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人教版高中数学必修2-3.1教学教案-倾斜角与斜率2

课题:倾斜角与斜率(教案) 【教学目标】 理解直线倾斜角与斜率的概念;掌握过两点的直线斜率计算公式及初步运用; 【教学重点、难点与关键】 1.重点:直线倾斜角与斜率角的概念 2.难点:斜率概念的学习和过两点斜率公式的建立过程 3.关键点:帮助学生寻找“数”、“形”之间的联系. 【教学方法与手段】 教学方法:发现式探究教学法 教学手段:多媒体辅助教学. 【教学过程】: 一、 利用斜拉式大桥引课: 如何固定钢索?这些钢索的位置关系怎么样? 利用平面直角坐标系画出右图: 两点确定一条直线,过一点直线不唯一. 经过点 P 一个直线 l 1, l 2 , l 3 ,… 区别在哪里呢? 这些直线倾斜程度不同. 怎样描述直线的倾斜程度呢?从而引出倾斜角的概念: 二、新课教学 (一)倾斜角的概念 定义:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方 向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角. 1.强调角的两边——直线向上的方向和 x 轴的正向; 顶点在 x 轴上. 2.探究 1:让学生讨论倾斜角的范围, 然后利用几何画板动画演示观察直线 l 与 x 轴的位置关系, 平行于 x 轴或与 x 轴重合的直线,我们规定它的倾斜角为 0 度. 数形结合,得出倾斜角的取值范围[0,π) 3.根据直线与 x 轴相交的四种情况,探求平面直角坐标系中一条直线位置的几何 要素: 1)平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角; 2)倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角; 3)倾斜角相同的直线位置不同 得出结论:可以用倾斜角表示直线的倾斜程度. 直线上的一个定点以及它的倾斜角可以确定平面直角坐标中的一条直 线位置. (二)直线的斜率的概念 一.课件展示汽车上坡图,回顾初中所学的坡度概念: 坡度(比)? 升高量 前进量 α “进 2 升 3”与“进 2 升 2”比较,哪个更陡一些? 比值即角 α 的正切值也可以表示直线的倾斜程度. 得出斜率的定义:一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. 通常用小写字母 k 表示,即 k ? tan(??? 90 ) 利用上式可以知角求斜率,列举特殊角的斜率. 学生探究 2:1)倾斜角是 900 的直线有斜率吗? 2)斜率与倾斜角有何联系? 说明:1)k 可看作关于 α 的函数,其定义域为 值域(-∞,+∞),画图象, 观察其单调性.理解斜率与倾斜角之间的对应关系. 2)倾斜角 α 不是 90°的直线都有斜率,并且倾斜角不同,直线的斜率也不 同. 3)有斜率必有倾斜角,有倾斜角未必有斜率. 因此,斜率是一个从“数”的方面表示直线的倾斜程度的量. 利用几何画板动画演示观察斜率与倾斜角的数值变化,图形变化: 得出结论:当 α 为锐角时,k>0 ,单调递增;当 α 为钝角时,k<0; 单调递增 当 α 为直角是,k 不存在,当 α 为 00,k=0. (三)直线的斜率坐标公式 直线上的一个定点以及它的倾斜角(斜率)可以确定平面直角坐标中的直线位 置. 学生探究 3:已知两点 P1( x1 ,y1), P2 ( x2 ,y2)可以确定一条直线,那 么又如何去求其斜率呢?: 板书:推导:给定两点 P1( x1 ,y1), P2 ( x2 ,y2), 并且 x1 ≠x2, P2 P1 Q 如何计算直线 P1 P2 的斜率 k. 1.如何把倾斜角转化到三角形中? P2 2、理清三点之间的坐标联系. α 为锐角时, ? ? ?QP1P2 , x1 ? x2 , y1 ? y2. Q P1 tan ? ? tan ?QP1P2 ? | QP2 | | P1Q | ? y2 x2 ? ? y1 x1 α 为钝角和 P1 P2 的顺序变化的三种情况利用(多媒体展示) 最终推导出斜率k ?的ta坐n标? ?公y式2 ?:y1 . 3.分析斜率公式: x2 ? x1 学生探究: 1.已知直线上两点 P1( x1 ,y1), P2 ( x2 ,y2) 运用上述公式计算直线 AB 斜率时,与 P1 P2 两点坐标的顺序有关吗? 2.公式中若 x1 =x2 时,斜率存在吗?此时直线与 x 轴的位置关系如何? 结合图象,直线与 y 轴平行或重合,说明此时斜率不存在. 此时倾斜角恰好为 900 3. 公式中,若 y1= y2 斜率存在吗?此时直线与 x 轴的位置关系如何? 结合图象,直线与 x 轴平行或重合,说明此时斜率存在且为 0. 师生共同总结: 则其斜率公式 使用条件是 x1 ≠x2 练习(选一选) k ? tan? ? y2 ? y1 . x2 ? x1 下列关于直线的倾斜角和斜率的说法,其中 是正确. A.任一条直线都有倾斜角,也都有斜率; B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大; C.平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0 或 π; D.两直线的斜率相等,它们的倾斜角相等 E.两直线的倾斜角相等,它们的斜率相等. F.直线斜率的范围是(-∞,+∞). (三)例题教学 例 1 如图 ,已知 A(3,2),B(-4,1), C(0,-1),求直线 AB,BC,CA 的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. (略讲) A B L3 L1 C 例 2、在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率为 1 L4 L2 变式:画出经过原点且斜率为-3 的直线 l2, 经过原点且斜率为 1 的直线易画: 理由:直线上的一个定点以及它的倾斜角可以 确定平面直角坐标中的直线位置. 学生探索:倾斜角不易找出时,如何准确画出直线? 教师点拔:利用两点确定一条直线原理作图较简. 练习:经过原点且斜率为 2 直线 l3 例3 已知 A(-3,-5),B(1,3),C(5,11)三点,证明这三点在同一条直线上. 根据学生回答,探求解题方法. 斜率法:用同一直线上任意两点所确定的斜率地相等的. 向量法: C

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