高考数学二轮复习跟踪测试28：等差数列性质人教版

等差数列性质
注意事项：1.本卷共 150 分，考试时间 100 分 2.题型难度: 中等难度 3.考察范围：等差数列性质 4.试题类型：选择题 12 道，填空题 4 道，简答题 6 道。 5.含有详细的参考答案 6.试卷类型：高考二轮复习专题训练

一、选择题
1.数列 1,0,1,0,1, ? 的一个通项公式是

（
n ?1

）

A. a n ?
2.已知 an?1

1 ? ?? 1? 2

n ?1

B. a n ?

1 ? ?? 1? 2

C. a n ? ）

?? 1?n ? 1
2

D. a n ?

? 1 ? ?? 1? 2

n

? an ? 3 ? 0 ，则数列 ?an ? 是 （
B. 递减数列 C. 常数列

A. 递增数列

D. 摆动数列

3.已知各项均为正数的等差数列

?an ? 中， a1 ? a11 ? 36 ，则 a6 的最小值为
）

A、4 B、5 C、6 D、7 4.已知某等差数列共有 10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差为（ A.3 B.4 C.5 D.2
5.等差数列 {an } 中， a1

? 3a8 ? a15 ? 120, 则2a9 ? a10 ?
B ．22 C．20

（ D．-8

）

A．24
6.在数列 {an } 中，a1

点 (an, an ? ? 3 且对于任意大于 1 的正整数 n ， )1 在直线 x ? y ? 6 ? 0 上， ） ．

则 a3 ? a5 ? a7 的值为（

A． 27 B． 6 C． 81 D． 9 7.已知等差数列共有 10 项、其中奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差是（ ） A.5 B.4 C. 3 D.2 8.{an}是等差数列，a1>0，a2009＋a2010>0，a2009·a2010<0，使前 n 项和 Sn>0 成立的最大自然数 n 是 A．4019 B．4018 C．4017 D．4016
[来源:Z|xx|k.Com]

9.在等差数列 {an } 中, 前n项和为S n , 若a7

? 5, S 7 ? 21, 那么S10 等于
C．35 D．70

（

）

A．55

B．40
*

） ) 的前 n 项和，若 S7 ? S5 ，则（ A． a6 ? a7 ? 0 B． S9 ? S3 C． a7 ? a8 ? 0 D． S10 ? S 4 11.等差数列 {an } 中， a1 ? 0 ， S3 ? S10 ，则当 Sn 取最大值时，n 的值为（ ）
10.已知 S n 是等差数列 {an }(n ? N

A．6

B．7

C．6 或 7
用心 爱心 专心

D．不存在

12. ? an ?为等差数列，公差为 d ， Sn 为其前 n 项和， S6

? S7 ? S5 ,则下列结论中不正确的
( ) （D） S13 ? 0

是 （A） d ? 0 （B） S11 ? 0 （C） S12 ? 0

二、填空题
13.在等差数列

?an ? 中，已知 a2 ? a7 ? a8 ? a9 ? a14 ? 70, 则 a8 ?

.

14.在等差数列 {an } 中，已知 a1 ? 15. 设

1 ， a2 ? a5 ? 4 ， am ? 33 ，则 m 为＿＿＿＿＿＿ 3

[来源:学科网]

Sn

是 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 ， 已 知 S 6 ? 36, S n ? 3 2 ,4 S n?6 ? 1 4 ,4则

n =__________.

?a ? a ? ?2008 ，其前 n 项的和为 Sn ．若 2007 ? 2005 ? 2 ， 16.在等差数列 n 中， 1
则 S 2008 ? ___________

S 2007

S2005

三、解答题
17.已知数列 {a n } 中， a1 ?
bn ? 1 (n ? N ? ) ； an ? 1
3 1 ， an ? 2 ? (n ? 2, n ? N ? ) ，数列 {b n } 满足 5 an?1

（1） （2）

求证：数列 {b n } 是等差数列； 求数列 {a n } 中的最大值和最小值，并说明理由
[ 来源:学科网 ZXXK]

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

18.三个正数成等差数列，它们的和等于 15，如果它们分别加上 1，3，9 就成等比数列，求

此三个数。

用心

爱心

专心

19.设数列

?an ? 为等差数列， bn ? ? ?

21 1 1? n ? ，且 b1 ? b2 ? b3 ? 8 ， b1 ? b2 ? b3 ? 8 ，求 an ?2?

a

[来源:学科网 ZXXK]

20.某房地产开发商投资 81 万元建一座写字楼，第一年装修费为 1 万元，以后每年增加 2 万

元，把写字楼出租，每年收入租金 30 万元 . （1）若扣除投资和装修费，则从第几年开始获取纯利润？ （2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①纯利润总和最大时，以 10 万元出售；②该楼年平均利润最大时以 46 万元出售该楼，问哪种方案更优？

用心

爱心

专心

[来源:Zxxk.Com]

21.设等差数列

?an ?的前 n 项和为 sn ，已知 a3 ? 24, s11 ? 0 ，求：
②当 n 为何值时， sn 最大，最大值为多少？

①数列 ?an ? 的通项公式
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

22.在数列 ? an ?中， a1

? 1, an?1 ? 2an ? 2n
[来源:学科网]

（1）设 bn ?

an , 证明 ?bn ?是等差数列; 2 n ?1

（2）求数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 。

用心

爱心

专心

答案 一、选 择题 1.B 2.A 3.B 4.A 5.A 6.A

解析 ： an ? an?1 ? 6 ? 0 ，即 an ? an?1 ? 6 ，得数列 {an } 是等差数列，且首项 a1 ? 3 ， 公差 d ? 6 ，而 a3 ? a5 ? a7 ? a7 ? 2d ? a5 ? a1 ? 4d ? 3 ? 4 ? 6 ? 27 ．
[来源:Zxxk.Com]

7.C 8.B 9.B 10.B 11.B 12. C 二、填空题 13. 14 14.50 15.18 16.-2008 三、解答题 17.解析：
1 1 1 a , ? ? n ?1 ,而 bn ?1 ? 1 an ?1 ? 1 an ? 1 (2 ? ) ? 1 an ?1 ? 1 an ?1
5 1 5 ? ? ；故数列 {b n } 是首项为 ? ，公差为 1 的等差数列； 2 a1 ? 1 2
2 1 2 ；设函数 f ( x) ? 1 ? ， ? 1? 2 x ?7 bn 2n ? 7

(1) bn ?

∴ bn ? bn?1 ? 1(n ? 2, n ? N ? ) , b1 ?
[来源:学|科|网]

（2）由（1）得 bn ? n ? ，则 an ? 1 ? 函数 f ( x) ? 1 ?

7 2

2 7 7 在 (??, ) 和 ( ,?? ) 上均为减函数，当 x ? 3 时， f ( x) ? f (3) ? ?1 ；当 2x ? 7 2 2 3 ，当 n 趋向于 ?? 时， f ( x) 接近 1， 5

x ? 4 时， f ( x ) ? f ( 4) ? 3 ；且 f (1) ?

∴ (an )min ? a3 ? ?1 ， (an )max ? a4 ? 3 ．
18.

用心

爱心

专心

解：设三个数x ? d , x, x ? d 由题x ? d ? x ? x ? d ? 15 ?x ? 5 2分 4分 又x ? d ? 1, x ? 3, x ? d ? 9成等比数列
2 所以（x ? 3） ? ( x ? d ? 1)( x ? d ? 9)

即 82 ? (6 ? d )(14 ? d ) ? d ? ?10或d ? 2 6分

当 d ? ?10 时，三个数分别为 15，5，-5，由于三个正数故此舍去。…………8 分 当 d ? 2 时，三个数分别为 3，5，7。 …………10 分
19.解析：设数列

的公差为

，则由题知

，即 ，即 ，

由 即

知，

或
[来源:学.科.网]

或-2

综上知，

=2n-3 或

=5-2n

20.解析： （1）设第 n 年获取利润为 y 万元

n 年共收入租金 30n 万元，付出装修费构成一个以 1 为首项，2 为公差的等差数列，共

n?

n( n ? 1) ? 2 ? n 2 …………………………2 分 2

2 因此利润 y ? 30n ? (81? n ) ，令 y ? 0 ……………………3 分

解得： 3 ? n ? 27 ，…………………………………….4 分 所以从第 4 年开始获取纯利润 ………………………….5 分 （2）纯利润 y ? 30n ? (81? n ) ? ?(n ? 15) ? 144
2 2

所以 15 后共获利润：144+ 10=154 （万元）………………………7 分

30n ? (81? n 2 ) 81 ? 30 ? ? n …………………..9 分 年平均利润 W ? n n

? 30 ? 2 81 ? 12 （当且仅当

81 ? n ，即 n=9 时取等号）……..10 分 n

所以 9 年后共获利润：12 ? 9 ? 46 =154（万元）………………….11 分
用心 爱心 专心

两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②……………12 分

a1 ? 2d ? 24 ? ?a 3 ? 24 ? 11? 10 21.解析：由 ? 得? 11a1 ? d ? 32 ? s11 ? 0 ? 2 ?
∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 48 ? 8n

得?

?a1 ? 40 ? d ? ?8

S n ? na1 ?

n(n ? 1) d ? ?4n 2 ? 44 n 2

∴当 n ? 5或6 时， S max ? 120

22.解析： （1）由已知 an?1

? 2an ? 2n 得

bn ?1 ?

an ?1 2an ? 2 n a ? ? nn ? 1 ? bn ? 1， n n 2 2 2 ?1

又 b1 ? a1 ? 1

? ?bn ?是首项为 1，公差为 1 的等差数列；
（2）由（1）知

an ? n,? a n ? n ? 2 n ?1 2 n ?1

Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? ? ? n ? 2n?1 2S n ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? n ? 2 n
两式相减得 ? Sn ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?2n?1 ? n ? 2n

? Sn ? (n ? 1) ? 2n ? 1
[来源:Zxxk.Com]

用心

爱心

专心