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吉林省松原市油田高中2012-2013学年度第二学期期中考试高二数学(理)试卷


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吉林省松原市油田高中 2012-2013 学年度第二学期期中考试高 二数学(理)试卷
时间:90 分钟 试卷满分:120 分

选择题: (本大题共 12 小题,每题 4 分,共 48 分,在四个选项中只有一个 是正确的) 1.设 p: x ? 1 , q: x 2 ? 1 ,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D. ? 2

一、

2.在等比数列 {an } 中, a1 ? ?16, a4 ? 8, 则 a7 ? ( A. ? 4 B. ? 4 C. ? 2

3.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式成立的是 A. a ? b ?

a?b ? ab 2 a?b ? b ? ab C. a ? 2
A.110 B.100

a?b ? ab ? b 2 a?b ?b D. a ? ab ? 2
B. a ? ) C.90 ) D.72

4.已知数列 {an } 满足 a1 ? 0 , an?1 ? an ? 2n ,那么 a10 的值是(

5.在△ABC 中,若 a2+b2-c2<0,则△ABC 是( A.锐角三角形 C.钝角三角形

B.直角三角形 D.以上都有可能

6.下列说法错误的是 ( ) 2 2 A.命题“若 x -3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为: “若 x≠1,则 x -3x+2≠0” B. “x>1” ,是“|x|>1”的充分不必要条件 C.若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.若命题 p: ? x0∈R,使得 x02+x0+1<0”,则 ? p: ? x∈R,均有 x2+x+1≥0” “ “ 7.如图所示,椭圆 C1 、 C 2 与双曲线 C3 、 C 4 的离心率分别是

e1 、 e2 与 e 3 、 e4 , 则 e1 、 e2 、 e 3 、 e4 的大小关系是(
A. e2 ? e1 ? e3 ? e4 C. e1 ? e2 ? e3 ? e4
2 2



B. e2 ? e1 ? e4 ? e3 D. e1 ? e2 ? e4 ? e3

8.双曲线

x y ? ? 1 的两个焦点为 F1 、 F2 ,双曲线上一点 P 到 F1 的距离为 12, 25 9 则 P 到 F2 的距离为( )
A. 17 B.22
2 2

C. 7 或 17

D. 2 或 22 )

9. P 在椭圆 点 A.
3 3

? x F + y ? 1 上, 1 , F2 为焦点 且 ?F1 PF2 ? 60 , ?F1 PF2 的面积为 则 ( 1 5

B. 4

C. 4 3

D. 4(2 ? 3)

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? x ≤ 2, ? 10.若 ? y ≤ 2, 则目标函数 z ? x ? 2 y 的取值范围是( ? x ? y ≥ 2, ?
5] A. [3,
11 . 椭 圆 B. [2, 5] C. [ 3 6 ] ,



D. [2, 6]

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1(m ? n ? 0) 和 双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 公 共 焦 点 为 m2 n a b ) F1 , F2 , P 是两曲线的一个交点,那么 PF1 ? PF2 的值是(
B. m ? a
2 2

A. m? a

C.

m?a 2

D. m ? a )

12. 过原点的直线 l 与双曲线 y 2 ? x 2 ? 1有两个交点, 则直线 l 的斜率的取值范围为 ( A. (?1,1) B. (??,?1) U (1,??) C. (?1,0) U (0,1) D. ( ?

? ?

, ) 4 4

二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题纸上)

?2 x ? y ? 0 ? 13 . 若 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , 则 目 标 函 数 z ? x ? y ? 1 的 最 大 值 ?x ? 0 ?
为 . 14. 已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y= ± x , 则此双曲线的离心率为

3 4

.

15.已知 B(-6,0) 、C(6,0)是△ABC 的两个顶点,内角 A、B、C 满足 sinB-sinC=

1 sinA,则顶点 A 的轨迹方程为 2
16.下列说法中



① 设定点 F1 (0,?3) ,F2 (0,3) , 动点 P ( x, y ) 满足条件 | PF | ? | PF2 |? a(a ? 0) , 则动点 P 的 1 轨迹是椭圆或线段; ②命题“每个指数函数都是单调函数”是全称命题,而且是真命题.

1 x2 y 2 ? ? 1; ③离心率为 , 长轴长为 8 的椭圆标准方程为 2 16 12
④若 3 ? k ? 4 ,则二次曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标是(± 1,0). 4? k 3? k

其中正确的为 (写出所有真命题的序号) 三.解答题:(本大题共 5 小题,共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分) 在△ABC 中,已知 a=3 3 ,c=2,B=150°,求边 b 的长及面积 S△.

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18.(10 分) 在等差数列{an}中,已知 a6=10,S5=5,求 a8 和 S8.

2 19. (12 分)命题 p :关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 4 ? 0 对于一切 x ? R 恒成立,

命题 q : ? x ?[1,2], x 2 ? a ? 0 ,若 p ? q 为真, p ? q 为假,求实数 a 的取值范围.

20. (12 分)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1 , F2 在坐标轴上,离心率为 2 ,且过点 P(4, ? 10 ). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证: MF ? MF2 =0; 1 (3)求△F1MF2 的面积。

21. (12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,点 M 到两定点 F1 (?1,0) 和 F2 (1,0) 的距离之和 为 4 ,设点 M 的轨迹是曲线 C .(1)求曲线 C 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与

曲线 C 相交于不同两点 A 、 B ( A 、 B 不是曲线 C 和坐标轴的交点),以 AB 为直径 的圆过点 D(2,0) ,试判断直线 l 是否经过一定点,若是,求出定点坐标;若不是,说 明理由.

吉林省松原市油田高中 2012-2013 学年度第二学期期中考试高二数学(理)试卷参考答案
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一、AABCC CADAD 二. 13.4 14. BB

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15.x2/9-y /27=1 ? x<-3
2

5 4

?

16.② ④

三.17.b2=a2+c2-2accosB=(3 3 )2+22-2·3 3 ·2·(∴ S △= b=7,

3 )=49. 2

1 1 1 3 acsinB= ×3 3 ×2× = 2 2 2 2
∴a8=16 ; S8=44
2

3.
2

18.∵ a1=-5,d=3

19.解:设 g ( x) ? x ? 2ax ? 4 ,由于关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 4 ? 0 对于一切 x ? R 恒 成 立 , 所 以 函 数 g (x) 的 图 象 开 口 向 上 且 与 x 轴 没 有 交 点 , 故 ? ? 4a ? 16 ? 0 , ∴? 2 ? a ? 2 .
2

若 q 为真命题, a ? x 恒成立,即 a ? 1 . 由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p、q 一真一假.
2

?? 2 ? a ? 2 ∴1 ? a ? 2 ; ? a ?1 ?a ? ?2 或a ? 2 ② p 假 q 真,则 ? 若 ∴a ? ?2 ; ?a ? 1 综上可知,所求实数 a 的取值范围是{ a | 1 ? a ? 2 或 a ? ?2 }
① p 真 q 假,则 ? 若 20.解: (1)x2-y =6; (3)S=6 21.解:解:(1)设 M ( x, y ) ,由椭圆定义可知, 点 M 的轨迹 C 是以 (?1,0) 和 (1,0) 为焦点,长半轴长为 2 的椭圆. 它的短半轴长 b ?
2

3 ,故曲线 C 的方程为:

x2 y 2 ? ?1 4 3

(2)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) . 联立 ? x 2 ?

? y ? kx ? m, y2 ? ? 1. ? 3 ?4

消去 y,整理得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 ,



? ?? ? 64m 2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )( m 2 ? 3) ? 0,即3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0, ? 8mk ? , ? x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 ? ? 4(m 2 ? 3) x1 x2 ? . ? 3 ? 4k 2 ?
2 2

又 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m ?

3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

0) 因为以 AB 为直径的圆过点 D(2, ,? k AD kBD ? ?1 ,即

y1 y2 ? ? ?1 . x1 ? 2 x 2 ? 2

? y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 .

?

3(m 2 ? 4k 2 ) 4(m 2 ? 3) 16m k ? ? ?4 ? 0. 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ?7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 .
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解得: m1 ? ?2k,m2 ? ?

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2k 2 2 ,且均满足 3 ? 4k ? m ? 0 . 7 当 m1 ? ?2k 时, l 的方程 y ? k ( x ? 2) ,直线过点 (2, ,与已知矛盾; 0)
当 m2 ? ?

2k 时, l 的方程为 y ? k ? x ? 2 ? ,直线过定点 ? 2 ,? . ? ? ? 0? 7 7? ? ?7 ?
?7 ?

所以,直线 l 过定点,定点坐标为 ? 2 ,? . ? 0?

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