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内蒙古包头市第四中学2018_2019届高二数学上学期期中试题理

包头四中 2018-2019 学年度第一学期期中考试 高二年级理科数学试题

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。每小题只有一个正确选项) 1.已知集合 M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各选一个数作为点的坐标,则这样 的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内不同点的个数为( A. 18 个 B. 10 个 C. 16 个 D. 14 个 )

2. 如图所示的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法, 若输入以 m ? 91, n ? 56 , 则输出 m 的值为( )

A. 0

B. 3

C. 7

D. 14

2 2 3.圆 C : x ? y ? mx ? 4 ? 0 上存在两点关于直线 x ? y ? 3 ? 0 对称,则实数 m 的值为(



A. 6

B. -4

C. 8

D. 无法确定

4. A,B 两名同学在 5 次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示,若 A,B 两人的平均成绩分 别是 X A , X B ,观察茎叶图,下列结论正确的是

A. X A ? X B ,A 比 B 成绩稳定 C. X A ? X B ,A 比 B 成绩稳定

B. X A ? X B ,B 比 A 成绩稳定 D. X A ? X B ,B 比 A 成绩稳定

1

5.对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数的比较,正确的是

A. C.

B. D.

6.如图,一环形花坛分成 A, B, C , D 四块,现有 3 种不同的花供选种,要求在每块里种一种花,且 相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为( )

A. 12

B. 24

C. 18

D. 6

7.总体有编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成。利用下面的随机数表选取 6 个个体,选取方法 是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第 6 个个 体的编号为( 7816 3204 A. 14 6572 9234 ) 0802 4935 B. 07 6314 8200 0702 3623 C. 04 4369 4869 9728 6938 0198 7481

D. 01 )

8.将 5 本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人至少一本至多两本,则不同的分法种数是( A. 60
2

B. 90
2

C. 120

D. 180
2 2

9.圆 C1: x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 和圆 C2: x ? y ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的公切线的条数为(


2

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

10. 《红海行动》是一部现代海军题材影片,该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务 的故事.撤侨过程中,海军舰长要求队员们依次完成六项任务,并对任务的顺序提出了如下要求: 重点任务 A 必须排在前三位, 且任务 E 、F 必须排在一起, 则这六项任务的不同安排方案共有 ( A. 240 种 B. 188 种 C. 156 种 D. 120 种 )

11.我们可以利用计算机随机模拟方法计算 y ? x2 与 y ? 4 所围成的区域 ? 的面积. 先利用计算机 产 生 两 个 在 区 间 0,1 内 的 均 匀 随 机 数 a1 ? RAND, b1 ? RAND , 然 后 进 行 平 移 与 伸 缩 变 换

? ?

a ? 4a1 ? 2, b ? 4b1 ,已知试验进行了 100 次,前 98 次中落在所求面积区域内的样本点数为 65 ,最
后两次试验的随机数为 a1 ? 0.3, b1 ? 0.8 及 a1 ? 0.4, b1 ? 0.3 ,则本次随机模拟得出 ? 的面积的近 似值为 A. 10.4 B. 10.56 C. 10.61 D. 10.72 )

2 12.已知直线 l:y=x+m 与曲线 x ? 1 ? y 有两个公共点,则实数 m 的取值范围是(

A. [-1,

2 ) B. (- 2 ,- 1]

C. [1,

2 ) D. (- 2 ,1]

二、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 13.将 400 名学生随机地编号为 1~400,现决定用系统抽样方法从 400 名学生中抽取容量为 20 的样 本,按编号顺序平均分为 20 个组(1~20 号,21~40 号,…,381~400 号) .若第 1 组中用抽签的 方法确定抽出的号码为 11,则第 3 组抽取的号码为_______. 14.圆 x ? y ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? 3x ? 9 y ? 2 ? 0 的公共弦所在直线方程为__________.
2 2 2 2

15.欧阳修的《卖油翁》中写道:“(翁)乃取一葫芦,置于地,以钱覆其口,徐 以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.”可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让 人叹为观止.已知铜钱是直径为 3 cm 的圆,中间有边长为 1 cm 的正方形孔,若 随机向铜钱上滴一滴油 ( 油滴的直径忽略不计 ) ,则油正好落入孔中的概率是 ________.
2 2 16 . 若 过 点 P( 2, 3)作 圆 M : x ? 2 x ? y ? 0 的 切 线 l , 则 直 线 l 的 方 程 为

_______________. 三、解答题(17 题 10 分,其他每题 12 分,共 70 分) 17.(10 分)共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车
3

共享服务, 由于其依托 “互联网 ”, 符合“低碳出行”的理念, 已越来越多地引起了人们的关注. 某部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了 100 人就该城市共享单车的推行情况进行问卷 调查,并将问卷中的这 100 人根据其满意度评分值(百分制)按照 成 5 组,制成如图所示频率分直方图. , , , 分

(1)求图中 x 的值; (2)求这组数据的平均数和中位数;

2? ? 18.(12 分)已知 ? x ? 2 ? ? n ? N ? ? 的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为 36. x ? ?
(1)求 n 的值; (2)求展开式中含 x 的项及展开式中二项式系数最大的项.
3 2

n

19.(12 分)某大学为了更好提升学校文化品位,发挥校园文化的教育功能特举办了校园文化建设方 案征集大赛,经评委会初评,有两个优秀方案入选.为了更好充分体现师生的主人翁意识,组委会邀 请了 100 名师生代表对这两个方案进行登记评价(登记从高到低依次为 A、B、C、D、E ) ,评价 结果对应的人数统计如下表:

等级 编号

A
1 号方案 15

B
35

C

D
b

E
10

a

4

2 号方案

7

33

20

2b

c

(1)若按分层抽样从对 1 号方案进行评价的 100 名师生中抽取样本进行调查,其中 C 等级层抽取 3 人, D 等级层抽取 1 人,求 a、b、c 的值; (2)在(1)的条件下,若从对 2 个方案的评价为 C、D 的评价表中各抽取 10% 进行数据分析,再 从中选取 2 份进行详细研究,求选出的 2 份评价表中至少有 1 份评价为 D 的概率.

20.(12 分)已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 7 ? 0 内一点 P( ?1, 2) ,直线 l 过点 P 且与圆 C 交于 A , B 两 点. (1)若直线 l 的斜率为 3 ,求弦 AB 的长; (2)若圆上恰有三点到直线 l 的距离等于 2 ,求直线 l 的方程.

21.(12 分)《中华人民共和国道路交通安全法》第 47 条的相关规定:机动车行经人行道时,应当 减速慢行;遇行人正在通过人行道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”, 《中华人民共和国道路 交通安全法》第 90 条规定:对不礼让行人的驾驶员处以扣 3 分,罚款 50 元的处罚.下表是某市一主 干路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据: 月份 违章驾驶员人数 1 120 2 105
?

3 100

4 90
?

5 85

(1)请利用所给数据求违章人数 y 与月份 x 之间的回归直线方程 (2)预测该路口 9 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.

y ?bx?a;

?

参考公式:

b?

?

?x y
i ?1 n i i ?1

n

i

? nx y
2

? xi 2 ? nx
i

?

? ( x ? x )( y
i ?1 i n i ?1

n

i

? y)
,

? ( xi ? x )2

a ? y ?bx

?

?

.

参考数据:

?x y
i ?1 i

n

? 1415 .
5

22.(12 分)已知圆 M 过两点 A(1, ?1), B( ?1,1) ,且圆心 M 在 x ? y ? 2 ? 0 上. (1)求圆 M 的方程; (2)设 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点, PC、PD 是圆 M 的两条切线, C、D 为切点,求四 边形 PCMD 面积的最小值. 高二期中考试理科数学参考答案 1.B 【详解】第三、四象限内点的纵坐标为负值,横坐标无限制 分两种情况讨论, 第一种:取 中的点作横坐标,取 中的点作纵坐标,共有 第二种:取 中的点作横坐标,取 中的点作纵坐标,共有 综上所述共有 故选 2.C 【解析】本程序是求输入两数的最大公约数,而 91 与 56 的最大公约数是 7,所以输出为 7. 故选 C. 3.A 种 种 种

【详解】

圆上存在两点关于直线

对称,

直线

过圆心



从而 故选:A. 4.D

,即

.

【详解】 的成绩为

, 的平均数为

的成绩为

的平均数为

6

从茎叶图上看出 的数据比 的数据集中, 比 成绩稳定 5.A 【解析】图 1 和图 3 是正相关,相关系数大于 0,图 2 和图 4 是负相关,相关系数小于 0, 图 1 和图 2 的点相对更加集中,所以相关性要强,所以 r1 接近于 1,r2 接近于-1, 由此可得 故选:A. 6.C
2 2 【解析】四块地种两种不同的花共有 C3 A2 ? 6 种不同的种植方法,四块地种三种不同的花共有 3 2 A3 ? 12 种不同的种植方法,所以共有 6 ? 12 ? 18 种不同的种植方法,故选 C.



7.C 【 解 析 】 先 从 65 开 始 , 每 两 个 数 字 为 一 个 数 依 次 取 出 编 号 为 01,02,…,19,20 的 数 为 : 08,02,14,07,01,04.所以第 6 个个体的编号为 04.故选 C 8.B 【解析】根据题意,分 步进行分析:①5 本不同的书分成 3 组,一组一本,剩余两个小组每组 2 本,

则有 则有 故选 9.B

种分组方法②将分好的三组全排列,对应甲乙丙三人,则有 种不同的方法

种情况

【解析】∵两个圆 C1:x +y +2x+2y-2=0 与 C2:x +y -4x-2y+1=0, ∴圆 C1 圆心为(-1,-1) ,半径为 2,圆 C2 圆心为(2,1) ,半径为 2,∴两圆圆心距为 13 ∵0< 13 <2+2=4,∴两圆相交,有 2 条公切线.故选 B. 10.D
2 2 3 1 2 【解析】 当 E,F 排在前三位时, N1 ? A2 A2 A3 =24,当 E,F 排后三位时, N 2 ? C3 A3

2

2

2

2

?

?

?

?? A A ? =72,
2 2 2 2

7

1 1 2 2 当 E,F 排 3,4 位时, N 3 ? C2 A3 A2 A2 =24,N=120 种,选 D.

?

?

11.D 【解析】由 a1=0.3,b1=0.8 得 a=﹣0.8,b=3.2, (﹣0.8,3.2)落在 y=x 与 y=4 围成的区域内,由 a1=0.4,b1=0.3 得:a=﹣0.4,b=1.2, (﹣0.4,1.2)落在 y=x 与 y=4 围成的区域内 所以本次模拟得出的面积为 16 ? 故选:D. 12.B 【解析】根据题意,可得曲线 表示一个半圆,直线 表示平行于 的直线,
2 2

67 ? 10.72 . 100

其中 表示在轴上的截距,作出图象,如图所示,从图中可知 在轴上的截距分别为 ,所以实数 的取值范围是

之间的平行线与圆有两个交点, ,故选 B.

13.51

【解析】系统抽样的抽样间隔为 ,第 3 组抽取的号码为 14. x+3y+1=0

,又第 1 组中用抽签的方法确定抽出的号码为 11, .故答案为:51.

15.

【解析】由题意可知铜钱所在圆的半径为 又由中间边长为

,所以其面积为 ,



的正方形,则正方形的面积为

8

由几何概型的概率公式可得概率为 16. 【解析】圆 ①当斜率不存在时, 或 即 为圆的切线

.

②当斜率存在时,设切线方程为 即



解得

此时切线方程为 综上所述,则直线的方程为

,即 或

17. (1) 【详解】 由 解得 .

; (2)平均数为

,中位数为





这组数据的平均数为



中位数设为 ,则
3 2

,解得



18. (I) 8 ; (II) ?16 x ,

1120 ?

1 x6
,第三项的二项式系数为 ,

【解析】 (I)由题意知,第二项的二项式系数为

9

1 2 ?Cn ? Cn ? 36 , 得:n2 ? n ? 72 ? 0 ,

得 n ? 8 或 n ? ?9 (舍去).

2? ? (II) ? x ? 2 ? 的通项公式为: x ? ?
Tk ?1 ? C8k ( x )8?k (?
3 2

8

8 ?5 k 2 k k k k 2 ) ? ( ? 1) 2 C x ,令 8﹣5k=3,求得 k=1, 8 2 x

故展开式中含 x 的项为 T2 ? ?2C x ? ?16 x .

3 1 2 8

3 2

又由

知第 5 项的二项式系数最大,此时

.

19.(1)

,c=20;(2)

. .又 . ,

【解析】 (1)由分层抽样可知, 所以 ,所以

(2)由题意,对 1 号方案、2 号方案抽取的样本容量都是 4.其中,1 号方案的评价表中,评价为 的 有 3 份,评价为 的有 1 份,令其分别记为 评价为 的有 2 份,令其分别记为 ;2 号方案的评价表中,评价为 的有 2 份, .从中抽取 2 份评价表,不同的结果为: , , , , , ,

,共 28 个.其中至少有 1 份评价为 的所包含的不同结果为 , , ,

10

共 18 个.故所求事件的概率为 20.(1) ;(2) ,或 . ,即

.

【解析】 (1)直线的方程为



圆心到直线的距离为 ; (2)因圆上恰有三点到直线的距离等于



,转化为

则圆心

到直线

的距离为



当直线垂直于轴时,显然不合题意; 设直线的方程为 ,即 ,

由 故直线的方程为 21. (1)

,解得 ,或 ; (2)49.

, .

【解析】 (1)由表中数据知,



∴ ∴所求回归直线方程为 (2)令 22. (1) ,则 ; (2)

, . 人. .



【解析】 (1)法一: 线段 AB 的中点为(0,0),其垂直平分线方程为 x-y=0.

11

解方程组 半径 故所求圆 M 的方程为

,解得 .

,所以圆 M 的圆心坐标为(1,1),

法二:设圆 M 的方程为



根据题意得 故所求圆 M 的方程为 (2)如图,

,解得



.

由题知,四边形 PCMD 的面积为

因此要求 S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可。 即在直线 3x+4y+8=0 上找一点 P,使得|PM|的值最小,所以

所以四边形 PCMD 面积的最小值为

.

12


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