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道外区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

道外区第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形, 则该几何体体积为( )

姓名__________

分数__________

A.

B.4

C.

D.2

2. 设 Sn 是等差数列 {an } 的前项和,若 A.1 B.2 C.3 D.4

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5



3. 某公园有 P,Q,R 三只小船,P 船最多可乘 3 人,Q 船最多可乘 2 人,R 船只能乘 1 人,现有 3 个大人 和 2 个小孩打算同时分乘若干只小船,规定有小孩的船必须有大人,共有不同的乘船方法为( A.36 种 B.18 种 C.27 种 D.24 种 ) )

4. 某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 ,则正视图中的 x 的值是(

A.2

B.
2 2

C.

D.3 )

5. 圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是( A. B. 2 ? 1 C.

2 ?1 2

D. 2 2 ? 1 )

6. 已知全集 I={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},那么?I(A∩B)等于(

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A.{3,4}

B.{1,2,5,6}

C.{1,2,3,4,5,6} )

D.?

7. 若不等式 1≤a﹣b≤2,2≤a+b≤4,则 4a﹣2b 的取值范围是( A.[5,10] 8. 若 a=ln2,b=5 B.(5,10) ,c= C.[3,12]

D.(3,12) )

xdx,则 a,b,c 的大小关系(

A.a<b<cB B.b<a<cC C.b<c<a D.c<b<a 9. 已知正方体的不在同一表面的两个顶点 A(﹣1,2,﹣1),B(3,﹣2,3),则正方体的棱长等于( A.4 B.2 C. D.2 )

10.已知函数 f(x)=m(x﹣ )﹣2lnx(m∈R),g(x)=﹣ ,若至少存在一个 x0∈[1,e],使得 f(x0)<g (x0)成立,则实数 m 的范围是( A.(﹣∞, ] ) D.(﹣∞,0)
2

B.(﹣∞, ) C.(﹣∞,0]
2

3x ? 4 y ? 11 ? 0 与圆 C: 3x ? 4 y ? 4 ? 0 上任意 11.已知直线 m: ( x ? 2) ? y ? 4 交于 A、B 两点, P 为直线 n:
一点,则 ?PAB 的面积为( A. 2 3 B. ) C. 3 3 D. 4 3 )

3 3 2

12.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是(

A.

B.

C.

D.

二、填空题
13.已知函数 为定义在区间[﹣2a,3a﹣1]上的奇函数,则 a+b= . .

14.执行如图所示的程序框图,输出的所有值之和是

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【命题意图】本题考查程序框图的功能识别,突出对逻辑推理能力的考查,难度中等. 15.等差数列 {an } 的前项和为 Sn ,若 a3 ? a7 ? a11 ? 6 ,则 S13 等于_________. 16.下列说法中,正确的是
2

.(填序号)

①若集合 A={x|kx +4x+4=0}中只有一个元素,则 k=1; ②在同一平面直角坐标系中,y=2x 与 y=2﹣x 的图象关于 y 轴对称; ③y=( )﹣ 是增函数;
x

④定义在 R 上的奇函数 f(x)有 f(x)?f(﹣x)≤0. 17.函数 f(x)=ax+4 的图象恒过定点 P,则 P 点坐标是 . °.

18.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 A1B 与 AC 所成的角是

三、解答题
19.已知椭圆 E: (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)经过点 P(﹣2,0)分别作斜率为 k1,k2 的两条直线,两直线分别与椭圆 E 交于 M,N 两点,当直线 MN 与 y 轴垂直时,求 k1k2 的值. =1(a>b>0)的焦距为 2 ,且该椭圆经过点 .

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20.已知曲线 C 的极坐标方程为 4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半 轴,建立平面直角坐标系; (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若 P(x,y)是曲线 C 上的一个动点,求 3x+4y 的最大值.

21.已知椭圆 (Ⅰ)求该椭圆的离心率;

,过其右焦点 F 且垂直于 x 轴的弦 MN 的长度为 b.

2 2 (Ⅱ)已知点 A 的坐标为(0,b),椭圆上存在点 P,Q,使得圆 x +y =4 内切于△ APQ,求该椭圆的方程.

22.(本题满分 14 分)已知两点 P(0,?1) 与 Q(0,1) 是直角坐标平面内两定点,过曲线 C 上一点 M ( x, y ) 作 y 轴的垂线,垂足为 N ,点 E 满足 ME ? (1)求曲线 C 的方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为

2 MN ,且 QM ? PE ? 0 . 3

3 ,求 ?AOB 面积的最大值. 2

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【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系,本题知识交汇性强,最值的求 解有一定技巧性,同时还要注意特殊情形时三角形的面积.总之该题综合性强,难度大.

23.已知 ? 、 ? 、是三个平面,且 ? ? ? ? c , ? ? ? ? a , ? ? ? ? b ,且 a ? b ? O .求证:、 、三线共点.

24.某志愿者到某山区小学支教,为了解留守儿童的幸福感,该志愿者对某班 40 名学生进行了一 次幸福指数的调查问卷,并用茎叶图表示如图(注:图中幸福指数低于 70,说明孩子幸福感弱;幸福指 数不低于 70,说明孩子幸福感强).

(1)根据茎叶图中的数据完成 2 ? 2 列联表,并判断能否有 95% 的把握认为孩子的幸福感强与是否是留 守儿童有关? 幸福感强 留守儿童 非留守儿童 幸福感弱 总计

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总计 求这 2 个学生中恰有一人幸福感强的概率. 参考公式: K 2 ? 附表:

1111]

(2)从 15 个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样,共抽取 5 人,又在这 5 人中随机抽取 2 人进行家访,

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K 2 ? k0 )
k0

0.050 3.841

0.010 6.635

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道外区第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得 这个几何体是一个四棱锥 由图可知,底面两条对角线的长分别为 2 故底面棱形的面积为 侧棱为 2 故 V= 故选 C 2. 【答案】A 【解析】1111] ,则棱锥的高 h= =2 =2 =3 ,2,底面边长为 2

9(a1 ? a9 ) S 9a 2 试题分析: 9 ? ? 5 ? 1 .故选 A.111] S5 5(a1 ? a5 ) 5a3 2
考点:等差数列的前项和. 3. 【答案】 【解析】 排列、组合及简单计数问题. 【专题】计算题;分类讨论. 【分析】根据题意,分 4 种情况讨论,①,P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人,Q 船乘 1 个大人,R 船乘 1 个大 1 人,②,P 船乘 1 个大人和 1 个小孩共 2 人,Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩,R 船乘 1 个大 1 人,③,P 船乘 2 个大人和 1 个小孩共 3 人,Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩,④,P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人,Q 船乘 2 个大人,分别求出每种情况下的乘船方法,进而由分类计数原理计算可得答案. 【解答】解:分 4 种情况讨论, ①,P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人,Q 船乘 1 个大人,R 船乘 1 个大 1 人,有 A33=6 种情况, ②,P 船乘 1 个大人和 1 个小孩共 2 人,Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩,R 船乘 1 个大 1 人,有 A33×A22=12 种 情况, ③,P 船乘 2 个大人和 1 个小孩共 3 人,Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩,有 C32×2=6 种情况, ④,P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人,Q 船乘 2 个大人,有 C31=3 种情况, C

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则共有 6+12+6+3=27 种乘船方法, 故选 C. 【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用,关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、 组合公式. 4. 【答案】C 解析:由三视图可知:原几何体是一个四棱锥,其中底面是一个上、下、高分别为 1、2、2 的直角梯形,一条 长为 x 的侧棱垂直于底面. 则体积为 故选:C. 5. 【答案】 B 【解析】 试题分析:化简为标准形式 ?x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 ,圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半
2 2

= ,解得 x= .

径, d ?

1 ?1 ? 2 2

? 2 ,半径为 1,所以距离的最大值是 2 ? 1 ,故选 B.

考点:直线与圆的位置关系 1 6. 【答案】B 【解析】解:∵A={1,2,3,4},B={3,4,5,6}, ∴A∩B={3,4}, ∵全集 I={1,2,3,4,5,6}, ∴?I(A∩B)={1,2,5,6}, 故选 B. 【点评】本题考查交、并、补集的混合运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价 转化. 7. 【答案】A 【解析】解:令 4a﹣2b=x(a﹣b)+y(a+b) 即 解得:x=3,y=1 即 4a﹣2b=3(a﹣b)+(a+b) ∵1≤a﹣b≤2,2≤a+b≤4, ∴3≤3(a﹣b)≤6 ∴5≤(a﹣b)+3(a+b)≤10

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故选 A 【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划,其中令 4a﹣2b=x(a﹣b)+y(a+b),并求出满足条件的 x, y,是解答的关键. 8. 【答案】C 【解析】解:∵ b=5 c= = xdx= , , a=ln2<lne 即 ,

∴a,b,c 的大小关系为:b<c<a. 故选:C. 【点评】本题考查了不等式大小的比较,关键是求出它们的取值范围,是基础题. 9. 【答案】A 【解析】解:∵正方体中不在同一表面上两顶点 A(﹣1,2,﹣1),B(3,﹣2,3), ∴AB 是正方体的体对角线,AB= 设正方体的棱长为 x, 则 故选:A. 【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式,以及正方体的体积的有关知识,属于基础题. 10.【答案】 B 【解析】解:由题意,不等式 f(x)<g(x)在[1,e]上有解, ∴mx<2lnx,即 < 令 h(x)= 在[1,e]上有解, , ,解得 x=4. ∴正方体的棱长为 4, ,

,则 h′(x)=

∵1≤x≤e,∴h′(x)≥0, ∴h(x)max=h(e)= , ∴ <h(e)= , ∴m< . ∴m 的取值范围是(﹣∞, ).

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故选:B. 【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识,解题时要认真审题,注意导数性 质的合理运用. 11.【答案】 C 【解析】解析:本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算. 圆心 C 到直线 m 的距离 d ? 1 ,| AB |? 2 r 2 ? d 2 ? 2 3 ,两平行直线 m、n 之间的距离为 d ? ? 3 ,∴ ?PAB 的面积为

1 | AB | ?d ? ? 3 3 ,选 C. 2


12.【答案】A 【解析】解:几何体如图所示,则 V=

故选:A. 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积,正确得出直观图是解答的关键.

二、填空题
13.【答案】 2 .

【解析】解:∵f(x)是定义在[﹣2a,3a﹣1]上奇函数, ∴定义域关于原点对称, 即﹣2a+3a﹣1=0, ∴a=1, ∵函数 ∴f(﹣x)= 即 b?2 ﹣1=﹣b+2 , ∴b=1.
x x

为奇函数, =﹣ ,

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即 a+b=2, 故答案为:2. 14.【答案】54 【解析】根据程序框图可知循环体共运行了 9 次,输出的 x 是 1,3,5,7,9,11,13,15, 17 中不是 3 的 倍数的数,所以所有输出值的和 1 ? 5 ? 7 ? 11 ? 13 ? 17 ? 54 . 15.【答案】 26 【解析】 试题分析:由题意得,根据等差数列的性质,可得 a3 ? a7 ? a11 ? 3a7 ? 6 ? a7 ? 2 ,由等差数列的求和

S13 ?

13(a1 ? a13 ) ? 13a7 ? 26 . 2

考点:等差数列的性质和等差数列的和. 16.【答案】 ②④ 【解析】解:①若集合 A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素,则 k=1 或 k=0,故错误; ②在同一平面直角坐标系中,y=2x 与 y=2﹣x 的图象关于 y 轴对称,故正确; ③y=( )﹣ 是减函数,故错误;
x

④定义在 R 上的奇函数 f(x)有 f(x)?f(﹣x)≤0,故正确. 故答案为:②④ 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了集合,指数函数的,奇函数的图象和性质,难度中档. 17.【答案】 (0,5) . 【解析】解:∵y=ax 的图象恒过定点(0,1), 而 f(x)=ax+4 的图象是把 y=ax 的图象向上平移 4 个单位得到的, ∴函数 f(x)=ax+4 的图象恒过定点 P(0,5), 故答案为:(0,5). 【点评】本题考查指数函数的性质,考查了函数图象的平移变换,是基础题. 18.【答案】 60° °. 【解析】解:连结 BC1、A1C1, ∵在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1A 平行且等于 C1C, ∴四边形 AA1C1C 为平行四边形,可得 A1C1∥AC, 因此∠BA1C1(或其补角)是异面直线 A1B 与 AC 所成的角, 设正方体的棱长为 a,则△A1B1C 中 A1B=BC1=C1A1= a,

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∴△A1B1C 是等边三角形,可得∠BA1C1=60°, 即异面直线 A1B 与 AC 所成的角等于 60°. 故答案为:60°.

【点评】本题在正方体中求异面直线所成角和直线与平面所成角的大小,着重考查了正方体的性质、空间角的 定义及其求法等知识,属于中档题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由题意得,2c=2
2 2 解得,a =4,b =1;



=1;

故椭圆 E 的方程为

+y2=1;

(Ⅱ)由题意知,当 k1=0 时,M 点的纵坐标为 0, 直线 MN 与 y 轴垂直, 则点 N 的纵坐标为 0, 故 k2=k1=0,这与 k2≠k1 矛盾. 当 k1≠0 时,直线 PM:y=k1(x+2); 由 得,



+4)y2﹣

=0; ; , ),

解得,yM= ∴M(

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同理 N(



), ;

由直线 MN 与 y 轴垂直,则 ∴(k2﹣k1)(4k2k1﹣1)=0, ∴k2k1= .

=

【点评】本题考查了椭圆方程的求法及椭圆与直线的位置关系的判断与应用,属于中档题. 20.【答案】
2 2 2 2 2 2 【解析】解:(Ⅰ)由 4ρ cos θ+9ρ sin θ=36 得 4x +9y =36,

化为



(Ⅱ)设 P(3cosθ,2sinθ), 则 3x+4y= , . ∵θ∈R,∴当 sin(θ+φ)=1 时,3x+4y 的最大值为

【点评】 本题考查了椭圆的极坐标方程、 三角函数的单调性与值域, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.

21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)设 F(c,0),M(c,y1),N(c,y2), 则 ,得 y1=﹣ ,y2= ,

MN=|y1﹣y2|=

=b,得 a=2b, = = .

椭圆的离心率为:

(Ⅱ)由条件,直线 AP、AQ 斜率必然存在,
2 2 设过点 A 且与圆 x +y =4 相切的直线方程为 y=kx+b,转化为一般方程 kx﹣y+b=0, 2 2 由于圆 x +y =4 内切于△APQ,所以 r=2=

,得 k=±

(b>2),

即切线 AP、AQ 关于 y 轴对称,则直线 PQ 平行于 x 轴, ∴yQ=yP=﹣2, 不妨设点 Q 在 y 轴左侧,可得 xQ=﹣xP=﹣2 ,

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则 ∴椭圆方程为:

= .

,解得 b=3,则 a=6,

【点评】本题考查了椭圆的离心率公式,点到直线方程的距离公式,内切圆的性质. 22.【答案】 【解析】(1)依题意知 N (0, y) ,∵ ME ? 则 QM ? ( x, y ? 1) , PE ? ( x, y ? 1)

2 2 2 1 MN ? (? x,0) ? (? x,0) ,∴ E ( x, y ) 3 3 3 3

1 3

…………2 分

1 x2 ? y2 ? 1 ∵ QM ? PE ? 0 ,∴ x ? x ? ( y ? 1)( y ? 1) ? 0 ,即 3 3 2 x ? y 2 ? 1 …………4 分 ∴曲线 C 的方程为 3

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23.【答案】证明见解析. 【解析】

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考点:平面的基本性质与推论. 24.【答案】(1)有 95% 的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关;(2) 【解析】

3 . 5

试题解析:(1)列联表如下: 留守儿童 非留守儿童 总计 ∴K ?
2

幸福感强 6 18 24

幸福感弱 9 7 16

总计 15 25 40

40 ? (6 ? 7 ? 9 ?18) 2 ? 4 ? 3.841 . 15 ? 25 ? 24 ?16 ∴有 95% 的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关.
(2)按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子 2 人,记作: a1 , a2 ;幸福感强的孩子 3 人,记作: b1 , b2 ,

b3 .
“抽取 2 人”包含的基本事件有 (a1 , a2 ) ,(a1 , b1 ) ,(a1 , b2 ) ,(a1 , b3 ) ,(a2 , b1 ) ,(a2 , b2 ) ,(a2 , b3 ) ,(b1 , b2 ) ,

(b1 , b3 ) , (b2 , b3 ) 共 10 个.
事件 A :“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有 (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) 共 6 个. 故 P ( A) ?

6 3 ? . 10 5
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考点:1、 茎叶图及独立性检验的应用;2、古典概型概率公式.

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