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概率论练习题1


概率论练习题 1
一、填空题 1. 设 A , B
2

则Y ~ 【

相 互 独 立 , 且

P ( A U B) = 0.8, P ( A) = 0.2 ,则 P (B ) = ____.

2. 已知 X ~ N (2, σ ) , P{2 < X < 4} = 0.3 , 且 则
P{X < 0} = ____.

( A) N (a? ? b, (B) N (a? + b, (C ) N (a? + b, (D ) N (a? ? b,



a 2σ 2 + b 2 ; a 2σ 2 ? b 2 a 2σ 2 ; a 2σ 2

) ).

) );

三、甲乙两人独立地对同一目标射击一次, 其命中率分别为 0.5 和 0.4,现已知目标被命 中,求它是乙命中的概率. 四、设随机变量 X 的密度函数为
5 9 f ( x) = A ,求: e + e?x
x

3. 设 X 与 Y 相 互独 立 , 且 E ( X ) = 2 ,
E (Y ) = 3 , D( X ) = D(Y ) = 1 ,则
E[( X ? Y ) 2 ] = _

.

4. 设 X ~ B(2, p ), Y ~ B(3, p) ,且 P{ X ≥ 1} = , 则 P{Y ≥ 1} = __________. 二、选择题 1. 一盒产品中有 a 只正品, b 只次品,有放 回地任取两次,第二次取到正品的概率为 【 (A) (C) 】
a ? 1 ;(B) a (a ? 1) ; a +b?1 (a + b )(a + b ? 1)

(1) 常数 A; (2)P{0 < X < ln 3} ; (3) 分布函数 F (x) . 五、设随机变量 X 的概率密度为
?6 x(1 ? x), 0 < x < 1 f (x ) = ? 0, 其他 ?

1 2

求 Y = 2 X + 1 的概率密度. 六、二维随机变量(X,Y)的概率密度为
? Ae ? ( x + 2 y ) , f ( x, y ) = ? 0, ?
x > 0, y > 0

a ;(D) ? a ? ?a+b? a+b ? ?

2

.

2. 设 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为
? c 1 < x < 3 则方差 D(X)= p( x) = ? ? 0, 其他

其他





求: (1)系数 A; (2)X,Y 的边缘密度函数; (3)问 X,Y 是否独立。

(A) 2; (B)

1 1 ; (C) 3; (D) . 2 3

3. 设 A 、 B 为两个互不相容的随机事件, 且 P (B ) > 0 , 则 下 列 选 项 必 然 正 确 的 是 【 】

(C ) P(A B ) = 1 ; (D ) P(AB ) = 0 . 4. 设 f ( x ) = sin x 是某个连续型随机变量 X
的概率密度函数,则 X 的取值范围是【 】

( A)

P ( A) = 1 ? P (B ) ;

(B )

P( A B ) = 0 ;

( A) ?0, ?
?

π?
2? ?
π?;
2? ?

(B ) [0, π ] ;

(C ) ?? π ,
? 2 ?

(D ) ?π , ?

5. 设 X ~ N ?, σ 2 , Y = aX ? b ,其中 a 、 b 为常数,且 a ≠ 0 ,

(

)

?

3π ? . 2 ? ?

概率论练习题 1 参考答案
19 27 二、1、 (C);2、 (D);3. (B ) ;4、 ( A) ;5、 (D ) 三、解:设 A 表示事件“甲命中目标” B 表 , 示事件“乙命中目标” ,则 A U B 表示“目标 被命中” ,且 P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) ? P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) ? P ( A) P ( B )

一、1. 0.75;2. 0.2;3. 3;4.

?3 ? ( y ? 1)(3 ? y ), 1 < y < 3 f Y ( y) = ? 4 ? 0, 其他 ?

六、解: (1)由
1 = ∫? ∞ ∫? ∞ f ( x, y )dxdy = ∫0
+∞
+∞ +∞ +∞

∫0

+∞

Ae ? ( x + 2 y ) dxdy
+∞

= A∫0 e ? x dx ∫0 e ? 2 y dy =

1 A 2

= 0.5 + 0.4 ? 0.5 × 0.4 = 0.7

所求概率为 P ( B / A U B ) =
= P( B) 0.4 = ≈ 0.57 P ( A U B ) 0.7
+∞

P[ B( A U B )] P( A U B)

四、解: (1)由 ∫?∞ f ( x)dx = 1 ,即
+∞ A ex dx = A ?∫?∞ dx = A ?arctane x ∫? ∞ e x + e ? x 1 + (e x ) 2 +∞ +∞ ?∞

=

所以 A = 2 . ( 2 ) X 的 边 缘 密 度 函 数 : +∞ ?e ? x x>0 f X ( x ) = ∫ f ( x , y )dy = ? . ?∞ 其他 ? 0, Y 的 边 缘 密 度 函 数 : +∞ ? 2e ?2 y y>0 f Y ( y ) = ∫ f ( x , y )dx = ? . ?∞ 其他 ? 0, (3)因 f ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) ,所以 X,Y π 是独立的.
2 A =1

所以 A = (

2

π

. 2
1 ln 3 2 0


1 ln 3 2 0

1 ? ? 2 P ?0 < X < ln 3? = ? ∫ 2 ? ? π = 2 ? arctane x
1 ln 3 2 0

dx 2 = ?∫ x ?x π e +e

ex dx 1 + (e x ) 2

π (3)分布函数
x

=

2 ?π π ? 1 ? ? ?= π ?3 4? 6 2 ? ∫? ∞
x

π 五、解: FY ( y ) = P{Y ≤ y } = P { 2 X + 1 ≤ y}
t

F ( x) = ∫?∞ f (t )dt =

dt 2 = arctane x ?t π e +e

y ?1 y ? 1? ? = P ?X ≤ ? = 2 f ( x )dx 2 ? ∫?∞ X ?

y ?1 ≤ 0 即 y ≤ 1 时, FY ( y ) = 0 ; 2 y ?1 当 即 1< y ≤ 3 时 , 0< ≤1 2 y ?1 1 FY ( y ) = ∫0 2 6 x(1 ? x)dx = ( y ? 1) 2 (4 ? y ) ; 4 1 y ?1 当 > 1 即 y > 3 时, Y ( y ) = ∫0 6 x(1 ? x)dx = 1 ; F 2 0, y ≤1 ? ?1 即 FY ( y ) = ? ( y ? 1) 2 (4 ? y ), 1 < y ≤ 3 所以 ?4 1, y >3 ?




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