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2014年高二下3月理科数学月考试卷及答案


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本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两卷,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)
1.设 l、m、n 均为直线,其中 m、n 在平面 α 内,则“l⊥α”是“l⊥m 且 l⊥n”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知直线 m、n 和平面 α、β 满足 m⊥n,m⊥α,α⊥β,则 ( ) A.n⊥β B.n∥β,或 n?β C.n⊥α D.n∥α,或 n?α 3..若平面 α∥平面 β,直线 a∥平面 α,点 B∈β,则在平面 β 内且 过 B 点的所有直线中 ( ) A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在唯一与 a 平行的直线 4.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形,则原平面四边形的面 积等于( 2 2 2 2 2 A. a2 B.2 2a2 C. a2 D. a 4 2 3

)

5.如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧 视图都是直角三角形,其直角边均为 1,则该几何体的体 积为( )

A.

1 3

B.

1 2

C.

1 6

D.1 ( )

6.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面 A.必定都不是直角三角形 B.至多有一个直角三角形 C.至多有两个直角三角形 D.可能都是直角三角形 1 E,F,且 EF= ,则下列结论中错误的是( 2 A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.三棱锥 ABEF 的体积为定值 D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 )

7.如右图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点

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8.已知矩形 ABCD 的面积为 8,当矩形 ABCD 周长最小时,沿对角线 AC 把△ACD 折 起,则三棱锥 D
-ABC 的外接球表面积等于 ( )

A.8π C.48 2π

B.16π D.不确定的实数

9.已知 A、B、C、D 为同一球面上的四点,且连接每点间的线段长都等于 2,则球心 O 到平面 BCD 的距 离等于 ( ) A.

6 3

B.

6 6

C.

6 12

D.

6 18

10.三棱锥 P-ABC 的高 PO=8,AC=BC=3,∠ACB=30°,M、N 分别在 BC 和 PO 上,且 CM=x, PN=2CM,则下面四个图象中大致描绘了三棱锥 N-AMC 的体积 V 与 x 变 化关系 (x∈ (0,3))是 ( )

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 2 5 分)
11.设长方体的长、宽、高分别为 2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 。
? ? 12. 在 ?ABC 中, ?ACB ? 90 ,AB=8, ?ABC ? 60 ,PC ? 平面 ABC,PC=4,M 是 AB 上一个动点,则 PM 的最

小值为 . 13.长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2, BC ? 3, AA1 ? 5 ,则一只小虫从 A 点沿长方体的表面爬到 C1 点的最短距离是 。

14.在棱长为 1 的正方体 AC1 中,E 为 AB 的中点,点 P 为侧面 BB1C1C 内一动点(含边界),若动点 P 始
终满足 PE⊥BD1,则动点 P 的轨迹的长度为________. 15. 四面体 ABCD 中,有以下命题: ①若 AC⊥BD,AB⊥CD,则 AD⊥BC; ②若 E、F、G 分别是 BC,AB,CD 的中点,则∠EFG 的大小等于异面直线 AC 与 BD 所成角的大小; ③若点 O 是四面体 ABCD 外接球的球心,则 O 在面 ABD 上的射影是△ABD 的外心; ④若四个面是全等的三角形,则 ABCD 为正四面体. 其中正确命题序号是 .

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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16.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC,点 D 是 AB 的中点。 (1)求证:BC1//平面 CA1D; (2)求证:平面 CA1D⊥平面 AA1B1B。

17. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB//DC,Δ P AD 是等边三角形,已知 BD=2AD=8, AB=2DC=4 5 。 (1)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积。

0 18.在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 90 ,且异面 直线 A1 B 与 B1C1 所成的角等 0 于 60 ,设 AA1 ? a .

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐二面角的大小.

19.如图所示,已知 PA⊥⊙O 所在平面,AB 是⊙O 的直径,点 C 是⊙O 上任意一点,过 A 作 AE⊥PC 于 点 E,AF⊥PB 于点 F,求证: (1)AE⊥平面 PBC; (2)平面 PAC⊥平面 PBC; (3)PB⊥EF.
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20.如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是∠DAB=60° 的菱形,侧面 PAD 为正三角形,其所在 平面垂直于底面 ABCD. (1)求证:AD⊥PB. (2)若 E 为 BC 边的中点,能否在棱 PC 上找到一点 F,使平面 DEF⊥平面 ABCD?并证明你的结论.

21.三棱锥 P-ABC 中,PC、AC、BC 两两垂直,BC=PC=1,AC=2,E、F、G 分别是 AB、AC、AP 的中点。 (1)证明:平面 GFE//平面 PCB; (2)求二面角 B-AP-C 的正切值; (3)求直线 PF 与平面 PAB 所成角的正弦值。

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1~10 11~15

ADABA 6πa2 2 7

高二高二理科数学 参考答案 DDBBA

5 2

2 2

①③

16.解答: (1)连接 AC1 交 A1C 于 E,连接 DE,∵AA1C1C 为矩形,则 E 为 AC1 的中点。

又 CD ? 平面 CA1D,∴平面 CA1D⊥平面平面 AA1B1B。

又Δ PAD 是边长为 4 的等边三角形,∴PO= 2 3 。
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18.解:(1)? BC // B1C1 ,

? ?A1 BC 就是异面直线 A1 B 与 B1C1 所成的角,
即 ?A1 BC ? 60 ,??(2 分)
0

A1 B1 E A B

C1

连接 A1C ,又 AB ? AC ,则 A1 B ? A1C

F C

? ?A1 BC 为等边三角形,???????????4 分
0 由 AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 90 ? BC ? 2 ,

2 ? A1 B ? 2 ? 1 ? a ? 2 ? a ? 1;???5 分

(2)取 A1 B 的中点 E ,连接 B1 E ,过 E 作 EF ? BC1 于 F , 连接 B1 F , B1 E ? A1 B , A1C1 ? B1 E ? B1 E ? 平面 A1 BC1
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? B1 E ? BC1

又 EF ? BC1 ,所以 BC1 ? 平面 B1 EF ,即 B1 F ? BC1 ,

所以 ?B1 FE 就是平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐二面角的平面角。????7 分在 ?B1 EF 中, ?B1 EF ? 90 ,
0

B1 E ?

2 B F ? 1? 2 1 3 , 2 ,

?

sin ?B1 FE ?

B1 E 3 ? B1 F 2 ? ?B1 FE ? 600 ,??????????11 分
0
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因此平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐二面角的大小为 60 。????12 分 说明:取 B1C1 的中点 D ,连接 A1 D ,????同样给分(也给 12 分)

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19 证明:(1)因为 AB 是⊙O 的直径, 所以∠ACB=90° ,即 AC⊥BC. 又因为 PA⊥⊙O 所在平面,即 PA⊥平面 ABC. 又 BC?平面 ABC,所以 BC⊥PA. 又因为 AC∩PA=A,所以 BC⊥平面 PAC. 因为 AE?平面 PAC,所以 BC⊥AE. 又已知 AE⊥PC,PC∩BC=C, 所以 AE⊥平面 PBC. (2)因为 AE⊥平面 PBC,且 AE?平面 PAC, 所以平面 PAC⊥平面 PBC. (3)因为 AE⊥平面 PBC,且 PB?平面 PBC, 所以 AE⊥PB. 又 AF⊥PB 于点 F,且 AF∩AE=A, 所以 PB⊥平面 AEF. 又因为 EF?平面 AEF,所以 PB⊥EF.
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解析:(1)方法一,如图,取 AD 中点 G,连接 PG,BG,BD.

∵△PAD 为等边三角形,∴PG⊥AD, 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,∴PG⊥平面 ABCD. 在△ABD 中,∠A=60° ,AD=AB,∴△ABD 为等边三角形,∴BG⊥AD, ∴AD⊥平面 PBG,∴AD⊥PB. 方法二,如图,取 AD 中点 G ∵△PAD 为正三角形,∴PG⊥AD 又易知△ABD 为正三角形 ∴AD⊥BG. 又 BG,PG 为平面 PBG 内的两条相交直线, ∴AD⊥平面 PBG. ∴AD⊥PB. (2)连接 CG 与 DE 相交于 H 点, 在△PGC 中作 HF∥PG,交 PC 于 F 点, ∴FH⊥平面 ABCD, ∴平面 DHF⊥平面 ABCD, ∵H 是 CG 的中点,∴F 是 PC 的中点, ∴在 PC 上存在一点 F,即为 PC 的中点,使得平面 DEF⊥平面 ABCD.
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21.解答: (1)因为 E、F、G 分别是 AB、AC、AP 的中点,所以 EF//BC,GF//CP。因为 EF,GF ?
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平面 PCB,所以 EF//平面 PCB,GF//平面 PCB。又 EF∩GF=F,所以平面 GFE//平面 PCB。

(2)过点 C 在平面 PAC 内作 CH⊥PA,垂足为 H,连接 HB。



为 BC⊥PC,BC⊥AC,且 PC∩AC=C,所以 BC⊥平面 PAC,所以 HB⊥PA,所以∠BHC 是二面角 B-AP-C 的平面角。依条件容易求出 CH=
2 1 5 ,所以 tan∠BHC= ,所以二面角 B-AP-C ? 2 2 5 5

的正切值是

5 。 2

(3)如图,设 PB 的中点为 K,连接 KC,AK,因为Δ PCB 为等腰直角三角形,所以 KC⊥ PB;又 AC⊥PC,AC⊥BC,且 PC∩BC=C,所以 AC⊥平面 PCB,所以 AK⊥PB,又因为 AK∩KC=K, 所以 PB⊥平面 AKC;又 PB ? 平面 PAB,所以平面 AKC⊥平面 PAB。在平面 AKC 内,过点 F 作 FM⊥AK,垂足为 M。因为平面 AKC⊥平面 PAB,所以 FM⊥平面 PAB,连接 PM,则∠MPF 是直线
1 1 2 PF 与平面 PAB 所成的角。容易求出 PF= 2 ,FM= ,所以 sin∠MPF= 3 = .即直线 PF 与 3 2 6

平面 PAB 所成的角的正弦值是
新课 标第 一 网

2 6

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