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福建省厦门市2016_2017学年高二数学下学期期中试题文

福建省厦门市 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 文
一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上 对应题目的答案标号涂黑.) 1. 已知 i 是虚数单位,若复数 z ? A. 3 B. 5
1 ? 2i ,则复数 z ? ( i



C. 3

D.5

2.下表是某厂 1—4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 用水量 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5

由散点图可知,用水量与月份之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程为 ? y =-0.7x+a, 则 a 等于( A.10.5 ) B.5.15 C.5.2
?x′=5x, ? ?y′=3y ?

D.5.25 后,曲线 C 变为

3.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换? 曲线 x′ +y′ =0,则曲线 C 的方程为( A.25x +9y =0
2 2 2 2

) C.9x +25y =0
2 2

B.25x +9y =1

2

2

D.9x +25y =1 )

2

2

4. 已知直线 l1 : (m ? 2) x ? y ? 5 ? 0 与 l2 : (m ? 2) x ? (3 ? m) y ? 2 ? 0 平行, 则实数 m 的值为 ( A. 4 B. 1 或 4 C. 1 或 2 D. 2 或 4 )

5.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,反设正确的是( A.假设三内角都不大于 60 度 C.假设三内角至多有一个大于 60 度 6.如图所示,程序框图的输出结果为( A.4
开始

B.假设三内角都大于 60 度 D.假设三内角至多有两个大于 60 度 ) C.6
k ?1
S ? 100?

B.5
S ?1

D.7

S ? 3S ?1
k ? k ?1
结束



输出 k

7. 函数 f(x)=4ln x-x 的大致图像是(

2

)

1

2 8. 若函数 f ( x ) ? x ?

1 ln x ? 1 在其定义域内的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 内不是单调函数, 则实数 k 2
) B. ?1,??? C. ?1,2? D. ? ,2 ?

的取值范围为( A. ?1, ? ? 2?

? 3?

?3 ?2

? ?

9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙 或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手 的话只有两句是对的,则获奖的歌手是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2 2

10.已知 P 是直线 l:kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB 是圆 C:x +y -2y= 0 的两条切线,切点 分别为 A,B,若四边形 PACB 的最小面积为 2,则 k 的值为( 1 A. 2 B.1
2

)

C.2
2

D. 3

11.设 P 、 Q 分别为 x ? ( y ? 6) ? 2 和椭圆 ( A. 5 2 ) B. 46 ? 2

x2 ? y 2 ? 1上的点,则 P 、 Q 两点间的最大距离是 10
C. 7 ? 2

D. 6 2 )

12.已知函数 f ( x) ? ln A. 1 ? ln 2

x 1 ? , g ( x) ? e x?2 ,若 g (m) ? f (n) 成立,则 n ? m 的最小值为( 2 2
C. 2 e ? 3
2 D. e ? 3

B. ln 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在答题卷上的相应题目作答. 13.关于 x 不等式 x ? 2x ? 3 ? 3 的解集是 14. 直线 ? cos? ? .

1 被圆 ? ? 1 所截得的弦长为________________. 2
1 1 1 ? 2 ? 2 ,由此类 2 h a b

15. 在直角三角形 ABC 中,两直角边分别为 a、 b ,设 h 为斜边上的高,则

比:三棱锥 S ? ABC 的三个侧棱 SA、SB、SC 两两垂直,且长分别为 a、b、c ,设棱锥底面

2

ABC 上的高为 h ,则



16.已知定义域为 R 的奇函数 y ? f ? x ? 的导函数为 y ? f ? ? x ? ,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ?

f ? x? x

? 0,

若 a? 是

1 ?1? f? ?, 2 ?2?

b ? ?2 f ? ?2? ,


? 1? c ? ? ln ? ? 2?

? 1? f ? ln ? , 则 a, b, c 的 大 小 关 系 正 确 的 ? 2?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.某中学将 100 名高二文科生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班 50 人.陈老师采用 A,

B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验.为了了解教学效果,期末考试后,陈老
师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析,画出频率分布直方图(如下图).记成绩不低于 90 分 者为“成绩优秀”.

(Ⅰ)根据频率分布直方图填写下面 2×2 列联表; 甲班(A 方式) 成绩优秀 成绩不优秀 总计 乙班(B 方式) 总计

(Ⅱ)判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为:“成绩优秀”与教学方式有关?

附:

. 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025

P(K2≥k)

3

k

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

18.设函数 f ? x ? ? x ? 2 ? x ? 2 , g ? x ? ? x ? (1)求不等式 f ? x ? ? g ? x ? 的解集;

1 . 2

(2)若 ?x ? R , f ? x ? ? t 2 ? 5t 恒成立,求实数 t 的取值范围.

19. 已知曲线 C1 的极坐标方程是 ? ? 1 ,在以极点 O 为原点,极轴为 x 轴的正半轴的平面直角坐标 系中,将曲线 C1 所有点的横坐标伸长为原来的 3 倍,得到曲线 C2 . (Ⅰ)求曲线 C2 的参数方程; (Ⅱ)直线 l 过点 M ?1,0? ,倾斜角为

? ,与曲线 C2 交于 A 、 B 两点,求 MA ? MB 的值. 4

20 .已知函数 f ? x ? ? x ? ? 2a ?1? x ? alnx, a ? R
2

(1)若函数 f ? x ? 在 1, f ?1? 处的切线垂直于 y 轴,求实数 a 的值; (2)试讨论函数 f ? x ? 的单调区间; (3)若 x ? 1 时, f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

?

?

21.已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 6x ? 0 关于直线 l1 : y ? 2 x ? 1对称的圆为 C . (1)求圆 C 的方程; (2)过点 ? ?1, 0? 作直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点, O 是坐标原点,是否存在这样的直线 l ,使得

OA ? OB .若存在,求出所有满足条件的直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.
4

22.已知函数 f ( x) ? 2e x ? 2 ? 2ax ? x2 ( x ? 0) (1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间,并证明此时 f ( x) ? 0 成立 (2)若 f ( x) ? 0 在 x ??0, ??? 上恒成立,求 a 的取值范围.

5

数 学(文)试 卷参考答案 一、选择题 1-5、BDADB 6-10、BBACC 14. 11-12、D

二、填空题 13. (??, ?6] ? [0, ??)

3

15.

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 16. a ? c ? b 2 h a b c

17 试题解析: (Ⅰ)由频率分布直方图可得,甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为 12,38,乙班 成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为 4,46. 甲班(A 方式) 成绩优秀 成绩不优秀 总计 12 38 50 乙班(B 方式) 4 46 50 总计 16 84 100

------------------------5 (Ⅱ)能判定,根据列联表中数据,K 的观测值
2

------------7 由于 4.762>3.841,--------8 所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为:“成绩优秀”与教学方式有关. ---------10

? ?4, x ? ?2 ? 18(Ⅰ)由题可得 f ? x ? ? ?2 x, ?2 ? x ? 2 , ?4, x ? 2 ?
9 9 ,所以 x ? ? ; 2 2 1 1 当 ?2 ? x ? 2 时,由 f ?x ? ? g ( x) 可得 x ? ,所以 ? x ? 2 ; 2 2 7 7 当 x ? 2 时,由 f ?x ? ? g ( x) 可得 x ? ,所以 2 ? x ? ; 2 2
当 x ? ?2 时,由 f ?x ? ? g ( x) 可得 x ? ? 综上可得,不等式 f ?x ? ? g ( x) 的解集为 ? ??, ? ? ? ? , ? . 2 2 2

? ?

9? ?

?1 7? ? ?

----------6

? ?4, x ? ?2 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ? x ? ? ?2 x, ?2 ? x ? 2 , ?4, x ? 2 ?

6

所以 f ? x ?min ? ?4 ,若 ? x∈R, f ? x ? ? t 2 ? 5t 恒成立,解得 1 ? t ? 4 , 综上, t 的取值范围为 ?1,4 ? .-----------------------------------12

19. (Ⅰ)曲线 C1 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 1 ,曲线 C2 的直角坐标方程为

x2 ? y2 ? 1 . 9

∴曲线 C2 的参数方程为 {

x ? 3cos? , y ? sin? .

------------6

2 t, x2 4 2 ? y2 ? 1 化 简 得 (Ⅱ)设 l 的参数方程为 { 代 入 曲 线 C2 的 方 程 9 ? 2 y ? 0 ? sin t ? t, 4 2 x ? 1 ? cos t ? 1?
8 5t 2 ? 2t ? 8 ? 0 ,∴ MA ? MB ? t1t2 ? . -------------------12 5
20. (1) a ? 1 (2) 见解析(3) 【解析】 【试题分析】 (1)依据题设运用导数的几何意义建立方程求解; (2)先对函数的求导,再结 合题设条件对参数 a 分类分析探求; (3)先求函数的导数,进而探求其最小值: (1) a ? 1 --------2 (2) a ? 0 ? 0,

?

? ?

1? ?1 ? ? ? ? , ?? ? ? 2? ?2 ?

0?a? a? a? 1 2

1 2

?0, a? ?

? 1? ? a, ? ? ? 2?

?1 ? ? , ?? ? ? ?2 ?

?0, ??? ?
? 1? ? 0, ? ? ? 2? ?1 ? ? ,a? ? ?2 ?

1 2

? a, ??? ? -----------8

(3)

----------4
2 2

21. (1) ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 9 (2)存在直线 x ? ?1 和 y ? x ? 1
2 试题解析: (1)圆 C1 化为标准为 ? x ? 3 ? ? y ? 9 , 2

设圆 C1 的圆心 C1 ? ?3,0? 关于直线 l1 : y ? 2 x ? 1的对称点为 C ? a, b? ,则 kCC1 kl ? ?1,

7

且 CC1 的中点 M ?

? a ?3 b ? , ? 在直线 l1 : y ? 2 x ? 1上, ? 2 2?

b ? 2 ? ?1 a?3 所以有 { , b ? a ? 3? ? ? 1 ? 0 2
解得: {

a ?1

b ? ?2


2 2

所以圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 9 .----------4

· ? 0 ,即: x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .----------5 (2)要使 OA ? OB ,必须使 OAOB
①当直线 l 的斜率不存在时,可得直线 l 的方程为 x ? ?1 ,与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 9
2 2

??? ? ??? ?

交 于两点 A ?1, 5 ? 2 , B ?1, ? 5 ? 2

?

?

?

? ?

OB ? ? ?1?? ?1? ? 因为 OA·

??? ? ??? ?

?

5 ? 2 ? 5 ? 2 ? 0 ,所以 OA ? OB ,所以当直线 l 的斜率不存在时,

??

直线 l : x ? ?1 满足条件.--------------------- -6 ②当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? . 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 由{

( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 2 2 2 2 得: ?1 ? k ? x ? ? 2k ? 4k ? 2 ? x ? k ? 4k ? 4 ? 0 . 由于点 ? ?1, 0? 在圆 C 内 y ? k ? x ? 1?

部,所以 ? ? 0 恒成立,

x1,2 ?

? 2k 2 ? 4k ? 2 ?

?

? ? 2k

2

? 4k ? 2 ? 4 1 ? k 2 k 2 ? 4k ? 4
2

? 2 ?1 ? k ?

2

?

??

?



2k 2 ? 4k ? 2 k 2 ? 4k ? 4 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? , 1? k 2 1? k 2

· ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 要使 OA ? OB ,必须使 OAOB
也就是:

??? ? ??? ?

k 2 ? 4k ? 4 ? k 2 ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? 0 1? k 2

8

整理得: 1 ? k

?

2

?

2 k 2 ? 4k ? 4 2 k ? 4k ? 2 ? k ? ? k2 ? 0 1? k 2 1? k 2

解得: k ? 1 ,所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1 ------------------12-存在直线 x ? ?1 和 y ? x ? 1 , 点睛:在处理平面解析几何时,往往先设出直线方程,但要注意直线的斜率是否存在,如本题 中当 斜率不存在时也符合题意. 21.(1)解:当 a=1 时,设 g(x)=f (x)=2(e -x-1),g (x)=2(e -1) ? 0,(x ? 0)? f (x)在[0,+ ? )上递
/ x / x /

增 , 即 x ? 0 时 f (x) ? f (0)=0, ? f(x) 的 增 区 间 为 [0,+ ? ) , 无 减 区 间 , 且 x ? 0 时 ,
/ /

f(x)=2e -2-2x-x ? f(0)=0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4(分)
x 2

(2)解法一:<1>当 a ? 1 时 f (x)=2(e -x-a) ? 2(x+1-x-a)=2(1-a) ? 0? x ? 0 时 f(x) ? f(0)=0
/ x

即当 a ? 1 时,f(x) ? 0 恒成立,x ? [0,+ ? ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6(分) <2>当 a>1 时,设 h(x)=f (x)=2(e -a-x),h (x )=2(e -1) ? 0, (x ? 0)? f (x)在[0,+ ? )上递增
/ x / x /

又 f (0)=2(1-a)<0,f (a)=2(e -2a)由(1)已证 2e -2-2x-x ? 0 知 e ? 1+x+
/ / a x 2 x

1 2 x 2

1 ? f/(a) ? 2(1+a+ a2-2a)=(a-1)2+1>0 ? f/(x)在(0,a)上存在唯一零点 xo,即 e xo -a-x0=0 , 2

? f(x)在(0,xo)上递减,在(xo,+ ? )上递增 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8(分)
又 f(xo)= 2 e o -2-2axo-xo =2( e o -1-x0 e o + g(x)=e -1-xe +
x x

x

2

x

x

1 2 xo ),令 2

1 2 / x x ,x ? (0,a),g (x)=x(1-e )<0, 2
? ? ? 12(分)

由<1><2>可知 a 的取值范围为(- ? ,1]. ? 当 x>0 时 g(x)<g(0)=0,即 f(xo)<0,不满足 f(x) ? 0 恒成立,

解法二:分离变量

x=0 时 f(0)=0,x>0 时 f(x) ? 0 ? a ?
x x

ex ?1?

1 1 2 xe x ? e x ? 1 ? x 2 x 2 / 2 =g(x),g (x)= , 2 x x

令 h(x)=xe -e +1增, 由洛比达法则

1 2 / x / x ,h (x)=x(e -1)>0? x>0 时 h(x)>h(0)=0? g (x)>0,即 g(x)在(0,+ ? )上递 2

lim x?0
?

g(x)=

lim x?0
?

(e -x)=1(适用于参加自主招生学生)

x

?a 的取值范围为(- ? ,1].
9


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