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高考中三角函数的考题


高考中三角函数的考题
一、以向量为背景的命题
例1、已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

练习 1:已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? (cos? , sin ? ) , c ? (?1,0) (Ⅰ)求向量 b ? c 的长度的最大值; (Ⅱ)设 a ?

?
4

,且 a ? (b ? c) ,求 cos ? 的值。

练习 2:设向量 a ? (4cos? ,sin ? ), b ? (sin ? ,4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ?

? ? ) 的值;

? 16 ,求证: a ∥ b .

二、以三角形为背景的命题 例 2、在 ?ABC 中, A, B 为锐角,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,且 cos 2 A ? (I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

3 10 ,sin B ? 5 10

2 ? 1 ,求 a, b, c 的值。

2 2 练 习 3 : 在 ?ABC 中 , 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c , 已 知 a ? c ? 2b , 且

s i nA c oC ? s

3 cos A

s i n b, C求
3 2 ,b ? ac ,求 B 。 2

练习 4:设 ?ABC 的内角 A 、 B 、C 的对边长分别为 a 、b 、c ,cos( A ? C ) ? cos B ?

三、可化为 y ? A sin( x ? ? ) ? B 的命题 ? 例 3、设函数 f(x)=cos(2x+

? 2 )+sin x. 3
1 C 1 ,f( )=- ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 4 3

(1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB=

练习 5:设函数 f ( x) ? sin(

?x ?

?x ? ) ? 2 cos 2 ?1 . 4 6 8

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期. (Ⅱ) 若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称, 求当 x ? [0, ] 时 y ? g ( x) 的最大值.

4 3

练习 1 答案: (1)解法 1: b ? c = (cos? ? 1,sin? ), 则

| b ? c |2 ? (cos? ?1)2 ? sin 2 ? ? 2(1 ? cos? ). ? ?1 ? cos? ? 1,?0 ?| b ? c |2 ? 4 ,即 0 ?| b ? c |? 2. 当 cos? ? ?1 时,有 | b ? c |? 2, 所以向量 b ? c 的长度的最大值为 2. 解法 2:? b |= 1 , | c |? 1 , | b ? c |?| b | + | c |? 2 | 当 cos? ? ?1 时,有 | b ? c |= (?2,0) ,即 | b ? c |= 2 , b ? c 的长度的最大值为 2. (2)解法 1:由已知可得 b ? c = (cos? ? 1,sin? ), a? b ? c) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos ? ? cos(? ? ? ) ? cos ? 。 ( ? a⊥(b+c),? a ? (b ? c) ? 0 ,即 cos(? ? ? ) ? cos ? 。 ? ? ? ? ? 由 ? ? ,得 cos( ? ? ) ? cos ,即 ? ? ? 2k? ? ( k ? z ) 。 4 4 4 4 4 ? ? ? ? 2k? ? 或? ? 2k? , ? z ) ,于是 cos ? ? 0或 cos ? ? 1 。 (k 4 ? 2 2 解法 2:若 ? ? ,则 a ? ( , ) ,又由 b ? (cos ? ,sin ? ) , c ? (?1, 0) 得 4 2 2 2 2 2 2 2 ? a⊥(b+c) ? a ? (b ? c) ? ( , ) ? (cos ? ? 1,sin ? ) ? cos ? ? sin ? ? 2 2 2 2 2 ? a ? (b ? c) ? 0 ,即 cos ? (cos ? ? 1) ? 0 ? sin ? ? 1 ? cos ? ,平方后化简得 cos ? (cos ? ? 1) ? 0 解得 cos ? ? 0 或 cos ? ? 1 ,经检验, cos ? ? 0或 cos ? ? 1 即为所求
练习 2 答案:由 a 与 b ? 2c 垂直, a ? (b ? 2c) ? a ? b ? 2a ? c ? 0 , 即 4sin(?
2



? ? ) ? 8cos(? ? ? ) ? 0 ,tan(? ? ? ) ? 2 ;b ? c ? (sin ? ? cos ? ,4cos ? ? 4sin ? )

练 习 3 答 案 : 解 法 一 : 在 ?ABC 中 ? sin A cos C ? 3cos A sin C, 则 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理 有 : a?

| b ? c | ? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos2 ? ? 16cos2 ? ? 32cos ? sin ? ?16sin2 ? ? 17 ? 30sin ? cos ? ? 17 ? 15sin 2? ,最大值为 32,所以 | b ? c | 的最大值为 4 2 。 由 tan ? tan ? ? 16 得 sin ? sin ? ? 16cos? cos ? ,即 4cos? ? 4cos ? ? sin ? sin ? ? 0 , 所以 a ∥ b .

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c 2 ? a 2 2 2 2 ?3 ? c, 化 简 并 整 理 得 : 2(a ? c ) ? b . 又 由 已 知 2ab 2bc 2 2 2 a ? c ? 2b ? 4b ? b .解得 b ? 4或b ? 0(舍) .
2 2 2 2 2

a ? c ? 2b , b ? 0 。 解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 b ? 2c cos A ? 2 …………………………………① 所以 sin A cos C ? 3cos A sin C ,? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C 又 sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4cos A sin C
由正弦定理得 sin B ?

由①,②解得 b ? 4 。

b sin C ,故 c A)?c ? C o s B?

b ? 4c cos A ………………………②

3 3 , 易想到先将 B ? ? ? ( A ? C ) 代入 cos( A ? C ) ? cos B ? 2 2 3 3 2 得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? 然后利用两角和与差的余弦公式展开得 sin A sin C ? ;又由 b ? ac , 2。 4 ( s 练习 4 答案: 分析: c 由o

? 2? 3 .故 B ? 或 。大部分考生 3 3 2 2? 1 s s? 做到这里忽略了检验,事实上,当 B? 时 , 由 c o B ? ? c oA ( C ? ) ? , 进 而 得 3 2
利用正弦定理进行边角互化,得 sin B ? sin A sin C ,进而得 sin B ?
2

cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ?

3 ? 2 ? 1 ,矛盾,应舍去。 2 2? 2 也可利用若 b ? ac 则 b ? a或b ? c 从而舍去 B ? 。不过这种方法学生不易想到。 3

练习 5 答案:解: (Ⅰ) f ( x ) = sin

?

4 6 4 6 ? ? 3 ? 3 ? = sin x ? cos x = 3 sin( x ? ) 4 3 2 4 2 4

x cos

?

? cos

?

x sin

?

? cos

?
4

x

故 f ( x ) 的最小正周期为 T =

2?

(Ⅱ)解法一:在 y ? g ( x) 的图象上任取一点 ( x, g ( x)) ,它关于 x ? 1 的对称点 (2 ? x, g ( x)) . 由题设条件,点 (2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上,从而

? 4

=8

3 s i n [? x ( ? =) 3 sin[ ? x ? ] = 3 cos( x ? ) 2 ] 4 3 2 4 3 4 3 3 ? ? ? 2? 4 当 0 ? x ? 时, ? x ? ? ,因此 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 4 3 4 3 3 3 ? 3 gm a ? 3 c o s? x 3 2 4 2 解法二:因区间 [0, ] 关于 x = 1 的对称区间为 [ , 2] ,且 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于 3 3 4 2 x = 1 对称,故 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值 3 3 ? ? 2 ? ? ? ? 由(Ⅰ)知 f ( x ) = 3 sin( x ? ) 当 ? x ? 2 时, ? ? ? ? 4 3 3 6 4 3 6 4 ? 3 因此 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 g max ? 3 sin ? . 3 6 2

g ( x )? f ( ? x ?) 2

?

?

?

?

?

?

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