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滨海新区民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

滨海新区民族中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 函数 f(x)= ﹣x 的图象关于( )

姓名__________

分数__________

A.y 轴对称 B.直线 y=﹣x 对称 C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称 2. 下列四个命题中的真命题是( ) A.经过定点 P0 ? x0 , y0 ? 的直线都可以用方程 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? 表示 B.经过任意两个不同点 P 1 ? x1 , y1 ? 、 P 2 ? x2 , y2 ? 的直线都可以用方程 ? y ? y1 ?? x2 ? x1 ? ? ? x ? x1 ?? y2 ? y1 ? 表示

x y ? ? 1 表示 a b D.经过定点 A ? 0, b ? 的直线都可以用方程 y ? kx ? b 表示
C.不经过原点的直线都可以用方程 3. 在“唱响内江”选拔赛中,甲、乙两位歌手的 5 次得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别 、 ,则下列判断正确的是( )

A.



,乙比甲成绩稳定

B.



,甲比乙成绩稳定

C. D. > ,甲比乙成绩稳定 > ,乙比甲成绩稳定   4. 某个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图中的圆弧是半径为 2 的半圆,则该几何体的表面积为 ( )

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A. 92 ? 14? 运用,难度中等.

B. 82 ? 14?

C. 92 ? 24?

D. 82 ? 24?

【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的 5. 设 a,b∈R 且 a+b=3,b>0,则当 A. B. C. 或 D.3 取得最小值时,实数 a 的值是( )

+

  6. 《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题,《张丘建算经》卷上第 22 题为 : “今有女善织,日益功疾(注 : 从第 2 天开始,每天比前一天多织相同量的布) ,第一天织 5 尺布,现在一月( 按 30 天计),共织 390 尺布”,则从第 2 天起每天比前一天多织( A. B. C. D. ) D. ) )尺布.

7. 命题“?x∈R,2x2+1>0”的否定是( A.?x∈R,2x2+1≤0 C.   A. 4 B. ﹣4 C. 2 D. ﹣2 B.

8. 已知向量 =(1,2), =(x,﹣4),若 ∥ ,则 x=(

9. 若偶函数 y=f(x) ,x∈R,满足 f(x+2)=﹣f(x) ,且 x∈[0,2]时,f(x)=1﹣ x,则方程 f(x)=log8|x| 在[﹣10,10]内的根的个数为( A.12 ) A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 B.10 C.9 D.8 )

10.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边长分别是 a、b、c.若 sinC+sin(B﹣A)=sin2A,则△ABC 的形状为(

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11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



A.8+2 A. 5 ? A

B.8+8

C.12+4 B. 1.5 ? A

D.16+4 ) C. ?1 ? A D. 0 ? A

12.已知集合 A ? ? x ? N | x ? 5? ,则下列关系式错误的是(

二、填空题
13.(x﹣ )6 的展开式的常数项是      (应用数字作答).   14 . 已 知 函 数 f ( x) ? a sin x cos x ? sin x ?
2

1 ? 的 一 条 对 称 轴 方 程 为 x ? , 则 函 数 f ( x) 的 最 大 值 为 2 6

___________. 【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值,意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思 想与方程思想. 15.已知函数 f ( x) ? ln x ? 成立,则实数的取值范围是 个结论: ①曲线 C 过点(﹣1,1); ②曲线 C 关于点(﹣1,1)对称; ③若点 P 在曲线 C 上,点 A,B 分别在直线 l1,l2 上,则|PA|+|PB|不小于 2k; ④设 p1 为曲线 C 上任意一点,则点 P1 关于直线 x=﹣1、点(﹣1,1)及直线 y=1 对称的点分别为 P1、P2、P3, 则四边形 P0P1P2P3 的面积为定值 4k2. 其中,所有正确结论的序号是      .   17.在极坐标系中,直线 l 的方程为 ρcosθ=5,则点(4, 18.若函数 f(x)=3sinx﹣4cosx,则 f′(   )到直线 l 的距离为      .

a 1 , x ? (0,3] ,其图象上任意一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率 k ? 恒 x 2


16.曲线 C 是平面内到直线 l1:x=﹣1 和直线 l2:y=1 的距离之积等于常数 k2(k>0)的点的轨迹.给出下列四

)=      .

三、解答题
19.(本题满分 15 分)

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已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,当 x ? 1 时, f ( x) ? 1 恒成立.
2

(1)若 a ? 1 , b ? c ,求实数 b 的取值范围; (2)若 g ( x) ? cx ? bx ? a ,当 x ? 1 时,求 g ( x) 的最大值.
2

【命题意图】本题考查函数单调性与最值,分段函数,不等式性质等基础知识,意在考查推理论证能力,分析 问题和解决问题的能力.

20.已知函数 f(x)=lnx 的反函数为 g(x). y=k1x 是函数 y=f(﹣x)的图象的切线,直线 m: y=k2x 是函数 y=g(x)图象的切线,求证 l⊥m (Ⅰ)若直线 l: : ; (Ⅱ)设 a,b∈R,且 a≠b,P=g( 大小,并说明理由.   ),Q= ,R= ,试比较 P,Q,R 的

21.已知集合 A={x|a﹣1<x<2a+1},B={x|0<x<1} (1)若 a= ,求 A∩B. (2)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围.

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22.已知函数 θ∈(0,π), (1)求 θ 的值; (2)当 m=0 时,求函数 f(x)的单调区间和极值; (3)若在上至少存在一个 x0,使得 f(x0)>g(x0)成立,求 m 的取值范围.     ,m∈R.

上为增函数,且

23.已知斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,且与抛物线相交于 A,B 两点,|AB|=4. (I)求 p 的值; (II)若经过点 D(﹣2,﹣1) ,斜率为 k 的直线 m 与抛物线有两个不同的公共点,求 k 的取值范围.

24.(本题满分 12 分)设向量 a ? (sin x,

3 (sin x ? cos x)) , b ? (cos x, sin x ? cos x) , x ? R ,记函数 2

f ( x) ? a ? b .
(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间;

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(2)在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .若 f ( A) ?

1 , a ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值. 2

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滨海新区民族中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:∵f(﹣x)=﹣ +x=﹣f(x) ∴ 是奇函数,所以 f(x)的图象关于原点对称

故选 C.   2. 【答案】B 【解析】

考 点:直线方程的形式. 【方法点晴】本题主要考查了直线方程的表示形式,对于直线的点斜式方程只能表示斜率存在的直线 ; 直线的 斜截式方程只能表示斜率存在的直线;直线的饿两点式方程不能表示和坐标轴平行的直线;直线的截距式方程 不能表示与坐标轴平行和过原点的直线,此类问题的解答中熟记各种直线方程的局限性是解答的关键.111] 3. 【答案】A 【解析】解:由茎叶图可知 = (75+86+88+88+93)= 故选:A 【点评】本题主要考查茎叶图的应用,根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键.   4. 【答案】 A = (77+76+88+90+94)= =86,则 < , ,

乙的成绩主要集中在 88 附近,乙比甲成绩稳定,

5. 【答案】C

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【解析】解:∵a+b=3,b>0, ∴b=3﹣a>0,∴a<3,且 a≠0. ①当 0<a<3 时, f′(a)= 当 减. ∴当 a= 时, ②当 a<0 时, f′(a)= 当 递减. ∴当 a=﹣ 时, 综上可得:当 a= 故选:C. 【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于难 题.   6. 【答案】D 【解析】解:设从第 2 天起每天比前一天多织 d 尺布 m 则由题意知 解得 d= . , + 取得最小值. + 取得最小值. ﹣ + + =﹣ 取得最小值. =﹣ ( )=﹣( + , 时,f′(a)<0,此时函数 f(a)单调 )=f(a), + + = = = + =f(a), , 时,f′(a)<0,此时函数 f(a)单调递

时,f′(a)>0,此时函数 f(a)单调递增;当

时,f′(a)>0,此时函数 f(a)单调递增;当

或 时,

故选:D. 【点评】本题考查等差数列的公差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的通项公式的求解.   7. 【答案】C 【解析】解:∵命题?x∈R,2x2+1>0 是全称命题, ∴根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是:

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“ 故选:C.

”,.

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,要求掌握特称命题的否定是全称命题,全称命题的否定是特称 命题,比较基础.   8. 【答案】D 【解析】: 解:∵ ∥ , ∴﹣4﹣2x=0,解得 x=﹣2. 故选:D. 9. 【答案】D 【解析】解:∵函数 y=f(x)为 偶函数,且满足 f(x+2)=﹣f(x), ∴f(x+4)=f(x+2+2)=﹣f(x+2)=f(x), ∴偶函数 y=f(x) 为周期为 4 的函数, 由 x∈[0,2]时, f(x)=1﹣ x,可作出函数 f(x)在[﹣10,10]的图象, 同时作出函数 f(x)=log8|x|在[﹣10,10]的图象,交点个数即为所求. 数形结合可得交点个为 8, 故选:D.

  10.【答案】D 【解析】解:∵sinC+sin(B﹣A)=sin2A, ∴sin(A+B)+sin(B﹣A)=sin2A,

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∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=sin2A, ∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA, ∴2cosA(sinA﹣sinB)=0, ∴cosA=0,或 sinA=sinB, ∴A= ,或 a=b,

∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形 故选:D. 【点评】本题考查三角形形状的判断,涉及三角函数公式的应用,本题易约掉 cosA 而导致漏解,属中档题和 易错题.   11.【答案】D 【解析】解:根据三视图得出该几何体是一个斜四棱柱,AA1=2,AB=2,高为 ,

根据三视图得出侧棱长度为 ∴该几何体的表面积为 2×(2× 故选:D

=2, +2×2+2×2)=16 ,

【点评】本题考查了空间几何体的三视图,运用求解表面积,关键是恢复几何体的直观图,属于中档题.   12.【答案】A 【解析】 试题分析 : 因为 A ? ? x ? N | x ? 5? , 而 1.5 ? N , ?1 ? N ,? .5 ? A, ?1 ? A , 即 B、 C 正确, 又因为 0 ? N 且 0 ? 5 , 所以 0 ? A ,即 D 正确,故选 A. 1 考点:集合与元素的关系.

二、填空题
13.【答案】 ﹣160 

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【解析】解:由于(x﹣ )6 展开式的通项公式为 Tr+1= 令 6﹣2r=0,求得 r=3,可得(x﹣ )6 展开式的常数项为﹣8 故答案为:﹣160.

?(﹣2)r?x6﹣2r, =﹣160,

【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的 系数,属于基础题.   14.【答案】1 【 解 析 】

15.【答案】 a ? 【解析】

1 2

1 a 1 ? 2 ,因为 x ? (0,3] ,其图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 处的切线的斜率 k ? 恒成立, x x 2 1 a 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? , x ? (0,3] ,? a ? ? x 2 ? x , x ? (0,3] 恒成立,由 ? x 2 ? x ? ,? a ? .1 2 x x 2 2 2 2
试题分析: f ( x) ?
'

考点:导数的几何意义;不等式恒成立问题. 【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义;不等式恒成立问题等知识点求函数的切线方程的注意事项: (1)首先应判断所给点是不是切点,如果不是,要先设出切点. (2)切点既在原函数的图象上也在切线上, 可将切点代入两者的函数解析式建立方程组.(3)在切点处的导数值就是切线的斜率,这是求切线方程最重 要的条件. 16.【答案】 ②③④ .

【解析】解:由题意设动点坐标为(x,y),则利用题意及点到直线间的距离公式的得:|x+1||y﹣1|=k2, 对于①,将(﹣1,1)代入验证,此方程不过此点,所以①错; 对于②,把方程中的 x 被﹣2﹣x 代换,y 被 2﹣y 代换,方程不变,故此曲线关于(﹣1,1)对称.②正确 ;

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对于③,由题意知点 P 在曲线 C 上,点 A,B 分别在直线 l1,l2 上,则|PA|≥|x+1|,|PB|≥|y﹣1| ∴|PA|+|PB|≥2 =2k,③正确; 对于④,由题意知点 P 在曲线 C 上,根据对称性, 则四边形 P0P1P2P3 的面积=2|x+1|×2|y﹣1|=4|x+1||y﹣1|=4k2.所以④正确. 故答案为:②③④. 【点评】此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程,并化简,利用方程判断曲线的对称性,属于基础题 .   17.【答案】 3 .

【解析】解:直线 l 的方程为 ρcosθ=5,化为 x=5. 点(4, )化为 .

∴点到直线 l 的距离 d=5﹣2=3. 故答案为:3. 【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离,属于基础题.   18.【答案】 4 .

【解析】解:∵f′(x)=3cosx+4sinx, ∴f′( )=3cos +4sin =4.

故答案为:4. 【点评】本题考查了导数的运算法则,掌握求导公式是关键,属于基础题.  

三、解答题
19.【答案】 【解析】(1) [ 2 ? 2 2 ,0] ;(2) 2 .

b 2 b2 (1)由 a ? 1 且 b ? c ,得 f ( x) ? x ? bx ? b ? ( x ? ) ? b ? , 2 4 当 x ? 1 时, f (1) ? 1 ? b ? b ? 1 ,得 ? 1 ? b ? 0 ,…………3 分
2

? b b2 b 1 ? f ( x) min ? f (? ) ? b ? ? ?1 故 f ( x) 的对称轴 x ? ? ? [0, ] ,当 x ? 1 时, ? ,………… 5 分 2 4 2 2 ? f ( x) ? f (?1) ? 1 ? 1 max ? 解得 2 ? 2 2 ? b ? 2 ? 2 2 ,综上,实数 b 的取值范围为 [ 2 ? 2 2 ,0] ;…………7 分
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? 1 ? 1 ? 2 ,…………13 分
且当 a ? 2 , b ? 0 , c ? ?1 时,若 x ? 1 ,则 f ( x) ? 2 x ? 1 ? 1 恒成立,
2

且当 x ? 0 时, g ( x) ? ? x ? 2 取到最大值 2 . g ( x) 的最大值为 2.…………15 分
2

20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵函数 f(x)=lnx 的反函数为 g(x). ∴g(x)=ex.,f(﹣x)=ln(﹣x), 则函数的导数 g′(x)=ex,f′(x)= ,(x<0), 设直线 m 与 g(x)相切与点(x1, 则切线斜率 k2= = ),

,则 x1=1,k2=e, = ,则 x2=﹣e,k1=﹣ ,

设直线 l 与 f(x)相切与点(x2,ln(﹣x2)),则切线斜率 k1= 故 k2k1=﹣ ×e=﹣1,则 l⊥m. (Ⅱ)不妨设 a>b, ∵P﹣R=g( )﹣ = ﹣ =﹣

<0,∴P<R,

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∵P﹣Q=g(

)﹣

=



=

=

, 令 φ(x)=2x﹣ex+e﹣x,则 φ′(x)=2﹣ex﹣e﹣x<0,则 φ(x)在(0,+∞)上为减函数, 故 φ(x)<φ(0)=0, 取 x= ,则 a﹣b﹣ ? 令 t(x)= ﹣1+ 则 t′(x)= ﹣ , = ≥0, + <0,∴P<Q, = =1﹣

则 t(x)在(0,+∞)上单调递增, 故 t(x)>t(0)=0, 取 x=a﹣b,则 ∴R>Q, 综上,P<Q<R, 【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用作差法比较大小,考查学生的运算和推理能力,综合性 较强,难度较大.   21.【答案】 【解析】解:(1)当 a= 时,A={x| ∴A∩B={x|0<x<1} (2)若 A∩B=? 当 A=?时,有 a﹣1≥2a+1 ∴a≤﹣2 当 A≠?时,有 ∴﹣2<a≤ 综上可得, 或 a≥2 或 a≥2 },B={x|0<x<1} ﹣1+ >0,

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【点评】本题主要考查了集合交集的求解,解题时要注意由 A∩B=?时,要考虑集合 A=?的情况,体现了分类 讨论思想的应用.   22.【答案】 【解析】解:(1)∵函数 增函数, ∴g′(x)=﹣ + ≥0 在,mx﹣ ≤0,﹣2lnx﹣ <0, 上为

∴在上不存在一个 x0,使得 f(x0)>g(x0)成立. ②当 m>0 时,F′(x)=m+ ∵x∈,∴2e﹣2x≥0,mx2+m>0, ∴F′(x)>0 在恒成立. 故 F(x)在上单调递增, F(x) max=F(e)=me﹣ 只要 me﹣ ﹣4, . ,+∞) ﹣ = ,

﹣4>0,解得 m>

故 m 的取值范围是(

【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值,考查运算求解能力,推理论证能力 ; 考查化归与转化思想 . 对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细 解答.   23.【答案】 【解析】解 : (I)由题意可知,抛物线 y2=2px(p>0)的焦点坐标为 所以,直线 l 的方程为 由 消 y 并整理,得 … … ,准线方程为 .

设 A(x1,y1),B(x2,y2) 则 x1+x2=3p, 又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4,

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所以,3p+p=4,所以 p=1… (II)由(I)可知,抛物线的方程为 y2=2x. 由题意,直线 m 的方程为 y=kx+(2k﹣1).… 由方程组 可得 ky2﹣2y+4k﹣2=0(2)… 当 k=0 时,由方程(2),得 y=﹣1. 把 y=﹣1 代入 y2=2x,得 . .… (1)

这时.直线 m 与抛物线只有一个公共点 当 k≠0 时,方程(2)得判别式为△=4﹣4k(4k﹣2). 由△>0,即 4﹣4k(4k﹣2)>0,亦即 4k2﹣2k﹣1<0. 解得 于是,当 .

且 k≠0 时,方程(2)有两个不同的实根,从而方程组(1)有两组不同的解,这

时,直线 m 与抛物线有两个不同的公共点,… 因此,所求 m 的取值范围是 .…

【点评】本题考查抛物线的方程与性质,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于 中档题.   24.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查了向量的内积运算,三角函数的化简及性质的探讨,并与解三角形知识相互交 汇,对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求,难度为中等.

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