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2014年高三嘉定区数学三模(理)


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2015-4-16

上海市嘉定区 2014 届高考第三次质量调研数学试卷(理)
一.填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1.已知 x ? C ,且 x ? ?4 ,则 x ? ____________.
2

2.方程 lg( x ? 3) ? lg x ? 1 的解 x ? ____________.
2 3.已知集合 A ? {x x ? 2 x ? 8 ? 0 , x ? Z} ,集合 B ? {x | x ? 2 |? 3 , x ? R} ,则 A ? B ? __________.

4.函数 y ? 2 cos ? ? 2x ? ? ? ? 的单调递减区间是__________________________. 5.若函数 y ?

2 x?? 1 3 ? 的图像关于直线 y ? x 对称,则实数 a 的值为_____________. x?a 6.若圆柱的侧面展开图是边长为 4 和 2 的矩形,则圆柱的体积为_________________.
7.已知 ? 、 ? 均为锐角,且 cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ,则 tan ? ? ___________. 8.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ( ? ? [0 , ? ] ) , b ? ( 3 , ? 1) ,则 | 2a ? b | 的取值范围是________. 9.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? ?

?

?

?

?

x ? 2 ? 2 cos? ( ? 为参数) ,以原点 O 为极点, x ? y ? ? 3 ? 2 sin ? 2 3 , ? ) ,则直线 l 轴正半轴为极轴建立极坐标系,若直线 l 上两点 A 、 B 的极坐标分别为 (2 , 0) 、 ( 3 2 与圆 C 的位置关系是____________.
n n ??

2 ? 4 ? ? ? 2 ? ____________. 10.计算: lim 1 ? 1 2 n Cn ? Cn ? ? ? Cn
11.若函数 f ( x) 是 R 上的奇函数, g ( x) 是 R 上的偶函数,且满足 f ( x) ? g ( x) ? e x ,将 f ( 2) 、 f (3) 、

g (0) 按从小到大的顺序排列为___________________.
12.在等差数列 {an } 中,an ? 0 ,当 n ? 2 时,an?1 ? a ? an?1 ? 0 ,S n 为 {an }
2 n

y P M F x

的前 n 项和,若 S 2 k ?1 ? 46 ,则 k ? __________. 2 y2 13 .如图, F 为双曲线 x 2 ? 2 ? 1 ( b ? a ? 0 )的右焦点,过 F 作直线 l 与 a b 圆 x 2 ? y 2 ? b 2 切于点 M , 与双曲线交于点 P , 且 M 恰为线段 PF 的中点, 则双曲线的渐近线方程是________________________.

O

第 13 题 图 14.函数 f ( x) ? cos(?x) 与函数 g ( x) ?| log2 | x ? 1 || 的图像所有交点的横坐标之和为___________. 二.选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15. “ a ? b ? 1 ”是“ | a |? 1 ,| b |? 1 ”的???????????????????????(
2 2



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 16.已知随机变量 ? 的分布律如下:

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

x
P(? ? x)
其中 a , b , c 成等差数列,若 ? 的均值 E (? ) ?

0

1

2

a

b

c

4 ,则 ? 的方差 D (? ) 等于????????( ) 3 1 1 5 7 A. B. C. D. 9 9 3 9 17.已知平面上三条直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 , x ? 1 ? 0 , x ? ky ? 0 ,如果这三条直线将平面分为六部分, 则实数 k 的个数是????????????????????????????????( )
A. 4 B. 3
x

C. 2

D. 1

18.若 a ? 1 ,设函数 f ( x) ? a ? x ? 4 的零点为 m ,函数 g ( x) ? loga x ? x ? 4 的零点为 n ,则

1 1 ? m n

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的取值范围是???????????????????????????????????(



A. (1 , 3) B. (3 , 5) C. (2 , ? ?) D. (1 , ? ?) 三.解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,PA ? 底面 ABCD , 点 M 是棱 PC 的中点, AM ? 平面 PBD . P (1)求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (2)求直线 PC 与平面 AMD 所成角的大小. M A B D

C

20. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 如图,某市拟在长为 8 千米的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM , 该曲线段为函数 y ? A sin ? x ( A ? 0 , ? ? 0 ) , x ? [0 , 4] 的图像,且图像的最高点为 S (3 , 2 3 ) ;赛 道的后一部分为折线段 MNP ,为保证参赛运动员的安全,限定 ?MNP ?

(1)求 A , ? 的值和线段 MP 的长; (2)设 ?PMN ? ? ,问 ? 为何值时,才能使折线段赛道 MNP 最长?

2? . 3 y 2 3

S

M

?

N P

O

3 4

8 x

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21. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 在等比数列 {an } 中,公比 q ? 1 ,等差数列 {bn } 满足 b1 ? a1 ? 3 , b4 ? a2 , b13 ? a3 . (1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (2)记 cn ? (?1) n ? bn ? an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n .

22. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 已知点 A(?2 , 0) , B(2 , 0) ,动点 C 、 D 依次满足 | AC |? 2 , AD ? (1)求动点 D 的轨迹方程; 且直线 l 与圆 x ? y ? 1 相切,求该椭圆的方程;
2 2

1 ( AB ? AC ) . 2
4 , 5

(2) 过点 A 作直线 l 交以 A 、B 为焦点的椭圆于 M 、N 两点, 若线段 MN 的中点到 y 轴的距离为

(3)经过(2)中椭圆的上顶点 G 作直线 m 、 n ,使 m ? n ,直线 m 、 n 分别交椭圆于点 P 、Q .求 证: PQ 必过 y 轴上一定点.

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23. (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 已 知 函 数 g ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 ? b ( a ? 0 ) 在 区 间 [2 , 3] 上 的 最 大 值 为 4 , 最 小 值 为 1 , 记

f ( x) ? g (| x |) .
(1)求实数 a , b 的值; (2)若不等式 f (log2 k ) ? f (2) 成立,求实数 k 的取值范围;
* n ? 3) (3) 对于任意满足 p ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? xn ? q (n?N , 的自变量 x0 , ?, x1 , x2 ,

xn , 如 果 存 在 一 个 常 数 M ? 0 , 使 得 定 义 在 区 间 [ p , q ] 上 的 一 个 函 数 m( x ) , 则称函数 m( x) 为区间 [ p , q] | m( x1 ) ? m( x0 ) | ? | m( x2 ) ? m( x1 ) | ??? | m( xn ) ? m( xn?1 ) |? M 恒成立, 上的有界变差函数.试判断函数 f ( x) 是否区间 [1 , 3] 上的有界变差函数,若是,求出 M 的最小值;若不
是,请说明理由.

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上海市嘉定区 2014 届高考第三次质量调研数学试卷(理)
参考答案与评分标准
一.填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1. ? 2i ; 2. 5 ; 6. 3。 {0 , 1} ; 4。 ?k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ?Z ) ; 5。 2 ; 3 ? ?

; 7。 1 ; 8。 [ 6 ? 2 , 4] ; 9。相交; 10。 2 ; ? ? 11. g (0) , f ( 2) , f (3) ; 12。 12 ; 13。 y ? ?2 x ; 14。 4 。 或 二.选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15.A; 16。C; 17。B; 18。D。 三.解答题(本大题满分 74 分,注:评分标准中解答题的得分按各步给出,非递进累计分) 19. (1)以 A 为原点, AB 、 AD 、 AP 所在直线为 z x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系.??(1 分) P 则 A(0 , 0 , 0) , B(1 , 0 , 0) , C (1 , 1 , 0) , D(0 , 1 , 0) , ??????????(1 分) 设 PA ? a ,则 P(0 , 0 , a) , 因为 M 是 PC 中点,所以 M ? 所以 AM ? ? A B M D y C

4

8

?1 1 a? , , ? ,??(1 分) ?2 2 2?

x

?1 1 a? , , ? , BD ? (?1 , 1 , 0) , BP ? (?1 , 0 , a) .????(1 分) ?2 2 2? 因为 AM ? 平面 PBD ,所以 AM ? BD , AM ? BP , 1 a2 ? 0 ,解得 a ? 1 .????????????(1 分) 所以 ? ? 2 2 1 所以 PA ? 1 ,四棱锥 P ? ABCD 的体积为 . ?????(1 分) 3
( 2 ) AM ? ?

? ?1 1 1? , , ? , AD ? (0 , 1 , 0) , 设 平 面 A M D 的 一 个 法 向 量 为 n ? ( x , y , z ) , 则 ?2 2 2? ?x ? y ? z ? 0 , ? x ? ?1 ,可得 n ? (?1 ,0 , 1) , ????????(3 分) ? ?y ? 0 ,
?

又 CP ? (?1 , ? 1 , 1) ,设 CP 与 n 的夹角为 ? ,则 cos ? ?

AM ? CP | AM | ? | CP |

?

2 2? 3

?

6 . 3

????????(2 分)

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所以,直线 PC 与平面 AMD 所成角的大小为 arcsin

6 . 3

??????(1 分)

20. (1)由题意, A ? 2 3 ,设函数 y ? A sin ? x 在 R 上的周期为 T ,则 又T ?

2?

?

,所以 ? ?

?
6

T ? 3, 4



??????(2 分)

所以 y ? 2 3 sin

?
6

x ,当 x ? 4 时, y ? 3 ,故 M (4 , 3) ,????(2 分)
(4 ? 8) 2 ? 3 2 ? 5 .????(1 分)

因为 P(8 , 0) ,所以 | MP |? 即 MP 的长为 5 千米.

??????????(1 分)

2? ? , ?PMN ? ? ,则 0 ? ? ? ,????(1 分) 3 3 | MP | | NP | | MN | ? ? 由正弦定理得, , 2? ? sin ? ? ? sin sin ? ? ? ? 3 ?3 ?
(2)在△ MNP 中, ?MNP ?

10 3 10 3 ? ? ? sin ? , | MN |? sin? ? ? ? , ????(2 分) 3 3 ?3 ? ? 10 3 ? ? 10 3 ? 1 3 ? 10 3 ? sin ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? cos ? 所以 | MN | ? | NP |? ? 3 3 3 ? 2 2 ?3 ? ? ?
所以 | NP |?

10 3 ? ?? sin?? ? ? , ??????(3 分) 3 3? ? ? ? 因为 0 ? ? ? ,所以当 ? ? 时,折线段赛道 MNP 最长. ????(2 分) 3 6 ?
21. (1)设等比数列 {an } 的公比为 q ,等差数列 {bn } 的公差为 d 。 由已知得, a2 ? 3q , a3 ? 3q 2 , b4 ? 3 ? 3d , b13 ? 3 ? 12d ,????(1 分) 所以,

?3q ? 3 ? 3d , ?q ? 1 ? d , 即? 2 解得 q ? 3 或 q ? 1 (舍去) ,所以 d ? 2 。??(3 分) ? 2 q ? 1 ? 4 d , ?3q ? 3 ? 12 d , ?
所以 an ? 3n , bn ? 2n ? 1。 ??(2 分) (2)由题意得 cn ? (?1) n ? bn ? an ? (?1) n ? (2n ? 1) ? 3n ,????(1 分) 所以,

S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? (?3 ? 5) ? (?7 ? 9) ? ? ? (?1) n?1 (2n ? 1) ? (?1) n (2n ? 1)
? (3 ? 32 ? ? ? 3n ) ,
????????(1 分)

3(1 ? 3n ) 3n?1 3 ? ? n ? ; ????(3 分) 1? 3 2 2 n n ?1 3(1 ? 3 ) 3 7 ? ? n ? 。 ????(3 分) 当 n 为奇数时, S n ? n ? 1 ? (2n ? 1) ? 1? 3 2 2
所以,当 n 为偶数时, S n ? n ?

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22. (1)解法一:设 C( x0 , y0 ) , D( x , y ) ,则 AC ? ( x0 ? 2 , y0 ) , ??(1 分) 又 AB ? (4 , 0) , AD ? ( x ? 2 , y) ? ?

? x0 ? 2 x ? 2 , y ? ? x0 ??(1 分) ? 3 , 0 ? ,则 ? 2? y ? 2 y , ? 2 ? 0
????(1 分) ????????(1 分)

2 代入 | AC | 2 ? ( x0 ? 2) 2 ? y0 ? 4 ,得 x 2 ? y 2 ? 1 ,

即动点 D 的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 1 . 由 | AC |? 2 得 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 ,
2 2

解法二:设 D( x , y ) ,由已知 AC ? 2 AD ? AB ? 2( x ? 2 , y) ? (4 , 0) ? (2x , 2 y) , (2 分) ??(1 分) 即动点 D 的轨迹方程为 x ? y ? 1 .????(1 分) (2)由题意,直线 l 的斜率存在.设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 设椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1( a ? 2 ) ,????(1 分) a2 a2 ? 4

? y ? kx ? 2 , ? 由 ? x2 得 (a 2 k 2 ? a 2 ? 4) x 2 ? 4a 2 k 2 x ? 4a 2 k 2 ? a 4 ? 4a 2 ? 0 。?(1 分) y2 ?1 , ? 2 ? 2 a ?4 ?a 1 | 2k | 2 2 由 l 与圆 x ? y ? 1 相切,得 ? 1 , k 2 ? , ????(1 分) 3 k 2 ?1 3 4 2 2 2 2 得 (a ? 3) x ? a x ? 4a ? a ? 0 。 4 a2 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 2 . ??????(1 分) a ?3 x ? x2 a2 4 又线段 MN 中点到 y 轴的距离 1 ? ? ,所以 a 2 ? 8 .????(1 分) 2 2 2(a ? 3) 5
x2 y2 ? ? 1 . ????(1 分) 8 4 2 2 ( 3 ) 由 ( 2 ) 知 G(0 , 2) , 设 直 线 m : y ? kx ? 2 , 代 入 椭 圆 方 程 得 x ? 2(kx ? 2) ? 8 , 即 ??????(1 分) (2k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 0 ,
所以所求椭圆的方程为 解得 P? ??

?

8k 2 ? 4k 2 , 2 2 ? 1 ? 2k 1 ? 2k

? ? ? . ??????(1 分) ?

同理,直线 n 的方程为 y ? ?

? 8k 1 2k 2 ? 4 ? x ? 2 , Q? ?k2 ? 2 , k2 ? 2 ? ? . ????(2 分) k ? ?

2 ? 4k 2 k 2 ? 1 ? 8k ? 故直线 PQ 的方程为 y ? ? ?x ? ? , ????(2 分) 2 3k ? 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ? 2 令 x ? 0 ,得 y ? ? . ????(1 分) 3 2? ? 所以,直线 PQ 经过定点 ? 0 , ? ? . ????(1 分) 3? ?

23. (1) g ( x) ? a( x ? 1) ? 1 ? b ? a ,
2

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因为 a ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 [2 , 3] 上是增函数,??(1 分)

故?

? g (2) ? 1 , ? g (3) ? 4 ,

????(2 分)

解得 a ? 1 , b ? 0 . ????(1 分) (2)由(1) g ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 ,故 f ( x) ? x 2 ? 2 | x | ?1是偶函数,??(2 分) 所以不等式 f (log2 k ) ? f (2) 可化为 | log2 k |? 2 , 解得 k ? ? 0 , ????(2 分)

? ?

1? ? ? (4 , ? ?) . ????????(2 分) 4?

2 ? ?x ? 2x ? 1 , x ? 1 , (3)因为 f ( x) ? ? 2 所以 f ( x) 为 [1 , 3] 上的单调递增函数,?(1 分) ? ?x ? 2x ? 1 , x ? 1 ,
* 则对于任意满足 1 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? xn ? 3( n ? N ,n ? 3 ) 的自变量 x0 ,x1 ,x2 , ?,xn ,

有 f (1) ? f ( x0 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn?1 ) ? f ( xn ) ? f (3) , ????????????????????????????(2 分) 所以,

| f ( x1 ) ? f ( x0 ) | ? | f ( x2 ) ? f ( x1 ) | ??? | f ( xn ) ? f ( xn?1 ) |? f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ? f ( xn ) ? f ( xn?1 ) ? f ( xn ? f ( x1 ) ? f (3) ? f (1) ? 4 ,
所以存在常数 M ? 4 ,使得 ????(3 分)

| m( x1 ) ? m( x0 ) | ? | m( x2 ) ? m( x1 ) | ??? | m( xn ) ? m( xn?1 ) |? M . ????(1 分)
函数 f ( x) 为区间 [1 , 3] 上的有界变差函数.即 M 的最小值为 4 . ??????(1 分)


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