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函数与方程复习讲义_图文

.函数与方程复习讲义
一.【目标要求】
①结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系, ②判断一元二次方程根的存在性及根的个数. ③会理解函数零点存在性定理,会判断函数零点的存在性.
二.【基础知识】 1.函数零点的概念:
对于函数 y ? f (x) ,我们把方程 f (x) ? 0 的实数根叫做函数 y ? f (x) 的零点。
2.函数零点与方程根的关系: 方程 f (x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x轴 有点 ? 函数 y ? f (x) 有零点
3.函数零点的存在性定理:
如 果 函 数 y ? f (x) 在 区 间 ?a,b? 上 的 图 像 是 一 条 连 续 不 断 的 曲 线 , 并 且 有 f (a) f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f (x) 在区间 ?a,b? 内有零点,即存在 x0 ? (a, b) ,使得
f (x0 ) ? 0 ,这个 x0 也就是方程 f (x) ? 0 的根。
注:若 f (x) ? 0或f (x) ? 0 恒成立,则没有零点。 三.【技巧平台】 1.对函数零点的理解及补充
(1)若 y ? f (x) 在 x ? a 处其函数值为 0,即 f (a) ? 0 ,则称 a 为函数 f (x) 的零点。
(2)变号零点与不变号零点
①若函数 f (x) 在零点 x0 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数 f (x) 的变号零
点。
②若函数 f (x) 在零点 x0 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数 f (x) 的不变号零
点。
③若函数 f (x) 在区间?a,b? 上的图像是一条连续的曲线,则 f (a) f (b) ? 0 是 f (x) 在区 间 ?a,b? 内有零点的充分不必要条件。
(3)一般结论:函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f (x) ? 0 的实数根。从图像上看,函数
y ? f (x) 的零点,就是它图像与 x轴 交点的横坐标。
1

(4)更一般的结论:函数 F(x) ? f (x) ? g(x) 的零点就是方程 f (x) ? g(x) 的实数根,也 就是函数 y ? f (x) 与 y ? g(x) 的图像交点的横坐标。 2.函数 y ? f (x) 零点个数(或方程 f (x) ? 0 实数根的个数)确定方法
1) 代数法:函数 y ? f (x) 的零点 ? f (x) ? 0 的根 2) 几何法:有些不容易直接求出的函数 y ? f (x) 的零点或方程 f (x) ? 0 的根,可利用
y ? f (x) 的图像和性质找出零点。画
3) 注意二次函数的零点个数问题
? ?0 ?y ? f (x) 有 2 个零点 ? f (x) ? 0 有两个不等实根 ? ?0 ?y ? f (x) 有 1 个零点 ? f (x) ? 0 有两个相等实根 ? ?0 ?y ? f (x) 无零点 ? f (x) ? 0 无实根
对于二次函数在区间?a,b? 上的零点个数,要结合图像进行确定
4) 对于函数 F(x) ? f (x) ? g(x) 的零点个数问题,可画出两个函数图像,看其交点个数有
几个,则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。 5) 方程的根或函数零点的存在性问题,要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定,
但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性,在给定的区间上,如果函 数是单调的,它至多有一个零点,如果不是单调的,可继续细分出小的单调区间,再结 合这些小的区间的端点处的函数值的正负,作出正确的判断。 6) 要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。
3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。
2

为学习的方便,在解一元二次不等式和一元二次方程时,把二次项系数 a 化为正数,

(1)ax2

?

bx

?

c

?

0(a

?

0)

恒成立

?

?a ???

? ?

0 0

,ax2

?

bx

?

c

?

0(a

?

0)

恒成立

?

?a ?? ?

? ?

0 0

(2)

ax2

?

bx

?

c

?

0

的解集为

R

?

?a ???

? ?

0或 0

?a ??c

? ?

b 0

?

0

a x2 ? b x?

c?0

的解集为

R

?

?a ???

? ?

0或 0

?a ??c

? ?

b 0

?

0

(3)对于二次函数在区间?a,b? 上的最值问题,参照第 1.5(1)和 1.5(2)节

4.用二分法求方程的近似解

㈠给定精确度 ? ,用二分法求方程的近似解的基本步骤如下:

1.精确区间?a,b? ? D ,使 f (a) ? f (b ? 0) .令 a0 ? a,b0 ? b .

? ? 2.取区间 a0,b0

的中点

x0

?

1 2

(a0

? b0 ) ,计算

f

(x0 ),

f

(a0 ),

f

(b0)

一般步骤

(1)如果 f (x0 ) ? 0 ,则 x0 就是 f (x) 的零点, 计算终止;

? ? (2) 如果 f (a0 ) f (x0 ) ? 0 ,则零点位于区间 a0, x0 ,令 a1 ? a0 , b1 ? x0 ;

? ? (3) 如果 f (a0 ) f (x0 ) ? 0 ,则零点位于区间 x0,b0 令 a1 ? x0 , b1 ? b0 。

3

? ? 3.

取区间

a1, b1

的中点

x1

?

1 2

(a1

? b1) ,计算

f

( x1 )

(1)如果 f (x1) ? 0 ,则 x0 就是 f (x) 的零点, 计算终止;

? ? (2) 如果 f (a1) f (x1) ? 0 ,则零点位于区间 a0, x0 ,令 a2 ? a1, b2 ? x1 ;

? ? (3) 如果 f (a1) f (x1) ? 0 ,则零点位于区间 x0,b0 令 a1 ? x1, b2 ? b1 。
……
4.判断是不是达到精确度 ? ,即如果 a ? b ? ? ,则得到零点近似值 a 或(b); 否则就重复
步骤 2-4

函数与方程复习题
1.(2015 安徽 2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )
(A) y ? cos x (B) y ? sin x (C) y ? ln x (D) y ? x2 ?1
【答案】A

2.(

2015

天津

8)已知函数

f

?

x

?

?

??2 ? x ,
???? x ? 2?2

,

x

? x

2, ?

2,

函数 g ?x? ? b ? f ?2 ? x?

,其中

b ? R ,若函数 y ? f ? x? ? g ? x? 恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是( )

(A)

? ??

7 4

,

??

? ??

(B)

? ??

??,

7 4

? ??

(C)

? ??

0,

7 4

? ??

(D)

? ??

7 4

,

2

? ??

【答案】D【解析】由

f

?x?

?

??2 ? x ,
???? x ? 2?2

x ,

? 2, x ? 2,



f

(2

?

x)

?

??2 ?

? ??

x

2

,

2

?

x

,

x x

? ?

0

0

?2 ? x ? x2,

x?0

? 所以 y ? f (x) ? f (2 ? x) ? ?4 ? x ? 2 ? x , 0 ? x ? 2 ,

??2 ? 2 ? x ? (x ? 2)2, x ? 2

?x2 ? x ? 2, x ? 0

即 y ? f (x) ? f (2 ? x) ? ??2,

0? x?2

? ?

x2

?

5x

?

8,

x

?

2

y ? f (x) ? g(x) ? f (x) ? f (2 ? x) ? b ,所以 y ? f ? x? ? g ? x? 恰有 4 个零点等价于方程

4

f (x) ? f (2 ? x) ? b ? 0 有 4 个不同的解,即函数 y ? b 与函数 y ? f (x) ? f (2 ? x) 的图 象的 4 个公共点,由图象可知 7 ? b ? 2 .
4
8 6 4 2

15

10

5 2

5

10

15

4

6

8
【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.

3.(2015 湖南 15)已知

f

(

x)

?

? ? ?

x3 x2

, ,

x x

? ?

a a

,若存在实数

b

,使函数

g

(

x)

?

f (x) ? b 有两个零

点,则 a 的取值范围是

.

【答案】 (??,0) ? (1,??) .

【解析】试题分析:分析题意可知,问题等价于方程 x3 ? b(x ? a) 与方程 x2 ? b(x ? a) 的

?1 ?b3 ? a

根的个数和为

2

,若两个方程各有一个根:则可知关于

b

的不等式组

? ?

b ?a

有解,

??? b ? a ?

∴ a2 ? b ? a3 ,从而 a ? 1 ;若方程 x3 ? b(x ? a) 无解,方程 x2 ? b(x ? a) 有 2 个根:则

可知关于 b

的不等式组

???b

1 3

?

a

有解,从而 a ? 0 ,综上,实数 a 的取值范围是

??? b ? a

(??,0) ? (1,??) .

4.(2015

北京

14)设函数

f

?

x?

?

??
???4? x

2x ? a
? a??x

? ?

2a?

?

x ?1? x ≥1.

①若 a ? 1,则 f ? x? 的最小值为 ;

5

②若 f ? x? 恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是 .

1
【答案】(1)1,(2)
2

?

a

?

1或a

?

2.

【解析】① a

?

1 时,

f

?

x

?

?

?? ? ??4

?

x

2x ?1
?1?? x

? ?

2

?

?

x ?1? x ≥1.

,函数f(x )在(??,1)上为增函数,

函数值大于

1,在[1,

3]为减函数,在[3

2

2

,??)为增函数,当 x

?

3 时,f(x )取得最小值 2

为 1;
(2)①若函数 g(x ) ? 2x ? a 在 x ? 1 时与 x 轴有一个交点,则a ? 0 ,并且当 x ? 1

时, g(1) ? 2 ? a >0 ,则 0 ? a ? 2 ,函数 h(x ) ? 4(x ? a)(x ? 2a)与 x 轴有一个

交点,所以 2a

?

1且a

?

1

?

1 2

?

a

?

1;

②若函数 g(x ) ? 2x ? a 与 x 轴有无交点,则函数 h(x ) ? 4(x ? a)(x ? 2a)与 x 轴有 两个交点,当a ? 0 时 g(x )与 x 轴有无交点,h(x ) ? 4(x ? a)(x ? 2a)在 x ? 1 与 x

轴有无交点,不合题意;当 h(1) ? 2 ? a ? 0 时,a ? 2 ,h(x )与 x 轴有两个交点,x ? a

和x

?

2a ,由于a

?

2 ,两交点横坐标均满足 x

?

1 ;综上所述a 的取值范围 1 2

?

a

?

1

或a ? 2.

5.(2015

江苏

13)已知函数

f

(x)

?|

ln

x

|,

g(x)

?

? ??|

0,0 ? x ? 1
,则方程
x2 ? 4 | ?2, x ? 1

| f (x) ? g(x) |? 1实根的个数为

【答案】4【解析】由题意得:求函数 y ? f (x) 与 y ? 1 ? g(x) 交点个数以及函数 y ? f (x) 与

? 1, 0 ? x ? 1

y

?1?

g(x)

?

? ?

7 ? x2, x ? 2

y ? ?1 ? g(x) 交点个数之和,因为

??x2 ?1,1 ? x ? 2 ,所以函数 y ? f (x) 与

? ?1, 0 ? x ? 1

y

?

?1 ?

g(x)

?

? ?

5 ? x2, x ? 2

y ? 1 ? g(x) 有两个交点,又

??x2 ? 3,1 ? x ? 2 ,所以函数 y ? f (x) 与

6

y ? ?1 ? g(x) 有两个交点,因此共有 4 个交点

6.(2014 山东 08)已知函数 f ?x? ? x ? 2 ?1, g?x? ? kx .若方程f ?x ? ? g ?x ?有两个不相
等的实根,则实数 k 的取值范围是

(A)(0,1)(B)(1 ,1)(C)(1,2)(D)(2,? ?)

2

2

画出 f ? x? 的图象最低点是 ?2,1? , g ? x? ? kx 过原点和 ?2,1? 时斜率最
【答案】B【解析】
小为 1 ,斜率最大时 g ? x? 的斜率与 f ? x? ? x ?1的斜率一致。
2 7.(2014 天津 14)已知函数 f (x) ?| x2 ? 3x | , x ? R .若方程 f (x) ? a | x ?1|? 0 恰有 4 个 互异的实数根,则实数 a 的取值范围为_____________. 【答案】 0 < a < 1或 a > 9 . 【解析】在同一坐标系内分别作出 y=f(x)与 y=a|x-1|的图像如图所示.当 y=a|x-1|
与 y=f(x)的图像相切时,由???-ax+a=-x2-3x,整理得 x2+(3-a)x+a=0,则 ??a>0,
Δ =(3-a)2-4a=a2-10a+9=0,解得 a=1 或 a=9.故当 y=a|x-1|与 y=f(x) 的图像有四个交点时,0<a<1 或 a>9.

8.(2014 江 苏 13 ) 已 知 f (x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 3 的 函 数 , 当 x[0,3) 时 , f (x) ?| x2 ? 2x ? 1 | y ? f (x) ? a 在区间[?3,4] 上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的
2
取值范围是 .
【答案】(0, 1 )【解析】根据题目条件,零点问题即转化为数形结合,通过找 y ? f (x) 与 y ? a 2
的图象交点去推出零点,先画出[0,3]上 y ? x2 ? 2x ? 1 的图像,再将 x 轴下方的图象对称 2
到上方,利用周期为 3,将图象平移至[?3,4] ,发现若 f (x) 图象要与 y ? a 有 10 个不同的
7

交点,则 a ? (0, 1) 2

9.已经函数

f (x) ? (a2

1

)x

? 2a ? 3

? sin x, a ? R ,则

f (x) 在[0,2 ? ]上的零点个数为(

B



A.1

B.2

C.3

D.4

10.下列函数中,在 (0, ? ) 上有零点的函数是( D ) 2

A. f (x) ? sin x ? x

B. f (x) ? sin x ? 2 x ?

C. f (x) ? sin2 x ? x

D. f (x) ? sin2 x ? 2 x ?

11.

设定义在 R 上的函数

f (x) ?

? ??|

1

,x ? 3

x?3|

,若关于 x 的方程 f2(x)

+af(x)

+b=O 有 5

??1, x ? 3

个不同实数解,则实数 a 的取值范围是(D )

A.(0,1) B.(- ? ,-1) C.(1,+ ? ) D. ( - ? ,—2) U ( —2,— 1)

12.已知函数 f (x) ? 4 与 g(x)=x3+t,若 f(x)与 g ( x ) 的交点在直线 y = x 的两侧,则实 x
数 t 的取值范围是( B )

A. (-6, 0]

B. ( -6,6)

C. (4,+ ?) D. ( -4,4)

13.“m<1”是“函数 f(x)=x2+2x+m 有零点”的(A )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

14.设函数 f(x)=1x,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0),若 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图

象有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是(D ) A.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2<0 B.当 a<0 时,x1+x2>0,y1+y2>0 C.当 a>0 时,x1+x2>0,y1+y2<0 D.当 a>0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 15.设函数 f(x)(x? R)满足 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当 x? [0,1]时,

f(x)=x2,又函数 g(x)=|xcos(? x)|,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在[? 1 , 3] 22
上的零点个数为(B )

A、5 B、6 C、7 D、8

16.(2013 年重庆)若 a ? b ? c ,则函数 f ?x? ? ?x ? a??x ?b? ??x ?b??x ?c? ? ?x ?c??x ? a?

的两个零点分别位于区间( )

A. ?a,b?和 ?b,c?内

B. ???, a? 和 ?a,b?内

C. ?b,c?和 ?c, ??? 内
【答案】A

D. ???, a? 和 ?c, ??? 内

8

17.(2013 年湖南)函数 f ? x? ? 2ln x 的图像与函数 g ? x? ? x2 ? 4x ? 5的图像的交点个数

为( )

A.3

B.2

C.1

D.0

【答案】B

18.(2013 年天津数学)函数 f (x) ? 2x | log0.5 x | ?1 的零点个数为( )

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

【答案】B

19.(2013

上海)方程

3 3x ?1

?

1 3

?

3x?1

的实数解为________

【答案】 x ? log3 4 .

20.(2012 辽宁 11)设函数 f(x) (x ? R) 满足 f( ?x )=f(x),f(x)=f(2 ? x),且当 x ?[0,1] 时,

f(x)=x3.又函数 g(x)=|xcos (? x) |,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在[? 1 , 3] 上的零点个数为( ) 22

(A)5

(B)6

(C)7

(D)8

【答案】B

21.(2012 湖北 9)函数 f (x) ? x cos x2 在区间[0, 4] 上的零点个数为( )

A.4

B.5

C.6

【答案】C

D.7

x2 ?1

22.(2012 天津 14)已知函数 y ?

的图象与函数 y ? kx ? 2 的图象恰有两个交点,则

x ?1

实数 k 的取值范围是_________.
【答案】 0 ? k ? 1或1 ? k ? 4

23、已知 f (x) ? ln x ? x ? 2 ,g(x) ? x ln x ? x ? 2 在 ?1, ??? 上都有且只有一个零点,f (x)

的零点为 x1 , g(x) 的零点为 x2 ,则( A )
A.1 ? x2 ? x1 ? 2 B.1 ? x1 ? x2 ? 2 C.1 ? x1 ? 2 ? x2 D. 2 ? x2 ? x1
24.(2012 江苏 17)如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面, 单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ? 1 (1? k2 )x2 (k ? 0) 表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地
20 点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超 过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.

9

【答案】解:(1)在 y ? kx ? 1 (1? k2 )x2 (k ? 0) 中,令 y ? 0 ,得 kx ? 1 (1? k 2 )x2 =0 。

20

20

由实际意义和题设条件知 x >0,k >0 。



x=

20k 1? k2

=

20 1 ?k

?

20 2

=10

,当且仅当 k=1时取等号。

k

∴炮的最大射程是 10 千米。

(2)∵ a >0 ,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 ,使 ka ? 1 (1? k2 )a2 =3.2 成立,即关 20
于 k 的方程 a2k2 ? 20ak ? a2 ? 64=0 有正根。

? ? 由 ?=??20a?2 ? 4a2 a2 ? 64 ? 0 得a ? 6 。

? ? 20a ? ??20a?2 ? 4a2 a2 ? 64

此时, k=

2a2

> 0 (不考虑另一根)。

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标。

25.用“二分法”求方程 x3 ? 2x ? 5 ? 0 在区间[2,3] 的实数根,取区间中点为 x0 ? 2.5 ,

那么下一个有根的区间是

;[2,2.5]

26.用二分法求图象是连续不断的函数 y ? f (x) 在 x ? (1,2) 内零点近似值的过程中得到

f (1) ? 0 , f (1.5) ? 0 , f (1.25) ? 0 ,则函数的零点落在区间( B )

A.(1,1.25)

B.(1.25,1.5)

C.(1.5,2)

D.无法确定

27.已知函数 f (x) 在区间 (0, a) (a ? 0) 上有唯一的零点,在用二分法寻找零点的过程中,

依次确定了零点所在的区间为 (0, a ) , (0, a ) , (0, a ) ,则下列说法中正确的是( B )

2

4

8

A.函数 f (x) 在区间 (0, a ) 内一定有零点 16

B.函数 f (x) 在区间 (0, a ) 或 ( a , a ) 有, 16 16 8

或零点是 a 16

C.函数 f (x) 在区间 (0, a ) 内无零点 16

D.函数 f (x) 在区间 (0, a ) 或 ( a , a ) 有零 16 16 8



28.下列函数中能用二分法求零点的是( B )

y

y

y

y

O

x

O 10 x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

29.已知函数 f (x) 的图象是连续不断的,有如下的 x , f (x) 对应值表

x

1

2

3

4

5

6

f (x)

123.56

21.45

-7.82

11.57

-51.76

-126.49

函数 f (x) 在区间[1,6]上的零点至少有( B )

A.2

B.3 个

C.4 个

D.5 个

30.如果函数 f (x) ? x3 ? x2 ? 2x ? 2 的一个正零点附近的函数值用二分法计算,起参考数

据如下

x

1

1.5

1.25

1.375

1.4375 1.40625

f (x)

2

0.625

-0.984

-0.260

0.162

-0.054

则方程 x3 ? x2 ? 2x ? 2 ? 0 的一个近似解(精确到 0.1)为 C
A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5
31. 求方程 f (x) ? 0 在区间 ?0,1? 内的近似根, 用二分法计算到 x10 ? 0.445 到达精确度要

求,那么所取误差? 是__C__

A、0.05

B、0.005 C、0.0005 D、0.00005

32.若 x0 是方程 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间( D )

A.(0,1) B.(1,1.25) C.(1.25,1.75) D.(1.75,2)

33.已知方程 x ? 3 ? lg x ,下列说法正确的是( C )

A.方程 x ? 3 ? lg x 的解在 (0,1) 内

B.方程 x ? 3 ? lg x 的解在 (1,2) 内

C.方程 x ? 3 ? lg x 的解在 (2,3) 内

D.方程 x ? 3 ? lg x 的解在 (3,4) 内

34.若关于 x 的方程 3x2 ? 5x ? a ? 0 的一个根在 (?2,0) 内,另一根在 (1,3) 内,求 a 的取值

范围。( ?12 ? a ? 0 )
解:关于 x 的方程 3x2﹣5x+a=0 的一个根在(﹣2,0)内,另一个根在(1,3)内, 等价于函数 f(x)=3x2﹣5x+a 的图象与 x 轴的交点一个(﹣2,0)内,另一个在(1,3)
内, 又函数函数 f(x)=3x2﹣5x+a 的图象是开口向上的抛物线,要满足题意只需

11

,即

,解得﹣12<a<0,故 a 的取值范围是(﹣12,0)

故答案为:(﹣12,0)
35.(2007 湖北 19) 设二次函数 f (x) ? x 2 ? ax ? a, 方程 f (x) ? x ? 0 的两根 x1 和 x2 满
足 0 ? x1 ? x2 ? 1
(Ⅰ)求实数 a 的取值范围;
(Ⅱ)试比较 f (0) f (1) ? f (C)与 1 的大小,并说明理由. 15
解 :( Ⅰ ) 令 g ( x ) =f ( x ) ﹣ x=x2+ ( a ﹣ 1 ) x+a , 则 由 题 意 可 得



故所求实数 a 的取值范围是



(II)依题意可设 g(x) ? (x ? x1)(x ? x2 ) ,则由 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,得

f (0) f (1) ? f (0) ? g(0)g(1) ? x1x2 (1? x1)(1? x2) ? [x1(1? x1)][x2(1? x2)]

?

? ??

x1

?1? 2

x1

2
? ??

? ??

x2

?1? 2

x2

2
? ??

?

1 16

,故

f

(0)

f

(1)

?

f

(0)

?

1 16



12


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