.
考点:复数的基本运算. 3.B 【解析】 试题分析:

sin 2 ? ? cos2 ? tan 2 a ? 1 2 2 ? 1 5 1 ? ? ? ? . 2 sin ? ? cos? 2 tan? 2?2 4 sin 2?

考点:同角三角函数基本关系式、二倍角正弦公式. 4.A 【解析】 试题分析:当 log 3 a ? log 3 b 时, a ? b ? 0 ,则 2 ? 2 ;当 2 ? 2 时, a ? b ,此时无法
a b a b

得出 log 3 a ? log 3 b ,因为 a, b 可以去负数;故“ log 3 a ? log 3 b ”是“ 2 ? 2 ”的充分不
a b

必要条件. 考点:充分必要条件的判定. 5.C 【解析】

1 ? 1? 1 试题分析: x ? x ? ? ? x ? ? ? 0 知①是真命题; x ? e 时,ln x ? 由 当 ? 1?1 ? 2 4 ? 2? ln x
2

2

知②是真命题;若 ac 2 ? bc 2 则 a ? b ,而若 a ? b 且 c ? 0 则 ac 2 ? bc 2 知“ a ? b ”是 “ ac 2 ? bc 2 ”的必要不充分条件,所以③是假命题;令 f ?x ? ? 2 ? 2
x ?x

,显然 x ? R ,则

f ?? x ? ? 2 ? x ? 2 ??? x ? ? ? 2 x ? 2 ? x ? ? f ?x ? 知“ y ? 2 x ? 2? x 是奇函数”是真命题.
考点:真假命题的判断. 6.D 【解析】 试题分析: 作函数 y ? f ?x ? 、y ? k 的图像, 如图所示, 平行移动直线 y ? k 与函数 y ? f ?x ? 的图像有三个交点所以 1 ? k ? 2 .
答案第 1 页,总 11 页

?

?

考点:函数的零点与图像 7.A 【解析】 试题分析:根据三视图可知该棱锥为一个底面是等腰三角形,高为 2 的三棱锥,于是

?1 ? ?1 ? S ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 2 ? 3 ? ? 2 ? 4 ? 2 6 ,故选 A. ?2 ? ?2 ?
考点:三视图、表面积计算. 8.D 【解析】 试 题 分 析 : 如 图 所 示
2



Rt?F1OP ~ Rt?F1 AF2





c bc OF1 ? c, OP ? , AF2 ? , AF1 ? 3 a

?2c ?2 ? ? bc ? ? ?
?a?



F1O OP ? ? F1 A AF2

c b 2 2 ? 3 ? a 2 ? 2b 2 , 即 ? , 所以渐近线的斜率为 或 2 bc 2 a 2 ? bc ? 4c 2 ? ? ? a ?a? c

?

2 . 2

答案第 2 页,总 11 页

考点:双曲线的定义、渐近线等基础知识. 9.B 【解析】 试 题 分 析 : 由 f ??x ? ? ? sin x, g ??x ? ? 2 x ? b 可 得 k 切 ? f ??x ? | x ?0 ? g ??x ? | x ?0 , 即

? s i 0 ? 0 ? b ,所以 b ? 0 . n 考点:导数的几何意义. 10.D 【解析】
试题分析:由 AB ? AC ? 2, BC ? 2 2 可知 ?ABC 为直角三角形,取 BC 的中点 O ? ,连 接 OO ? 与 O?A ,如图所示,可知 OO ? 为椎体的高,在 Rt?O?OA 中 O?A ? 所以 OO? ?

2 , OA ? 5 ,

3 ,于是 VO ? ABC ?

1 1 2 3 ,故答案选 D. ? ?2?2? 3 ? 3 2 3

考点:本小题主要考二项式定理展开式 11.A 【解析】 试题分析:由 S11 ? 11a6 ? 22 可知 a6 ? 2 ,所以 d ?

a 6 ? a3 ? ?1,故答案选 A. 6?3

答案第 3 页,总 11 页

考点:等比数列及其性质、以及累积法,考查学生的分析、计算能力. 12.B 【解析】 试题分析:由题意可知函数 f ( x) 、 g ? x ? 均为偶函数,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 ? ?

? 1 ? ,2 ? 2 ? ?

上的零点即为函数 f ( x) 、 g ? x ? 图像的交点,分别作 f ( x) 、 g ? x ? 图像如图所示,它们在区 间 ??

? 1 ? ? 1 ? , 2 ? 上有 4 个交点,故函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 ? ? , 2 ? 上的零点个数为 4,故答 ? 2 ? ? 2 ?

案选 B.

考点:分段函数、零点、函数的图象 13.

1 2
?1 1? ?2 2?

【解析】 试题分析:如图所示,显然当直线 z ? 2 x ? y 通过点 A? , ? 时取得最大值

1 . 2

答案第 4 页,总 11 页

考点:简单线性规划,属于基础题. 14.95 【解析】 试题分析:根据表格发现 3.855 ? 3.841 对应的是 0.05 ,所以根据独立性检验原理可知有 95%的根据认为用电脑时间与视力下降有关系. 考点:本小题主要考独立性检验原理. 15.6 【解析】 试 题 分 析 : ??? ??? ? ? CD ? CA ?

?CB ? BD?? CA ? CB ? CA ? BD ? CA ? 0 ? 2 BA ? CA ? 2 ?CA ? CB?? CA ? 2 CA 3 3 3
考点:平面向量的计算和数量积计算,考查学生的分析、计算能力. 16. [

2

? 6.

2 ,1] 2

【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 知 F ?0,1?, M ?0,?1? , 设 N ?x0 , y 0 ? , 则 x0 ? 4 y 0 ? y 0 ? 0? , 由
2

NF ?? MN


2 2 2

??

NF MN

?

x0 ? ? y 0 ? 1?
2

x0 ? ? y 0 ? 1?

?

4 y0 ? y0 ? 2 y0 ? 1
2

4 y0 ? y0 ? 2 y0 ? 1
2

? 1?

4 y0 y0 ? 6 y0 ? 1
2

; 显 然当

y0 ? 0 时 , ? ? 1 ; 当 y0 ? 0 时 , ? ? 1 ?

4 1 , 因 为 y0 ? ?2 所以 1 y0 y0 ? ?6 y0

1?

? 2 ? 4 2 ? ? ? 1 ,即 ,1? . ? ? ? 1 ,综上可知 ? ? ? 2?6 2 ? 2 ?

考点:抛物线的定义、基本不等式,以及分类思想,考查学生的分析、计算能力. 17. (Ⅰ) A ?

?
3

; (Ⅱ) (6,12] .

【解析】 试题分析:(Ⅰ) 利用正弦定理、结合角的范围来求;(Ⅱ)利用余弦定理、边角互换,然后 利用基本不等式来求解. a c a ? ? 试题解析: (Ⅰ)由条件结合正弦定理得, sin C sin A 3 cos A 从而 sin A ? 3 cos A , tan A ? 3 ∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ?

?
3

5分

答案第 5 页,总 11 页

(Ⅱ)法一:由已知: b ? 0, c ? 0 , b ? c ? a ? 6 由余弦定理得: 36 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos (当且仅当 b ? c 时等号成立)
?
3 1 ? (b ? c)2 ? 3bc ? (b ? c)2 ? (b ? c)2 ? (b ? c)2 4 4 3

∴( (b ? c)2 ? 4 ? 36 ,又 b ? c ? 6 , 12 分

∴ 6 ? b ? c ? 12 ,从而 b ? c 的取值范围是 (6,12] 法二:由正弦定理得:
b c ? ? sin B sin C 6 sin

?
3

?4 3

∴ b ? 4 3 sin B , c ? 4 3 sin C , 2? ? ? b ? c ? 4 3(sin B ? sin C ) ? 4 3 ?sin B ? sin( ? B) ? 3 ? ?
?3 ? ? 3 ? ?? 3 1 ? ? 12sin ? B ? ? ? 4 3 ? sin B ? cos B ? ? 12 ? ?2 ? ? 2 sin B ? 2 cos B ? ? 2 6? ? ? ? ? ?



?
6

? B?

?
6

?

?? 5? ? ,∴ 6 ? 12sin ? B ? ? ? 12 , 6? 6 ?
?
3

即 6 ? b ? c ? 12 (当且仅当 B ?

时,等号成立) 从而 b ? c 的取值范围是 (6,12]

12 分

考点:正弦定理、余弦定理以及基本不等式,考查分析问题、解决问题的能力 18. (Ⅰ) 2.08 ? 10 4 ; (Ⅱ) P ?

1 15

【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用频率分布直方图可求; (Ⅱ)按照分布列的取值情况求对应的概率即可 试题解析: (Ⅰ)根据直方图估计该小区在政府动员后平均每户居民的月均用水量为

(1? 0.015 ? 3 ? 0.030 ? 5 ? 0.105 ? 7 ? 0.200 ? 9 ? 0.120 ? 11? 0.030) ? 2 ? 6.88 (吨)
于是可估计该小区在政府动员后比动员前平均每月可节约用水

8.96 ?104 ? 6.88 ?104 ? 2.08 ?104 (吨)

6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知动员前月均用水量在 [12,14) 内的家庭有 6 户, 设为:甲、乙、 a 、 b 、 c 、 d ,从中任选 2 户,共包含 15 个基本事件: (甲,乙)(甲, a )(甲, b )(甲, c )(甲, d )(乙, a )(乙, b ) 、 、 、 、 、 、 、 (乙, c )(乙, d )( a , b )( a , c )( a , d )( b , c )( b , d )( c , d ) 、 、 、 、 、 、 、 甲、乙两家恰好被选中是其中一个基本事件: (甲,乙) , 因此所求概率为 P ?

1 15

12 分

考点:频率分布直方图、概率,考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识,以及 或然与必然的数学思想 19. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)

15 ; 5

答案第 6 页,总 11 页

【解析】 试题分析: (Ⅰ) 主要利用线线平行可证线面平行; (Ⅱ) 通过作平行线转化到三角形内解角; 当然也可建系利用空间向量来解; 试题解析: (Ⅰ)证明:连接 AB1, ∵四边形 A1ABB1 是矩形,点 M 是 A1B 的中点, ∴点 M 是 AB1 的中点;∵点 N 是 B1C 的中点, ∴MN//AC,∵MN ? 平面 ABC,AC ? 平面 ABC, ∴MN//平面 ABC 6分 (Ⅱ)解 : (方法一)如图,作 AD ? A1C ,交 A1C 于点 D, A M B M C M D MN M A1 M B1 M

M

C1 M 由条件可知 D 是 A1C 中点,连接 BD,∵AB=1,AC=AA1= 3 ,BC=2,
2 2 2

∴AB +AC = BC ,∴AB⊥AC, ∵AA1⊥AB,AA1∩AC=A,∴AB⊥平面 ACC1 A1 ∴AB⊥A1C, ∴A1C⊥平面 ABD,∴ BD ? A1C ∴ ?ADB 为二面角 A—A1C—B 的平面角,在

Rt ?AA1C中,AD ?

AA1 ? AC 3? 3 6 ? ? , ? BC ? BA1 ? 2 , A1C ? 6 , A1C 2 6

在等腰 ?CBA1 中, D 为 A1C 中点, BD ?

10 , ∴ ?ABD 中, ?BAD ? 90? , 2

Rt?ABD 中, tan ?ADB ?

AB 6 , ? AD 3 15 5
12 分

∴二面角 A— A1C —B 的余弦值是

(方法二) ?三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱, ∴ AB ? AA1,AC ? AA1 ,? AB ? 1 , AC ? 3 ,

BC ? 2 , ∴ AB2 ? AC 2 ? BC 2 ,∴ AB ? AC
如图,建立空间直角坐标系,

答案第 7 页,总 11 页

A M B M y C M x

M

A1 M

z
B1 M M

M

N M

C1 M

则 A(0,0,0), B(0,1,0), C( 3 ,0,0), A1(0,0, 3 ), M 如图,可取 a ? AB ? (0,1,0) 为平面 AA1C 的法向量, 设平面 A1 BC 的法向量为 b ? (m, l , n) ,

?

( ? 0) 则 BC ? b ? 0, A1C ? b ? 0, 又BC ? 3, 1, , A1C ? ( 3, 0, ? 3) ,
则由 BC ?b ? 0,

??? ? ?

???? ?

??? ?

????

??? ? ??

A1C ? b ? 0,



? ??l ? 3m ? 0 ? , ?? ? l ? 3m, n ? m ,不妨取 m=1,则 b ? (1, 31) , 3m ? 3n ? 0 ? ?
可求得 cos ? a, b ??

? ?

15 15 , ? 二面角A ? A1C ? BD的余弦值为 5 5

12 分

考点:立体几何线平行的证明、二面角的求解,考查学生的空间想象能力和空间向量的使用 20. (Ⅰ) 3 ; (Ⅱ)

24 3 13

【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据椭圆的定义、几何性质可求; (Ⅱ)直线与椭圆相交,联立消元,设点 代入化简,利用点到直线的距离来求 试题解析: (Ⅰ)由题意, B(0 , b) , E (c ? a , 0) , D(c ? a , 0) ,
y B A E O F D x

∵e ?

1 得 a ? 2c , b ? 3c , 2
3c) , E (?c , 0) , D(3c , 0)
答案第 8 页,总 11 页

则 B (0 ,

得 BD ? 2 3c , BE ? 2c

,



BD BE

? 3

(4 分)

(Ⅱ)当 c ? 1 时, C :

x2 y 2 ? ? 1 , F : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 ,得 B(0, 3) 在圆 F 上, 4 3
3 x? 3 3

直线 l ? BF ,则设 l : y ?

? x2 y2 ?1 ? ? 24 5 3 16 3 ?4 3 由? 得 A(? , ) , AB ? 13 13 13 ?y ? 3 x ? 3 ? 3 ?
又点 D(3,0) 到直线 l 的距离 d ?

3?0?3 2

? 3,

得 ?ABD 的面积 S ?

1 16 3 24 3 1 ?3 ? AB ? d ? ? 2 13 13 2

(12 分)

考点:椭圆,根与系数关系,坐标表示等,考查了学生的综合化简计算能力 21. (Ⅰ) a ? ?1 (Ⅱ)详见解析 【解析】 试题分析:(Ⅰ) 利用导数分析单调性,注意分类讨论;(Ⅱ)利用导数分析单调性,进而求 最值 试题解析: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0 , ? ?) , f ?( x) ? (1)当 0 ? a ? 1时, f ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? 1 或 x ?

1 ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? ax ? (a ? 1) ? , x x

1 1 ; f ?( x) ? 0 解得 1 ? x ? a a 1 1 所以函数 f ( x) 在 (0 , 1) , ( , ? ?) 上单调递增,在 (1 , ) 上单调递减; a a
(2)当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 对 x ? 0 恒成立,所以函数 f ( x) 在 (0 , ? ?) 上单调递增;

1 1 ; f ?( x) ? 0 解得 ? x ? 1 a a 1 1 所以函数 f ( x) 在 (0 , ) , (1 , ? ?) 上单调递增,在 ( , 1) 上单调递减 (6 分) a a 1 (Ⅱ)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? x , 要证 x ? [1, 2] 时 f ( x) ? 3 ? 成立,由于 x ? 0 , x
(3)当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 解得 x ? 1 或 0 ? x ? ∴只需证 x ln x ? x 2 ? 3x ? 1 ? 0 在 x ? [1, 2] 时恒成立,

答案第 9 页,总 11 页

令 g ( x) ? x ln x ? x ? 3x ? 1 ,则 g ?( x) ? ln x ? 2 x ? 2 ,
2

? g ?(1) ? 0 设 h( x) ? ln x ? 2 x ? 2 , h?( x) ?

1 ? 2 ? 0 , x ? [1, 2] x

∴ h( x ) 在 [1, 2] 上单调递增,∴ g ?(1) ? g ?( x) ? g ?(2) ,即 0 ? g ?( x) ? ln 2 ? 2 ∴ g ( x) 在 [1, 2] 上单调递增,∴ g ( x) ? g (2) ? 2ln 2 ? 3 ? 0 ∴当 x ? [1, 2] 时, x ln x ? x 2 ? 3x ? 1 ? 0 恒成立,即原命题得证 12 分

考点:导数,函数的单调性,不等式证明等知识点,考查学生的综合处理能力 22. (Ⅰ)

x2 y 2 (Ⅱ) x ? 4 y ? 1 ? 0 或 3x ? 4 y ? 49 ? 0 ? ? 1 、( x ? 4)2 ? ( y ? 3) ? 25 ; 3 16 9

【解析】 试题分析:(Ⅰ) 利用参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程来求;(Ⅱ)利用点 到直线的距离来求 试题解析: (Ⅰ)曲线 C1 的普通方程为:
2

x2 y 2 ? ? 1; 16 9

2分

由 ? ? 6sin ? ? 8cos ? ? 0 得 ? ? 6 ? sin ? ? 8? cos ? ? 0 , ∴曲线 C2 的直角坐标方程为: x ? y ? 8 x ? 6 y ? 0
2 2

4分

(或:曲线 C2 的直角坐标方程为: ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 25 )
2

(Ⅱ)曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 与 y 轴负半轴的交点坐标为 (0, ? 3) , 16 9

? x ? 2?t ? 0 ? 2?t 3 ? ? 又直线 l 的参数方程为: ? ,∴ ? ,得 ? ? , 3 3 4 y ? ? ??t ?3 ? ? ? ? t ? ? ? 2 ? 2 ? x ? 2?t ? 即直线 l 的参数方程为: ? 3 3 ?y ? ? 2 ? 4 t ?
得直线 l 的普通方程为: 3x ? 4 y ? 12 ? 0 , 6分 7分

设与直线 l 平行且与曲线 C2 相切的直线方程为: 3x ? 4 y ? k ? 0 ∵曲线 C2 是圆心为 (4, ? 3) ,半径为 5 的圆,

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12 ? 12 ? k 5

? 5 ,解得 k ? 1 或 k ? ?49

9分

故所求切线方程为: 3x ? 4 y ? 1 ? 0 或 3x ? 4 y ? 49 ? 0

10 分

考点:参数方程化普通方程、极坐标方程转化为直角坐标方程,考查学生分析问题、解决问 题的能力

答案第 11 页,总 11 页


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