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平面向量专题训练1

平面向量专题训练(1)
1.若 △ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,则 OC ? AB 的值为 (A) ?

1 5

(B)

1 5

(C) ?

6 5

(D)

6 5

2 . 设 O M? ( 1 ,

1 2

)O? ,N ?

?

0 , , O 1 为 坐 标 原 点 , 动 点 P( x, y) 满 足

0 ? O P? O M ? 1 , 0? O P ? ,则 O ? N 1z ? y ? x 的最大值是
A.

3 2

B.1

C.-1

D.-2

3 . 如 图 , ?ABC中 , GA ? GB ? GC ? O, CA ? a, CB ? b , 若

CP ? ma , CQ ? nb , CG ?
1 1 ? = m n
A.2 C.6 B.4 D.8

PQ ? , H CG ?2


, CH )



4.在 ?ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且 BC ? 3CD ,点 O 在线段 CD 上(与点 C、 D 不重合) ,若 AO ? xAB ? (1 ? x) AC, 则x 的取值范围 是 A. ? 0, ? ( )

? ?

1? 2?

B. ? 0, ?

? ?

1? 3?

C. ? ?

? 1 ? ,0? ? 2 ?

D. ? ? , 0 ? ( )

? 1 ? 3

? ?

5. 若非零向量 a 、 b 满足| a 一 b |=| b |,则 ① 向量 a 、 b 的夹角恒为锐角 ③ |2 b |>| a 一 2 b | ② 2 | b | >a .b
? 2

[来源:Zxxk.Com]

④ |2 a |<|2 a 一 b |

6.在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点, AM=3,点 P 在 AM 上且满足 AP ? 2PM ,则 PA? ( PB ? PC)


等于▲

.
Q

C

7.如图, PQ 是半径为 1 的圆 A 的直径, ABC 是边长 为 1 的正三角形,则 BP ? CQ 的最大值为( )

A P

B

A.

1 4

B.

1 2

C.

3 2

D. 1

8.在 ?ABC 中, ?A ? 90? , AB ? 1 ,设点 P, Q 满足 AP ? ? AB, AQ ? (1 ? ? ) AC, ? ? R .若

BQ ? CP ? ?2 ,则 ? ?
( A. )

1 3

B.

2 3

C.

4 3

D.2

9. (向量、创新)对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? ,定义 ? ? ? ?

? ?? ,若平面向量 a 、b 满 ? ??

?n ? ? ?? 足 a ? b ? 0 , a 与 b 的夹角 ? ? ? 0, ? , 且 a b 和 b a 都在集合 ? n ? Z ? 中 , 则 a b ? ? 4? ?2 ?
( A. )

1 2

B.1

C.

3 2

D.

5 2

10. ?ABC 中 , AB 边的高为 CD , 若 CB ? a ,

CA ? b , a ? b ? 0 , | a |? 1 , | b |? 2 , 则

AD ?



) B.

A. a ?

1 3

1 b 3

2 2 a? b 3 3

C.

3 3 a? b 5 5

D.

4 4 a? b 5 5

11.在知形 ABCD 中,边 AB、AD 的长分别为 2、1. 若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点,且满足

| BM | | CN | ,则 AM ? AN 的取值范围是_________ . ? | BC | | CD |
12.如图 4,在平行四边形 ABCD 中 ,AP⊥BD,垂足为 P, AP ? 3 且 AP
A P B C D

AC =_____.

13 . 已 知 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 1, 点 E 是 AB 边 上 的 动 点 , 则

DE ? CB 的 值 为

________; DE ? DC 的最大值为________.
14. )若平面向量 a, b 满足: 2a ? b ? 3 ;则 a

b 的最小值是 _____

15.已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 PA ? PB 的最小 值为( ) B. ?3 ? 2 C. ?4 ? 2 2 D. ?3 ? 2 2

A. ?4 ? 2

平面向量专题训练(1)
1.(浙江省台州中学 2012 届高三下 学期第二 次统练文科)若 △ABC 内接于以 O 为圆心, 1 为半径的圆,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,则 OC ? AB 的值为 (A) ? 【答案】A

1 5
科网]

(B)

1 5

(C) ?

6 5

(D)

6 5

2.(浙江省宁波市 2011 年高三“十校联考”文科)设 OM ? (1, ), ON ? ? 0,1? ,O 为坐标 原点,动点 P( x, y) 满足 0 ? OP ? OM ? 1,0 ? OP ? ON ? 1 ,则 z ? y ? x 的最大值是 ( A ) A.

1 2

3 2

B.1

C.-1

D.-2

3 . ( 浙江省宁波市 2 011 年高三“十校联考”文科 ) 如图,

?ABC中, GA ? GB ? GC ? O, CA ? a, CB ? b C ? P
1 1 ? = m n





则 Q , m a? C , Q ? n b ?, C G , 2 ?P ( C )

H

C G

C H

A.2 B.4 C.6 D.8 4.(浙江省金华十校 2011 年高三模拟考试文科)在 ?ABC 中, 点 D 在线段 BC 的延长线上,且 BC ? 3CD ,点 O 在线段 CD 上(与点 C、D 不重合) , 若 AO ? xAB ? (1 ? x) AC, 则x 的取值范围 是 A. ? 0, ? ( D )

? ?

1? 2?

B. ? 0, ?

? ?

1? 3?

C. ? ?

? 1 ? ,0? ? 2 ?

D. ? ? , 0 ?

? 1 ? 3

? ?

5. (浙江省 2010 届高三下学期三校联考文科)若非零向量 a 、b 满足| a 一 b |=| b |, 则 ① 向量 a 、 b 的夹角恒为锐角 ③ |2 b |>| a 一 2 b | ( A ) ② 2 | b | >a .b
? 2

[来源:Zxxk.Com]

④ |2 a |<|2 a 一 b |

6.(浙江省 2010 届高三下学期三校联考理科)在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,点 P 在 AM 上且满足 AP ? 2PM ,则 PA? ( PB ? PC) 等于▲


.-4

7.如图, PQ 是半径为 1 的圆 A 的直径, ABC 是边长
Q

C

为 1 的正三角形,则 BP ? CQ 的最大值为(B)
A B P

A.

1 4

B.

1 2

C.

3 2

D. 1

8. ( 2012

年 高 考 ) 在 ?ABC 中 , ?A ? 90? , AB ? 1 , 设 点 P, Q 满 足

AP ? ? AB, AQ ? (1? ?) AC, ? ? R .若 BQ ? CP ? ?2 ,则 ? ?
( A. )

1 3

B.

2 3

C.

4 3
, 则

D.2

8. 【 解 析 】 如 图 , 设

AB ? b, AC ? c

b ? 1, c ? 2, b ? c ? 0 , 又

BQ ? BA ? AQ ? ?b ? (1 ? ?)c , CP ? CA ? AP ? ?c ? ?b , 由 BQ ? CP ? ?2 得
[?b ? (1 ? ? )c] ? (?c ? ?b) ? (? ? 1) c ? ? b ? 4(? ? 1) ? ? ? ?2 ,即 3? ? 2, ? ?
2 2

2 ,选 B. 3
? ?? ,若平 ? ??

9.(2012 年高考)(向量、创新)对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? ,定义 ? ? ? ?

?n ? ? ?? b 满足 a ? b ? 0 , a 与 b 的夹角 ? ? ? 0, ? ,且 a b 和 b a 都在集合 ? n ? Z ? 中, 面向量 a 、 ? 4? ?2 ?
则a b ? A. ( )

1 2

B.1

C.

3 2

D.

5 2

9. 解析 :C. a b ?

b a ?b a k k kk ? cos? ? 1 , b a ? cos? ? 2 , 两式相乘 , 可得 cos2 ? ? 1 2 . b?b b a 2 2 4

kk 1 ? ?? 因为 ? ? ? 0, ? ,所以 k1 、 k 2 都是正整数,于是 ? cos2 ? ? 1 2 ? 1 ,即 2 ? k1k2 ? 4 ,所以 2 4 ? 4?
k1k2 ? 3 .而 a ? b ? 0 ,所以 k1 ? 3 , k2 ? 1 ,于是 a b ?
10. ( 2012 年 高 考 ) ?ABC 中 , AB 边 的 高 为 CD , 若

3 . 2

CB ? a , CA ? b , a ? b ? 0 ,

| a |? 1 , | b |? 2 ,则 AD ?
A. a ?
10.答案 D



) C.

1 3

1 b 3

B.

2 2 a? b 3 3

3 3 a? b 5 5

D.

4 4 a? b 5 5

【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角 形求解点 D 的位置的运用. 【解析】 由 a ? b ? 0 可得 ?ACB ? 90? ,故 AB ? 5 ,用等面积法求得 CD ?

2 5 ,所以 5

AD ?

4 4 4 4 4 5 ,故 AD ? AB ? (CB ? CA) ? a ? b ,故选答案 D 5 5 5 5 5

11.(2012 年高考)在知形 ABCD 中,边 AB、AD 的长分别为 2、1. 若 M、N 分别是边 BC、CD

上 的点,且满足

| BM | | CN | ,则 AM ? AN 的取值范围是_________ . ? | BC | | CD |

11. [解析] 如图建系,则 A(0,0),B(2,0),D(0,1),C(2,1).



| BM | | CN | ? ? t ?[0,1],则 | BM |? t , | CN |? 2t , | BC | | CD |

y D 1 A (O) N C M B
2

所以 M(2,t),N(2-2t,1),

x

故 AM ? AN =4-4t+t=4-3t=f(t),因为 t?[0,1],所以 f (t)递减, 所以( AM ? AN )max= f (0)=4,( AM ? AN )min= f (1)=1.
12 . ( 2012 年 高 考 ) 如 图 4, 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ,AP ⊥ BD, 垂 足 为 P, AP ? 3 且

AP AC =_____.
A P B C D

12. 【答案】18

【解析】设 AC

BD ? O ,则 AC ? 2( AB ? BO) , AP AC = AP 2( AB ? BO) ?
2

2 AP AB ? 2 AP BO ? 2 AP AB ? 2 AP( AP ? PB) ? 2 AP ? 18 .
13. (2012 年高考)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? CB 的值为

________; DE ? DC 的最大值为________.
13. 【答案】 1 ; 1

【 解 析 】 根 据 平 面 向 量 的 点 乘 公 式 DE? CB? DE ? DA ? |

DE | ?|

DA | cos ? ,可知


| DE | cos ? ? |DA |

,



DE ? CB ?| DA |2 ? 1 ; DE ? DC ?| DE | ? | DC | cos ? ?| DE | ? cos ? , 而 | DE | cos ? 就
是向量 DE 在 DC 边上的射影,要想让 DE ? DC 最大,即让射影最大,此时 E 点与 B 点 重合,射影为 | DC | ,所以长度为 1
14. (2012 年高考(安徽理) )若平面向量 a, b 满足: 2a ? b ? 3 ;则 a 14、 【解析】 a

b 的最小值是 _____

b 的最小值是 ?
2 2

9 8

2a ? b ? 3 ? 4a ? b ? 9 ? 4a b 4a ? b ? 4 a b ? ?4a b ? 9 ? 4a b ? ?4a b ? a b ? ?
2 2

9 8

15.(2010 全国卷 1 文数)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点, 那么 PA ? PB 的最小值为( A. ?4 ? 2 答案:D; 【解析 1 】如图所示:设 PA=PB= x ( x ? 0) , ∠ APO= ? , 则∠ APB= 2? ,PO= 1 ? x2 , sin ? ? B. ?3 ? 2 ) C. ?4 ? 2 2 D. ?3 ? 2 2

1 1 ? x2
=



PA ? PB ?| PA | ? | PB | cos 2?

x2 (1 ? 2sin 2 ? )

=

x 2 ( x 2 ? 1) x 4 ? x 2 x4 ? x2 2 y ? = ,令 ,则 ,即 x4 ? (1 ? y) x2 ? y ? 0 ,由 x PA ? PB ? y 2 2 2 x ?1 x ?1 x ?1
是实数,所以

? ? [?(1 ? y)]2 ? 4 ?1? (? y) ? 0 , y 2 ? 6 y ? 1 ? 0 , 解 得 y ? ?3 ? 2 2 或

y ? ?3 ? 2 2 .故 (PA ? PB)min ? ?3 ? 2 2 .此时 x ?

2 ?1 .
2

?? ? PA ? PB ? ? PA?? PB ? cos ? ? ?1/ tan ? cos ? 【解析 2】设 ?APB ? ? ,0 ? ? ? ? , 2? ?

? ?? ?? ? 1 ? sin 2 ??1 ? 2sin 2 ? ? 2 ?? 2? 2? 2 ? ?1 ? 2sin 2 ? ? ? ? ,0 ?x? 1 换元: x ? sin , ? ? ? ? ? 2 2 2 2 ? ? sin sin 2 2
cos 2

?

PA ? PB ?

?1 ? x ??1 ? 2 x ? ? 2 x ? 1 ? 3 ? 2
x x

2 ?3

【解析 3】建系:园的方程为 x 2 ? y 2 ? 1,设 A( x1 , y1 ), B( x1 , ? y1 ), P( x0 ,0) ,
2 PA ? PB ? ? x1 ? x0 , y1 ? ? ? x1 ? x0 , ? y1 ? ? x12 ? 2x1x0 ? x0 ? y12

AO ? PA ? ? x1, y1 ? ? ? x1 ? x0 , y1 ? ? 0 ? x12 ? x1x0 ? y12 ? 0 ? x1x0 ? 1
2 2 2 PA ? PB ? x12 ? 2 x1 x0 ? x0 ? y12 ? x12 ? 2 ? x0 ? ?1 ? x12 ? ? 2 x12 ? x0 ?3? 2 2 ?3


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