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函数与方程复习讲义_图文

.函数与方程复习讲义
一. 【目标要求】
①结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系, ②判断一元二次方程根的存在性及根的个数. ③会理解函数零点存在性定理,会判断函数零点的存在性.

二. 【基础知识】 1.函数零点的概念:
对于函数 y ? f ( x) ,我们把方程 f ( x) ? 0 的实数根叫做函数 y ? f ( x) 的零点。

2.函数零点与方程根的关系:
方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x轴 有点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点

3.函数零点的存在性定理:
如 果 函 数 y ? f ( x ) 在 区 间 ? a, b ? 上 的 图 像 是 一 条 连 续 不 断 的 曲 线 , 并 且 有

f (a) f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 内有零点,即存在 x0 ? (a, b) ,使得

f ( x0 ) ? 0 ,这个 x0 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。
注:若 f ( x) ? 0或f ( x) ? 0 恒成立,则没有零点。

三. 【技巧平台】 1.对函数零点的理解及补充
(1)若 y ? f ( x) 在 x ? a 处其函数值为 0,即 f (a) ? 0 ,则称 a 为函数 f ( x) 的零点。 (2)变号零点与不变号零点 ①若函数 f ( x) 在零点 x0 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数 f ( x) 的变号零 点。 ②若函数 f ( x) 在零点 x0 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数 f ( x) 的不变号零 点。 ③若函数 f ( x) 在区间 ? a, b? 上的图像是一条连续的曲线,则 f (a) f (b) ? 0 是 f ( x) 在区 间 ? a, b ? 内有零点的充分不必要条件。 ( 3 )一般结论:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 的实数根。从图像上看,函数

y ? f ( x) 的零点,就是它图像与 x轴 交点的横坐标。
(4)更一般的结论:函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? g ( x) 的实数根,也 就是函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像交点的横坐标。
1

2.函数 y ? f ( x) 零点个数(或方程 f ( x) ? 0 实数根的个数)确定方法
1) 代数法:函数 y ? f ( x) 的零点 ? f ( x) ? 0 的根 2) 几何法:有些不容易直接求出的函数 y ? f ( x) 的零点或方程 f ( x) ? 0 的根,可利用

y ? f ( x) 的图像和性质找出零点。画
3) 注意二次函数的零点个数问题

? ?0 ?y ? f ( x) 有 2 个零点 ? f ( x) ? 0 有两个不等实根 ? ?0 ?y ? f ( x) 有 1 个零点 ? f ( x) ? 0 有两个相等实根
? ?0 ?y ? f ( x) 无零点 ? f ( x) ? 0 无实根
对于二次函数在区间 ? a, b? 上的零点个数,要结合图像进行确定 4) 对于函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的零点个数问题, 可画出两个函数图像, 看其交点个数有 几个,则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。 5) 方程的根或函数零点的存在性问题,要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定, 但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性, 在给定的区间上, 如果函 数是单调的,它至多有一个零点,如果不是单调的,可继续细分出小的单调区间,再结 合这些小的区间的端点处的函数值的正负,作出正确的判断。 6) 要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。

3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关 系。

2

为学习的方便,在解一元二次不等式和一元二次方程时,把二次项系数 a 化为正数, (1)ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 恒成立 ? ?

?a ? 0 ?a ? 0 ,ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 恒成立 ? ? ?? ? 0 ?? ? 0

(2) ax ? bx ? c ? 0 的解集为 R ? ?
2

?a ? 0 ?a ? b ? 0 或? ?? ? 0 ?c ? 0

?a ? 0 ?a ? b ? 0 2 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 R ? ? 或? ?? ? 0 ?c ? 0
(3)对于二次函数在区间 ? a, b? 上的最值问题,参照第 1.5(1)和 1.5(2)节

4.用二分法求方程的近似解
㈠给定精确度 ? ,用二分法求方程的近似解的基本步骤如下: 1.精确区间 ? a, b? ? D ,使 f (a) ? f (b ? 0) .令 a0 ? a, b0 ? b . 2.取区间 ? a0 , b0 ? 的中点 x0 ?

1 (a0 ? b0 ) ,计算 f ( x0 ), f (a0 ), f (b0 ) 一般步骤 2

(1)如果 f ( x0 ) ? 0 ,则 x0 就是 f ( x ) 的零点, 计算终止; (2) 如果 f (a0 ) f ( x0 ) ? 0 ,则零点位于区间 ? a0 , x0 ? ,令 a1 ? a0 , b1 ? x0 ; (3) 如果 f (a0 ) f ( x0 ) ? 0 ,则零点位于区间 ? x0 , b0 ? 令 a1 ? x0 , b1 ? b0 。 3. 取区间 ? a1 , b1 ? 的中点 x1 ?

1 ( a1 ? b1 ) ,计算 f ( x1 ) 2

(1)如果 f ( x1 ) ? 0 ,则 x0 就是 f ( x ) 的零点, 计算终止; (2) 如果 f (a1 ) f ( x1 ) ? 0 ,则零点位于区间 ? a0 , x0 ? ,令 a2 ? a1 , b2 ? x1 ; (3) 如果 f (a1 ) f ( x1 ) ? 0 ,则零点位于区间 ? x0 , b0 ? 令 a1 ? x1 , b2 ? b1 。 ?? 4.判断是不是达到精确度 ? ,即如果 a ? b ? ? ,则得到零点近似值 a 或(b); 否则就重复 步骤 2-4

函数与方程复习题
1.(2015 安徽 2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( (A) y ? cos x 【答案】A )
2

(B) y ? sin x (C) y ? ln x (D) y ? x ? 1

3

2.( 2015 天津 8) 已知函数 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ? , x ? 2,
2

函数 g ? x ? ? b ? f ? 2 ? x ? ,其中

b ? R ,若函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是(
(A) ?

)

?7 ? , ?? ? ?4 ?

(B) ? ??, ?

? ?

7? 4?

(C) ? 0,

? ?

7? ? 4?

(D) ?

?7 ? ,2? ?4 ?

【答案】D【解析】由 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ? , x ? 2,
2

得 f (2 ? x ) ? ?

? ?2 ? 2 ? x , x ? 0 , 2 x?0 ? ?x ,

?2 ? x ? x 2 , x?0 ? 0 ? x ? 2, 所以 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? ?4 ? x ? 2 ? x , ? 2 ?2 ? 2 ? x ? ( x ? 2) , x ? 2
? x 2 ? x ? 2, x ? 0 ? 即 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? ?2, 0? x?2 ? x 2 ? 5 x ? 8, x ? 2 ?
y ? f ( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? b ,所以 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点等价于方程 f ( x ) ? f (2 ? x ) ? b ? 0 有 4 个不同的解,即函数 y ? b 与函数 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) 的图
象的 4 个公共点,由图象可知

7 ? b ? 2. 4
8 6 4 2

15

10

5 2 4 6 8

5

10

15

【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合. 3.(2015 湖南 15)已知 f ( x) ? ?

? x3 , x ? a
2 ?x , x ? a

,若存在实数 b ,使函数 g ( x) ? f ( x) ? b 有两个零

4

点,则 a 的取值范围是 【答案】 (??,0) ? (1,??) .

.

【解析】试题分析:分析题意可知,问题等价于方程 x ? b( x ? a ) 与方程 x ? b( x ? a ) 的
3 2

? 1 3 ?b ? a ? 根的个数和为 2 ,若两个方程各有一个根:则可知关于 b 的不等式组 ? b ? a 有解, ? ?? b ? a ?
∴ a 2 ? b ? a 3 ,从而 a ? 1 ;若方程 x ? b( x ? a ) 无解,方程 x ? b( x ? a ) 有 2 个根:则
3 2

? 1 ?b 3 ? a 可知关于 b 的不等式组 ? 有解,从而 a ? 0 ,综上,实数 a 的取值范围是 ? ?? b ? a
(??,0) ? (1,??) .
? 2x ? a ? x ? 1? ? 4.(2015 北京 14)设函数 f ? x ? ? ? ? ?4 ? x ? a ?? x ? 2a ? ? x ≥ 1.
①若 a ? 1 ,则 f ? x ? 的最小值为 ; .

②若 f ? x ? 恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是

【答案】(1)1,(2)

1 ? a ? 1或a ? 2 . 2

? 2x ? 1 ? x ? 1? ? 【解析】① a ? 1 时, f ? x ? ? ? ,函数 f (x )在(??,1)上为增函数, ? ?4 ? x ? 1?? x ? 2 ? ? x ≥ 1.
函数值大于 1,在[1, ]为减函数,在[ , ??)为增函数,当 x ? 为 1; (2)①若函数 g(x ) ? 2 ? a 在 x ? 1 时与 x 轴有一个交点,则 a ? 0 ,并且当 x ? 1
x

3 2

3 2

3 时, f (x )取得最小值 2

时, g(1) ? 2 ? a >0 ,则 0 ? a ? 2 ,函数 h(x ) ? 4(x ? a )(x ? 2a )与 x 轴有一个 交点,所以 2a ? 1且a ? 1 ?

1 ? a ? 1; 2

5

②若函数 g(x ) ? 2 ? a 与 x 轴有无交点,则函数 h(x ) ? 4(x ? a )(x ? 2a )与 x 轴有
x

两个交点,当 a ? 0 时 g(x )与 x 轴有无交点,h(x ) ? 4(x ? a )(x ? 2a )在 x ? 1 与 x 轴有无交点, 不合题意; 当 h(1) ? 2 ? a ? 0 时, h(x )与 x 轴有两个交点, a ? 2, x ? a 和 x ? 2a , 由于 a ? 2 , 两交点横坐标均满足 x ? 1 ; 综上所述 a 的取值范围 或a ? 2 . 5.(2015 江苏 13)已知函数 f ( x) ?| ln x | , g ( x) ? ?

1 ? a ? 1 2

? 0,0 ? x ? 1 ,则方程 2 ?| x ? 4 | ?2, x ? 1

| f ( x) ? g ( x) |? 1 实根的个数为
【答案】4【解析】由题意得:求函数 y ? f ( x) 与 y ? 1 ? g ( x) 交点个数以及函数 y ? f ( x) 与
? 1, 0 ? x ? 1 ? y ? 1 ? g ( x) ? ? 7 ? x 2 , x ? 2 ? x 2 ? 1,1 ? x ? 2 y ? ?1 ? g ( x) 交点个数之和,因为 ? ,所以函数 y ? f ( x) 与 ? ?1, 0 ? x ? 1 ? y ? ?1 ? g ( x) ? ? 5 ? x 2 , x ? 2 ? x 2 ? 3,1 ? x ? 2 y ? 1 ? g ( x) 有两个交点,又 ? ,所以函数 y ? f ( x) 与

y ? ?1 ? g ( x) 有两个交点,因此共有 4 个交点

6.(2014 山东 08)已知函数 f ?x? ? x ? 2 ? 1 g ? x ? ? kx .若方程 f , 等的实根,则实数 k 的取值范围是

?x ? ? g ?x ? 有两个不相

(1, 2) (2, ? ?) (A) (B) (C) (D) (0, ) ( , 1)
画出 f ? x ? 的图象最低点是 ? 2,1? , g ? x ? ? kx 过原点和 ? 2,1? 时斜率最 【答案】B【解析】

1 2

1 2

1 ,斜率最大时 g ? x ? 的斜率与 f ? x ? ? x ?1的斜率一致。 2 2 7.(2014 天津 14)已知函数 f ( x) ?| x ? 3x | , x ? R .若方程 f ( x) ? a | x ? 1|? 0 恰有 4 个 互异的实数根,则实数 a 的取值范围为_____________. 【答案】 0 < a < 1 或 a > 9 .
小为 【解析】在同一坐标系内分别作出 y=f(x)与 y=a|x-1|的图像如图所示.当 y=a|x-1|

6

?-ax+a=-x -3x, ? 2 与 y=f(x)的图像相切时,由? 整理得 x +(3-a)x+a=0,则 ? ?a>0,

2

Δ =(3-a)2-4a=a2-10a+9=0,解得 a=1 或 a=9.故当 y=a|x-1|与 y=f(x) 的图像有四个交点时,0<a<1 或 a>9.

8.(2014 江 苏 13 ) 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 3 的 函 数 , 当 x[0,3) 时 ,

f ( x) ?| x 2 ? 2 x ?
取值范围是 .

1 | y ? f ( x) ? a 在区间 [?3,4] 上有 10 个零点(互不相同) ,则实数 a 的 2

( 0, ) 【答案】 【解析】 根据题目条件, 零点问题即转化为数形结合, 通过找 y ? f ( x) 与 y ? a
2 的图象交点去推出零点,先画出[0,3]上 y ? x ? 2 x ?

1 2

1 的图像,再将 x 轴下方的图象对称 2

到上方,利用周期为 3,将图象平移至 [?3,4] ,发现若 f ( x ) 图象要与 y ? a 有 10 个不同的 交点,则 a ? (0, ) 9. 已经函数 f ( x) ? ( A.1

1 2

1 ) x ? sin x, a ? R , 则 f ( x ) 在[0, 2 ? ]上的零点个数为 ( B ) a ? 2a ? 3
2

B.2

C.3

D.4

10.下列函数中,在 (0, A. f ( x) ? sin x ? x C. f ( x) ? sin x ? x
2

?
2

) 上有零点的函数是( D )
B. f ( x ) ? sin x ?
2

2

?

x x

D. f ( x) ? sin x ?

2

?

? 1 ,x ? 3 ? 11. 设定义在 R 上的函数 f ( x) ? ?| x ? 3 | ,若关于 x 的方程 f2(x) +af(x) +b=O 有 5 ?1, x ? 3 ?
个不同实数解,则实数 a 的取值范围是(D ) A.(0,1) B.(- ? ,-1) C.(1,+ ? ) D. ( - ? ,—2) U ( —2,— 1)

7

12.已知函数 f ( x) ?

4 3 与 g(x)=x +t,若 f(x)与 g ( x ) 的交点在直线 y = x 的两侧,则实 x
D. ( -4,4)

数 t 的取值范围是( B ) A. (-6, 0] B. ( -6,6) C. (4,+ ?) 2 13.“m<1”是“函数 f(x)=x +2x+m 有零点”的(A ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

1 2 14.设函数 f(x)= ,g(x)=ax +bx(a,b∈R,a≠0) ,若 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图

x

象有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是(D ) A.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2<0 B.当 a<0 时,x1+x2>0,y1+y2>0 C.当 a>0 时,x1+x2>0,y1+y2<0 D.当 a>0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 15.设函数 f(x) (x ? R)满足 f(-x)=f(x) ,f(x)=f(2-x) ,且当 x ? [0,1]时, f(x)=x2,又函数 g(x)=|xcos( ? x)|,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在 [ ? 上的零点个数为(B ) A、5 B、6 C、7

1 3 , ] 2 2

D、8

16. (2013 年重庆) 若 a ? b ? c ,则函数 f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b? ? ? x ? b?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? 的两个零点分别位于区间( A. ? a, b ? 和 ? b, c ? 内 C. ? b, c ? 和 ? c, ??? 内 【答案】A 17. (2013 年湖南)函数 f ? x ? ? 2ln x 的图像与函数 g ? x ? ? x ? 4x ? 5 的图像的交点个数
2

) B. ? ??, a ? 和 ? a, b ? 内 D. ? ??, a ? 和 ? c, ??? 内

为( ) A.3 【答案】B

B.2

C.1

D.0

18. (2013 年天津数学)函数 f ( x) ? 2x | log0.5 x | ?1 的零点个数为( ) (A) 1 (B) 2 【答案】B 19. (2013 上海)方程 【答案】 x ? log3 4 . 20.(2012 辽宁 11)设函数 f(x) ( x ? R ) 满足 f( ?x )=f(x), f(x)=f(2 ? x), 且当 x ? [0,1] 时,
x

(C) 3

(D) 4

3 1 ? ? 3x ?1 的实数解为________ 3 ?1 3

f(x)=x3.又函数 g(x)=|xcos (? x) |, 则函数 h(x)=g(x)-f(x)在 [? , ] 上的零点个数为 ( )
(A)5 【答案】B (B)6 (C)7 (D)8

1 3 2 2

8

21.(2012 湖北 9)函数 f ( x) ? x cos x 2 在区间 [0, 4] 上的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 22.(2012 天津 14)已知函数 y ? 实数 k 的取值范围是_________. 【答案】 0 ? k ? 1 或 1 ? k ? 4 23、 已知 f ( x) ? ln x ? x ? 2 ,g ( x) ? x ln x ? x ? 2 在 ?1, ?? ? 上都有且只有一个零点,f ( x ) 的零点为 x1 , g ( x) 的零点为 x2 ,则( A ) A. 1 ? x2 ? x1 ? 2 B. 1 ? x1 ? x2 ? 2 C. 1 ? x1 ? 2 ? x2 D. 2 ? x2 ? x1

x2 ?1 x ?1

的图象与函数 y ? kx ? 2 的图象恰有两个交点,则

24.(2012 江苏 17)如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面, 单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程

y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地 20

点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超 过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.

【答案】解: (1)在 y ? kx ?

1 1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 中,令 y ? 0 ,得 kx ? (1 ? k 2 ) x2 =0 。 20 20

由实际意义和题设条件知 x > 0,k > 0 。

20k 20 20 = ? =10 ,当且仅当 k =1 时取等号。 2 1 1? k ?k 2 k ∴炮的最大射程是 10 千米。
∴ x= (2)∵ a > 0 ,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 ,使 ka ? 于 k 的方程 a 2 k 2 ? 20ak ? a 2 ? 64=0 有正根。 由 ?= ? ?20a ? ? 4a 2 a 2 ? 64 ? 0 得 a ? 6 。
2

1 (1 ? k 2 )a2 =3.2 成立,即关 20

?

?

此时, k =

20a ?

? ?20a ?

2

? 4a 2 ? a 2 ? 64 ?

2a 2

。 > 0 (不考虑另一根)

9

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标。 25.用“二分法”求方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 [2,3] 的实数根,取区间中点为 x0 ? 2.5 ,
3

那么下一个有根的区间是

;[2,2.5]

26 .用二分法求图象是连续不断的函数 y ? f ( x) 在 x ? (1,2) 内零点近似值的过程中得到

f (1) ? 0 , f (1.5) ? 0 , f (1.25) ? 0 ,则函数的零点落在区间( B )
A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5,2) D.无法确定

27.已知函数 f ( x) 在区间 (0, a ) ( a ? 0) 上有唯一的零点,在用二分法寻找零点的过程中, 依次确定了零点所在的区间为 (0, ) , (0, ) , (0, ) ,则下列说法中正确的是( B ) A.函数 f ( x) 在区间 (0, 或零点是

a 2

a 4

a 8

a ) 内一定有零点 16

B.函数 f ( x) 在区间 (0,

a a a ) 或 ( , ) 有, 16 16 8

a 16
a ) 内无零点 16
D.函数 f ( x) 在区间 (0,

C.函数 f ( x) 在区间 (0,

a a a ) 或 ( , ) 有零 16 16 8

点 28.下列函数中能用二分法求零点的是( B )

y

y
B.

y

y
D.

A.

O

x

O

x

C.

O

x

O

x

29.已知函数 f ( x) 的图象是连续不断的,有如下的 x , f ( x) 对应值表

x
f ( x)

1 123.56

2 21.45

3 -7.82

4 11.57

5 -51.76

6 -126.49

函数 f ( x) 在区间[1,6]上的零点至少有( B ) A.2 B.3 个
3 2

C.4 个

D.5 个

30.如果函数 f ( x) ? x ? x ? 2 x ? 2 的一个正零点附近的函数值用二分法计算,起参考数 据如下

x
f ( x)
3 2

1 2

1.5 0.625

1.25 -0.984

1.375 -0.260

1.4375 0.162

1.40625 -0.054

则方程 x ? x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似解(精确到 0.1)为 A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5

C

10

31. 求方程 f ( x) ? 0 在区间 ?0,1? 内的近似根, 用二分法计算到 x10 ? 0.445 到达精确度要 求,那么所取误差 ? 是__C__ A、0.05 B、0.005 C、0.0005 D、0.00005 ) D. (1.75,2)

32.若 x0 是方程 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间( D A. (0,1) B. (1,1.25) C. (1.25,1.75)

33.已知方程 x ? 3 ? lg x ,下列说法正确的是( C ) A.方程 x ? 3 ? lg x 的解在 (0,1) 内 C.方程 x ? 3 ? lg x 的解在 (2,3) 内
2

B.方程 x ? 3 ? lg x 的解在 (1,2) 内 D.方程 x ? 3 ? lg x 的解在 (3,4) 内

34.若关于 x 的方程 3x ? 5x ? a ? 0 的一个根在 (?2,0) 内,另一根在 (1,3) 内,求 a 的取值 范围。( ? 12 ? a ? 0 ) 2 解:关于 x 的方程 3x ﹣5x+a=0 的一个根在(﹣2,0)内,另一个根在(1,3)内, 2 等价于函数 f(x)=3x ﹣5x+a 的图象与 x 轴的交点一个(﹣2,0)内,另一个在(1,3) 内, 又函数函数 f(x)=3x ﹣5x+a 的图象是开口向上的抛物线,要满足题意只需
2

,即

,解得﹣12<a<0,故 a 的取值范围是(﹣12,0)

故答案为: (﹣12,0)
2 35.(2007 湖北 19) 设二次函数 f ( x) ? x ? ax ? a, 方程 f ( x) ? x ? 0 的两根 x1 和 x2 满

足 0 ? x1 ? x2 ? 1 (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)试比较 f (0) f (1) ? f (C) 与

1 的大小,并说明理由. 15
2

解 :( Ⅰ ) 令 g ( x ) =f ( x ) ﹣ x=x + ( a ﹣ 1 ) x+a , 则 由 题 意 可 得



故所求实数 a 的取值范围是



(II)依题意可设 g ( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ,则由 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,得
11

f (0) f (1) ? f (0) ? g (0) g (1) ? x1x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? [ x1 (1 ? x1 )][ x2 (1 ? x2 )]
1 1 ? x ? 1 ? x1 ? ? x2 ? 1 ? x2 ? ?? 1 ? ? ? ? ,故 f (0) f (1) ? f (0) ? 16 . 2 2 ? ? ? ? 16
2 2

12


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