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高中数学立体几何常考证明题汇总2 - 副本


立体几何常考证明题汇总
考点:线面平行的判定(利用三角形中位线) ,面面垂直的判定 1、如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是 AA1 的中点. (1)求证: A1C // 平面 BDE ; (2)求证:平面 A1 AC ? 平面 BDE .

考点:线面平行的判定(利用平行四边形) ,线面垂直的判定 2、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点.

D1 A1 D O A B B1

C1

? 面 AB1D1 . 求证:(1) C1O∥面 AB1D1 ;(2) AC 1

C

考点:面面平行的判定(利用三角形中位线)

3、如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、 C1 D1 的中点.求证:平面 D1 EF ∥ 平面 BDG .

(练习考点) :面面平行的判定(利用平行四边形) 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中.(1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. A1 E D A 考点:线面垂直,面面垂直的判定 3、如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC , AD ? BD , E 是 AB 的中点。 求证: (1) AB ? 平面 CDE; (2)平面 CDE ? 平面 ABC 。 E A D1 B1 F G B C C1

B

C

D

(练习)已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90? , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,求证: AD ? 面 SBC .

S

D A C B

考点:线面垂直的判定,构造直角三角形 4、已知 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , AB ? 2 , PA ? AD ? 4 , E 为 BC 的中点. (1)求证: DE ? 平面 PAE ; (2)求直线 DP 与平面 PAE 所成的角.

练习:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直 如图 1,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证: A1O ? 平面 MBD.

综合题: 1.如图,四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 为矩形, ?PAD 为等腰三 角 形 , ?APD ? 90 , 平 面 PAD ?
?

平面 ABCD ,且

A B? 1 , A D ? 2, . E F 分别为 PC 和 BD 的中点.
(1)证明: EF / / 平面 PAD ; (2)证明:平面 PDC ? 平面 PAD ; (3)求四棱锥 P ? ABCD 的体积.

P E D F A B C

2.在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ? 1, AA1 ? 2 ,
D1

(1) 求证: AD ∥面 D1 BC ;
A1

C1

(2) 证明: AC ? BD1 ; (3) 一 只 蜜 蜂 在 长 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 飞 行 , 求 它 飞 入 三 棱 锥

B1

D1 ? ABC 内的概率.

D

C

A

B

3.如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2.
(I)求证: AO ? 平面 BCD; (III)求点 E 到平面 ACD 的距离.

A

D O C

B

E

4.在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点。 (1)求证:EF//平面 ABC1 D1 ; (2)求证:EF ? B1C ; (3)求三棱锥 B1 ? EFC 的体积 V。

立体几何中的三视图问题
1.已知某几何体的直观图(图 1)与它的三视图(图 2),其中俯视图为正三角形,其它两个视图是矩形.已知 D 是 这个几何体的棱 A1C1 上的中点。 (1)求出该几何体的体积; (2)求证:直线 BC1 / / 平面AB1 D ; (3)求证:平面 AB1 D ? 平面AA1 D .

C1 D A1 B1 3 _

图 1 C 3 _ A B

图2

2.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD 垂直于底面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, DC / / AB, ?BAD ? 90 , 且 AB ? 2 AD ? 2DC ? 2PD ? 4 (单位: cm ), E 为 PA 的中点。 (1)如图,若正视方向与 AD 平行,请在下面(答题区)方框内作出该几何体的正视图并求出正视图面积; (2)证明: DE / / 平面 PBC ; (3)证明: DE ? 平面 PAB ;
E D
正视图

?

P

C B

A

3.一个三棱柱 ABC ? A1B1C1 直观图和三视图如图所示(主视图、俯视图都是矩形,左视图是直角三角形) ,设 E 、 F 分别为 AA1 和 B1C1 的中点. (Ⅰ)求几何体 E ? B1C1CB 的体积; (Ⅱ)证明: A1 F // 平面 EBC1 ; (Ⅲ)证明:平面 EBC ? 平面 EB1C1 .

C

C1

3
主视图

F
B A E
A1

1
左视图

B1

2
俯视图 视图

立体几何中的动点问题
1.已知四边形 ABCD 为矩形,

AD ? 4, AB ? 2, E 、 F 分别是线段 AB 、

P

BC 的中点, PA ? 平面 ABCD.
(1)求证: PF ? FD ;
B

A E

D C

·
F

(2)设点 G 在 PA 上,且 EG / / 平面 PFD ,试确定点 G 的位置.

?ADB ? 60 , E, F 分别是AC,AD上的动点, 2.在 ?BCD 中, BC ? CD ? 1, AB ? 平面BCD , ?BCD ? 90 ,
0
0



AE AF = =? ,(0<? <1) AC AD
(1)求证:不论 ? 为何值,总有 EF ? 平面ABC; (2)若 ? =

1 , 求三棱锥 A-BEF 的体积. 2

立体几何中的翻折问题
1.如图1,在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 4, AD ? CD ? 2 .将 ?ADE 沿 AC 折起,使平面

ADE ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图2所示. (Ⅰ) 求证: BC ? 平面 ACD ; (Ⅱ) 求几何体 D ? ABC 的体积.
D C

D

C

A 图1

B

A 图2

B

2.如图 6,在直角梯形 ABCP 中,AP//BC,AP ? AB,AB=BC=

1 AP ? 2 ,D 是 AP 的中点,E,F,G 分别为 PC、PD、 2

CB 的中点,将 ?PCD 沿 CD 折起,使得 PD ? 平面 ABCD,如图 7. (Ⅰ)求证:AP//平面 EFG; (Ⅲ)求三棱椎 D ? PAB 的体积.
B G C

E

A

D

F
P E

P

图6
G F A

B

C

D

图7

不规则图形的立体几何问题
(本小题满分 14 分) 如图 5, 已知 ?ABC 内接于圆 O ,AB 是圆 O 的直径, 四边形 DBCE 为平行四边形,EC ? 平面 ABC , AB ? 2 AC ? 2 , tan ?DAB ?

3 . 2 ⑴设 F 是 CD 的中点,证明: OF // 平面 ADE ;
⑵求点 B 到平面 ADE 的距离; ⑶画出四棱锥 A ? BCED 的正视图(圆 O 在水平面, ABD 在正面,要求标明垂直关系与至少一边的长) .

E D
C

A

O

B
图5

(非常规: ) 考点:线面垂直的判定,二面角的求法(定义法) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ?DAB ? 60 且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 是等边三角形,且
0

平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1)若 G 为 AD 的中点,求证: BG ? 平面 PAD ; (2)求证: AD ? PB ; (3)求二面角 A ? BC ? P 的大小.


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