fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

高考数学分类专题复习之11 平面向量及应用


第十二讲
★★★高考在考什么 【考题回放】

平面向量及应用

,, , 1. (宁夏,海南)已知平面向量 a ? (11) b ? (1 ? 1) ,则向量
A. (?2, 1) ? C. (?1 0) , B. (?2, 1) D. (1 2) ,

1 3 a? b?( D ) 2 2

2. (福建)对于向量 a,b,c 和实数 ? ,下列命题中真命题是( B ) b A.若 a ? ? 0 ,则 a = 0 或 b = 0 B.若 ? a = 0 ,则 ? ? 0 或 a ? 0
2 2 C.若 a ? b ,则 a ? b 或 a = ?b

D.若 a ? b = a ? c ,则 b = c

3. (北京)已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么( A ) A. AO ? OD

??? ??? ??? ? ? ? ????

????

????

B. AO ? 2OD

????

????

C. AO ? 3OD

????

????

D. 2AO ? OD

????

?x π? ? π ? ? 4. (湖北)将 y ? 2 cos ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , 2 ? 平移,则平移后所得图象的解析式为( A ) ?3 6? ? 4 ? ?x π? A. y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4? ?x π? B. y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4?

?x π ? ?x π ? C. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 D. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ? ? 3 12 ? 0) , 5. (江西文)在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点分别为 O(0, , B(11) ,则

??? ??? ? ? AB ? AC ?

1


OB 的 夹 角 为

6. (陕西)如图,平面内有三个向量 OA 、 OB 、 OC ,其中与 OA 与 120°, OA 与 OC 的夹角为 30°,且| OA |=| OB |=1,| OC |= λ OA +μ OB (λ ,μ ∈R),则λ +μ 的值为 7. (全国Ⅱ)在 △ ABC 中,已知内角 A ? (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值. 解: (1) △ ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ? 应用正弦定理,知

2 3 ,若 OC =

6

.

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

? 2? ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? . ? ?

AC ?

BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x , ? sin A sin ?

AB ?

BC ? 2? ? sin C ? 4sin ? ? x?. sin A ? ? ?

因为 y ? AB ? BC ? AC , 所以 y ? 4sin x ? 4sin ?

2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?
? ? 1 cos x ? sin x ? ? 2 3 ? ? 2 ?

(2)因为 y ? 4 ? sin x ?

? ? ?

?? ? 5? ? ? ?? ? 4 3 sin ? x ? ? ? 2 3 ? ? x ? ? ? , ?? ? ? ? ? ??
所以,当 x ?

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . ? ? ?

★★★高考要考什么 【考点透视】 本专题主要涉及向量的概念、几何表示、加法和减法,实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、 向量的坐标运算,以及平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段的定比分点坐标公 式和向量的平移公式. 【热点透析】 在高考试题中,主要考查有关的基础知识,突出向量的工具作用。在复习中要重视教材的基础作用, 加强基本知识的复习,做到概念清楚、运算准确,不必追求解难题。热点主要体现在平面向量的数量积及 坐标运算以及平面向量在三角,解析几何等方面的应用. ★★★高考将考什么 【范例 1】出下列命题:①若 a ? b ,则 a ? b ; ②若 A、B、C、D 是不共线的四点,则 AB ? DC 是四边形为平行四边形的充要条件; 则a ? c; ④ a ? b 的充要条件是 a ? b 且 a ∥ b ; ③若 a ? b, b ? c ,

⑤若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c 。 其中,正确命题的序号是_________________. 解析: ①不正确性。两个向量长度相同,但它的方向不一定相同。 ②正确。∵ AB ? DC 且 AB// DC ,又 A、B、C、D 为不共线的四点, ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形;反之,若四边形为平行四边形, 则 AB // DC 且AB ? DC ,因此 AB ? DC 。 ③正确。∵ a ? b ,∴ a 、 b 的长度相等且方向相同,又 b = c , ∴ b 、 c 的长度相等且方向相同,∴ a 、 c 的长度相等且方向相同,故 a ? c 。 ④不正确。当 a ∥ b 且方向相同,即使 a ? b ,也不能得到 a ? b 。 ⑤不正确。考虑 b ? 0 这种极端情况。 答案:②③。 【点晴】本题重在考查平面的基本概念。 【范例 2】平面内给定三个向量: a ? (3,2), b ? (?1,2), c ? (4,1) 。回答下列问题: (1)求 3a ? b ? 2c ; (2)求满足 a ? mb ? nc 的实数 m 和 n ; (3)若 (a ? k c) ∥ (2b ? a) ,求实数 k;

? (4)设 d ? ( x, y) 满足 (a ? b) ∥ (d ? c) 且 | d ? c |? 1,求 d 解:
(1)依题意,得 3a ? b ? 2c =3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(0,6) (2)∵ a ? mb ? nc, m, n ? R ,∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n) 5 ? ?m ? 9 , ?? m ? 4n ? 3 ? ∴? 解之得 ? ?2m ? n ? 2, ?n ? 8 ; ? 9 ? (3)∵ (a ? k c) ∥ (2b ? a) ,且 a ? k c =(3+4k,2+k) 2b ? a =(-5,2) , ∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0,∴ k ? ? (4)∵ d ? c =(x-4,y-1) a ? b =(2,4) , ,

16 ; 13 又∵ (a ? b) ∥ (d ? c) 且 | d ? c |? 1,

? ? 20 ? 5 20 ? 5 ?x ? ?x ? 4( x ? 4) ? 2( y ? 1) ? 0 ? ? ? 5 5 ∴? 解之得 ? 或? 2 2 5?2 5 5?2 5 ? ? ?( x ? 4) ? ( y ? 1) ? 1, ?y ? ?y ? 5 5 ? ? ? ? 20 ? 5 5?2 5 20 ? 5 5?2 5 ∴ d =( , )或 d =( , ) 5 5 5 5 【点晴】根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式,建立方程组求解。
变式:设向量 a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),x∈R,函数 f(x)=a·(a+b). (Ⅰ)求函数 f(x)的最大值与最小正周期;

3 成立的 x 的取值集。 2 2 2 2 解:(Ⅰ)∵ f ? x ? ? a? a ? b? ? a? ? a? ? sin x ? cos x ? sin x cos x ? cos x a b ?
(Ⅱ)求使不等式 f(x)≥

1 1 3 2 ? ? 1 ? sin 2 x ? (cos 2 x ? 1 )= ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 4 2? 3 2 ?? 。 ∴ f ? x ? 的最大值为 ? ,最小正周期是 2 2 2 3 3 2 ? 3 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? ? ? sin(2 x ? ) ? ? sin(2 x ? ) ? 0 2 2 2 4 2 4 ? ? 3? ? 2 k? ? 2 x ? ? 2 k ? ? ? ? k ? ? ? x ? k? ? ,k ?Z 4 8 8 3 3? 3? ? ? 即 f ? x ? ? 成立的 x 的取值集合是 ? x | k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z?. 2 8 8 ? ?
【点睛】 本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、 三角公式、 三角函数的性质及图像的基本知识, 考查推理和运算能力. 【范例 3】已知射线 OA、OB 的方程分别为 y ? OA、OB 上滑动,且 MN ? 4 3 。 (1)若 MP ? PN ,求 P 点的轨迹 C 的方程; (2)已知 F1 (?4 2 ,0) , F2 (4 2 ,0) ,请问在曲线 C 上是否存在动点 P 满足条件 PF ? PF2 ? 0 ,若 1 存在,求出 P 点的坐标,若不存在,请说明理由。

3 3 x( x ? 0) , y ? ? x( x ? 0) ,动点 M、N 分别在 3 3

3 3 x1 )(x1 ? 0), N ( x2 ,? x2 )(x2 ? 0) , P( x, y) , 3 3 3 3 则 MP ? ( x ? x1 , y ? x1 ) , PN ? ( x2 ? x,? x2 ? y) , 3 3 x ? x1 ? x 2 ? x ? ? x1 ? x 2 ? 2 x ? 所以 ? ,即 ? 。 3 3 ? x1 ? x 2 ? 2 3 y ? y ? 3 x1 ? ? 3 x 2 ? y ?
解: (1)设 M ( x1 , 又 因 为

MN ? 4 3 , 所 以

( x1 ? x2 ) 2 ? [

3 ( x1 ? x2 )]2 ? 48 , 代 入 得 : 3

x2 y2 ? ? 1(?3 ? x ? 3, y ? 0) 。 36 4 (2) P( x0 , y0 ) ,所以 PF ? (?4 2 ? x0 ,? y0 ) , PF2 ? (4 2 ? x0 , y 0 ) 1
因为 PF ? PF2 ? 0 ,所以 ? (4 2 ? x0 )(4 2 ? x0 ) ? y 2 0 ? 0 ,得 x0 ? yo ? 32, 1
2 2

x y 63 63 又 0 ? 0 ? 1 ,联立得 x0 ? ? ,因为 ? 3 ,所以不存在这样的 P 点。 36 4 2 2

2

2

???? ????? ???? OC ? t OM?(1 ? ) ON ? ,点 C 的轨迹与抛物线 y 2 ? 4x 交于 A、B 两点; t ( t ) R
(1)求点 C 的轨迹方程;

【点晴】本题是一道综合题,重在考查向量的概念及轨迹方程的求法。 变 式 : 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 已 知 点 M (1, ?3) , N (5,1) , 若 点 C 满 足

(2)求证: OA ? OB ; (3)在 x 轴正半轴上是否存在一定点 P(m,0) ,使得过点 P 的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该 弦中点距离的 2 倍,若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. 解: (1)设 C ( x, y) ,由 OC ? tOM ? (1 ? t )ON 知,点 C 的轨迹为 y ? x ? 4 .

??? ?

??? ?

??? ?

???? ?

????

?y ? x ? 4 2 消 y 得: x ? 12 x ? 16 ? 0 2 ? y ? 4x 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 x2 ? 16 , x1 ? x2 ? 12 ,
(2)由 ?

所以 y1 y2 ? ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? ?16 ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,于是 OA ? OB (3)假设存在过点 P 的弦 EF 符合题意,则此弦的斜率不为零,设此弦所在直线的方程为 x ? ky ? m , 由?

??? ?

??? ?

? x ? ky ? m 2 消 x 得: y ? 4ky ? 4m ? 0 ,设 E ( x3 , y3 ) , F ( x4 , y4 ) , y2 ? 4x ? 则 y3 ? y4 ? 4k , y3 y4 ? ?4m .
y32 y4 2 ? y3 y4 ? 0 得 m ? 4 ,所以存在 m ? 4 . 16

因为过点 P 作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的 2 倍,所以 OE ? OF 即 x3 x4 ? y3 y4 ? 0 , 所以

??? ?

??? ?


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图