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2012年上海市复兴高级中学高年级第二学期数学练习卷01

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2012 年上海市复兴高级中学高一年级第二学期期末数学练习卷
本试卷满分 100 分,考试时间 90 分钟. 一.填空题(本大题满分 36 分)

15.如图是函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 最低点, MC ? x 轴,且矩形 MBNC 的面积为 . (A)

?
2

M N ) 在一个周期内的图像, 、 分别是其最高点、

1 1.函数 y ? sin 2 x 的最小正周期是 2

.

?? ? 2. tan x ? tan ? ? x ? 的值是 ?2 ?

?? ? 3.已知角 ? 的终边过点 P (1, 2) ,则 tan ? ? ? ? ? . 4? ? 4.已知函数 y ? f ?1 ( x) 是 y ? f (x) 的反函数,若函数 f ( x) ? log2 ( x ? 4) ,则 f

1 . 6

(B)

7 . 6

(C)

2 . 6

7? ,则 A ? ? 的值为 ( 12 7 (D) . 12

y
)
O

M

B

?1

(2) =

.

2 2 16. 把 a sin ? ? b cos ? ( ab ? 0 )化成 a ? b sin ?? ? ? ? 时,以下关于辅助角 ? 的表述中,不正确的

? 12 C

.

5? 6 .

x

N

? ?? ? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? sin(? ? ? )cos( ? ? ) 的值是 . 2 ?2 ? 2 6.设扇形的周长为 8cm ,面积为 4cm ,则该扇形的圆心角的弧度数是 7.已知 sin ? ? cos ? ? ?1 ,则 sin ? cos ? ? . 8. ?ABC 中, ?A ? 30?, ?C ? 105?, BC ? 2 ,则 AC ?
5. sin ?

是( . . . .

)

(A) 辅助角 ? 一定同时满足 sin ? ?

b a ?b
2 2

, cos ? ?

a a ? b2
2

.

(B) 满足条件的辅助角 ? 一定是方程 tan x ? (C) 满足方程 tan x ?

9.对任意实数 m ,函数 f ( x) ? m ? arcsin x ? 1的图像都过定点 P ,则点 P 的坐标为 10.关于 x 的方程 ( 3 ? tan x) cos x ? t ? 0 在 R 上恒有解,则实数 t 的最大值是 11.已知 tan(? ? ? ) ?

b 的解. a

1 ? 1 ,tan(? ? ) ? ? , 则以下结论中, 正确的有 2 4 3 ? 1 ① tan( ? ? ) ? 1; ② ? ? k? (k ? Z) ; ③ ? ? arctan . 4 2

(填入所有正确结论的编号) .

b 的角 x 一定都是符合条件的辅助角 ? . a (D) 在平面直角坐标系中,满足条件的辅助角 ? 的终边都重合.
三.解答题(本大题满分 52 分) 17. (本题满分 10 分) 求函数 f ( x) ? lg(9 ? x2 ) 的定义域、值域并指出其单调递增区间(不必证明) .

3 2 12.有一同学在研究方程 x ? x ? 1 ? 0 的实数解的个数时发现,将方程等价转换为 x ? ....
2

1 后, x ?1

方程的解可视为函数 y ? x 2 的图像与函数 y ? 方程 x | sin

?
2

1 的图像交点的横坐标.结合该同学的解题启示, x ?1
个. 18. (本题满分 12 分)本题共 2 个小题,每小题满分各 6 分. ) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边依次为 a、b、c , bc ? 2lg 2 ? 2lg 5 ? 3 ,

x |? x ? x 的解的个数为

二.选择题(本大题满分 12 分) 13.若 sin ? ?

3 4 ?? ? , cos ? ? ? ,? ? ? , ? ? ,则 m 的取值是( m 5 ?2 ?
(B)

(A)

? ??, ?3? ? ?3, ??? .
?
6

?3,??? .
1 ”的 2

(C)

?5? .
( )

(D)

??5,5? .

且 sin

A 5 ? . (1)求 ?ABC 的面积; (2)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值. 2 5

14.“ ? ? 2k? ?

(k ? Z) ”是“ sin ? ?

(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件.(C) 充要条件.

(D) 既非充分又非必要条件.

1

19. (本题满分 14 分)本题共 3 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2、3 小题满分各 3 分. 如图,函数 f ( x) ? Asin(?x ? ? )(A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ) 的图像过点 (0, 1) . (1)求证: ? ?

?
6

,并写出 f ( x ) 的解析式;

(2)指出函数 f ( x ) 的单调递增区间; (3)解方程 f ( x) ? ? 3 .

20. (本题满分 16 分)本题共 3 个小题, 第 1、2 小题满分各 5 分,第 3 小题满分 6 分. 如图,某小区准备在一直角围墙 ABC 内的空地上植造一块“绿地 ?ABD ” (点 D 在线段 BC 上) , 设 AB 长为 a , BC 长为 b , ?BAD ? ? .现规划在 ?ABD 的内接正方形 BEFG 内种花,其余地方种草, 且把种草的面积 S1 与种花的面积 S2 的比值

S1 称为“草花比 y ”. S2
C D

(1)求证:正方形 BEFG 的边长为

a tan ? ; 1 ? tan ?

(2)将草花比 y 表示成 ? 的函数关系式; (3)当 ? 为何值时, y 有最小值?并求出相应的最小值.
F

G

A

E

B

2

2012 年上海市复兴高级中学高一年级第二学期期末数学练习卷参考答案及评分标准 一.填空题 7.0; 1. ? ; 2.1; 3.-3; 4.0; 5. ?1 ; 6.2;

所以原方程的解集为 ? x x ? 4k? ? (或: ? x x ? 2k? ? (?1)k ?1

? ?

5? ? 或x ? 4k? ? ? , k ? Z ? 3 ?
(14 分)

8. 2 2 ;9. (0,-1) ;10. 2; 11.①②; 12. 4. 13. C;14. A;15. B;16. C
2

? ?

?
3

?

?

? , k ? Z? ) 3 ?

二.选择题

三.解答题 17.∵ 9 ? x ? 0 (2 分) ∴-3<x<3, ∴f(x)的定义域是(-3,3) 又 0<9-x ≤9, ∴lg(9-x )≤2lg3,
2 2

20. (1)设正方形 BEFG 的边长为 t ,则 AE=a-t,由 (4 分) (7 分) (10 分) (2 分) (4 分) (6 分) 则 S1 ?

∴f(x)的值域是(-∞,2lg3]

FG DG t a tan ? ? t ? ,得 ? AB DB a a tan ? a tan ? (或:因为 AE=tcot ? , a-t=tcot ? ),解得 t ? , (5 分) 1 ? tan ? 1 2 a 2 tan 2 ? a tan ? , S2 ? 2 (1 ? tan ? )2
(8 分)

f(x)单调递增区间是(-3,0](或(-3,0) ) 18. (1)由 bc ? 2lg 2 ? 2lg 5 ? 3 ,得 bc ? 5 ,

(2) BD ? a tan ? , ?ABD 的面积为

3 4 A 5 2 A 又因为 sin ? ,? cos A ? 1 ? 2 sin = ,∴ sin A ? 2 5 5 2 5 1 ? S?ABC ? bc sin A ? 2 2
2 2 2

1 2 1 a 2 tan 2 ? a tan ? ? S2 ? a 2 tan ? ? 2 2 (1 ? tan ? )2

所以 y ?

S1 (1 ? tan ? )2 b ? ? ? ? 1 ? ? ? (0, arctan ] ? a ? S2 2 tan ? ?
1 1 (x ? ) 2 x

(10 分)

(2)对于 bc ? 5 ,又 b ? c ? 6 ,由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 20 (10 分)

?a ? 2 5
19.(1)证明:由图知 A=2

(12 分) (1 分)

(3)设 tan ? ? x ,则 y ? ①当 a ? b 时,

T 1 ? ( x0 ? 2? ) ? x0 , T ? 4? , ∴ ? ? (3 分) 2 2 1 ? 5? ∵f(x)过点(0,1), A sin ? ? 1 ? sin ? ? ,又∵ ? ? ? ,∴ ? ? 或 (5 分) 2 6 6 5? ? 2? (k ? Z ,取 k=1 知 x>0 的第一个最值为最小值而不是 ) 若? ? ,由 ? x ? ? ? k? ? ? x ? 2k ?? 6 2 3
最大值,∴ ? ? 故将 ? ?

b ? ? 1 , x ? 1 即 ? ? 时取最小值,最小值为 1. a 4 b b 1 1 ②当 a>b 时, x ?(0, ], <1, y ? ( x ? ) 是减函数, a a 2 x b 1 b a 所以当 ? ? arctan 时取最小值,最小值为 ( ? ) a 2 a b

(14 分)

(16 分)

?
6

(由图像结合单调性亦可。或说明函数 f ( x) ? 2 sin( (7 分)

1 5? ? 4 ? x? ) 图像在 ?0, ? ? 下降, 2 6 ? 3 ?

5 ? 舍去也可) 6
此时 f ( x) ? 2 sin(

1 ? x? ) 2 6

(8 分)

(2)由 2k? ?

?
2

?

1 ? ? x ? ? 2k? ? 得函数 f ( x) 的单调递增区间是 2 6 2

4? 2? ? ? (11 分) ? 4k? ? 3 , 4k? ? 3 ? (k ?Z) ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 2? (3)由 2sin( x ? ) ? ? 3 得 x ? ? 2k? ? 或 x ? ? 2k? ? 2 6 2 6 3 2 6 3
3

2012 年上海市复兴高级中学高一年级第二学期期末数学练习卷
本试卷共有 21 道试题,满分 100 分,考试时间 90 分钟。 一、填空题(本大题满分 36 分) 1、函数 f ( x) ? log3 ( x ? 3) 的反函数的图像与 y 轴的交点坐标是 ________

n ? ? 1 2 3 ??? n ? 2 n ? 1 ? ? n 1 ? ? 2 3 4 ??? n ? 1 n 1 2 ? 中,记位于第 i 行第 j 列的数 10、在 n 行 n 列矩阵 ? 3 4 5 ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? n 1 2 ??? n ? 3 n ? 2 n ? 1? ? ?
为 aij (i, j ? 1, 2 ???, n) 。当 n ? 9 时, a11 ? a22 ? a33 ? ??? ? a99 ? ___________

2、 对任意不等于 1 的正数 a , 函数 f ( x) ? loga ( x ? 3) 的反函数的图像都过点 P, 则点 P 的坐标是_______

cos
3、行列式

?
3 3

sin cos

?
6

w. k.

11、已知函数 f ( x) ? sin x ? tan x .项数为 27 的等差数列 ?an ? 满足 a n ? ? ?

? ? ?? , ? ,且公差 d ? 0 . ? 2 2?

sin

?

?
6

的值为__________ 若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a27 ) ? 0 ,则当 k =_________时, f (ak ) ? 0 . 12、将函数 y ?

4 5 x
4、若行列式 1 x 3 中,元素 4 的代数余子式大于 0,则 x 满足的条件是___________

w.w. k

6 4 ? 6 x ? x 2 ? 2 ( x ? ?0,?) 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角 ? (0 ? ? ? ? ) ,

7 8 9

得到曲线 C .若对于每一个旋转角 ? ,曲线 C 都是一个函数的图像,则 ? 的最大值为____________. 二、选择题(本大题满分 16 分) 13、 “ x ? 2k? ?

? ? ?? ? ? ? ? ? 5、若向量 a、 满足 a ? 1, b ? 2, 且 a 与 b 的夹角为 ,则 a ? b =____________ b 3
6、函数 f ( x) ? 3 sin x ? sin ?

?
4

? k ? Z ? ”是“ tan x ? 1 ”成立的

[答](



?? ? ? x ? 的最大值是______________ ?2 ?

(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C )充分条件. (D)既不充分也不必要条件.

7、设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数.若当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? lg x , 则满足 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是__________________ 8、方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解可视为函数 y ? x ? 2 的图像与函数 y ?
2

1 x 14、若 x0 是方程 ( ) ? x 3 的解,则 x0 属于区间 2
(A) (

1

[答] (



1 的图像交点的横坐标。 x

1 1 ) (D) 0, ( ) 2 3 1 1 1 15、某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为 , , 则此人能 13 11 5
(B) ( (C) , (
[来源:

2 , 1 ). 3

1 2 , ). 2 3

1 3

[答](



若方程 x ? ax ? 4 ? 0 的各个实根 x1 , x2 ,? xk (k ? 4) 所对应的点 ? x i , ?
4

? ?

4? ? (I=1,2,?,k)均在 x1 ? ?

A)不能作出这样的三角形 B)作出一个锐角三角形.C)作出一个直角三角形.D) 作出一个钝角三角形.

直线 y ? x 的同侧,则实数 a 的取值范围是_________________

16、在 ?ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ?ABC 的形状是 (A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形. (D)不能确定.





时 9、当 0 ? x ? 1 ,不等式 sin

?x
2

? kx 成立,则实数 k 的取值范围是___________

4

三、解答题(本大题满分 48 分) 17、 (本题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) .
Com 科

20、 (本题满分 10 分)若实数 x 、 y 、 m 满足 x ? m ? y ? m ,则称 x 比 y 远离 m . (1) 若 x ? 1 比 1 远离 0,求 x 的取值 范围;
2

(1)若 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围; (2)若 g (x) 是以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时,有 g ( x) ? f ( x) , 求函数 y ? g (x) ( x ? [1, 2]) 的反函数.

(2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,证明: a ? b 比 a b ? ab 远离 2ab ab ;
3 3 2 2

(3) 已知函数 f ( x ) 的定义域 D ? ?? x x ?

?? ??

? k? ? ? , k ? Z , x ? R ? .任取 x ? D ,f ( x) 等于 sin x 和 cos x 2 4 ?

中远离 0 的那个值.写出函数 f ( x ) 的解析式,并指出它的基本性质(结论不要求证明).

18、 (本题满分 8 分)

g 已知函数 f ( x) ? sin 2 x , ( x) ? cos ? 2 x ?
N 两点。 (1) 当 t ?

? ?

??

? ,直线 x ? t (t ? R) 与函数 f ( x)、g ( x) 的图像分别交于 M、 6?

[来源:学

21、 (本题满分 12 分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,

以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度) ,则救援船恰在失事 船的正南方向 12 海里 A 处,如图. 现假设:

? ? ?? 时,求 | MN | 值;(2) 求 | MN | 在 t ? ?0, ? 时的最大值. 4 ? 2?

①失事船的移动路径可视为抛物线 y ? 12 x2 ; 49 ②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援; ③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7t . (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
O A

y P

x

19. (本题满分 10 分)如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120 的扇形 AOB 。小区的两个出入口 设置在点 A 及点 C 处,且小区里有一条平行于 BO 的小路 CD 。已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分 钟,从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟。若此人步行的速度为每分钟 50 米, 求该扇形的半径 OA 的长(精确到 1 米) C A D O B

o

5

2012 年上海市复兴高级中学高一年级第二学期期末数学练习卷答案:
1、 (0,?2) ;2、 (0,?2) ;3、0;4、 x ?



21、 (本题满分 12 分)

8 ;5、 7;6、2; 3
.k. .w.k

海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 y 轴正方向
2 . 3

7、(-1,0)∪(1,+∞) ;8、(-∞, -6)∪(6,+∞) ; 9 ;10、45; 11、14; 12、 arctan 13、A ;14、C ;15、D ;16、C ; 17、解: (1)由 ?

建立平面直角坐标系 (以 1 海里为单位长度) 则救援船恰在失事船的正南方向 12 海里 A 处, , 如图. 现假设: ①失事船的移动路径可视为抛物线 y ? 12 x2 ; 49
2?2 x x ?1

y P

?2 ? 2 x ? 0 ?2 ,得 ? 1 ? x ? 1 . 由 0 ? lg(2 ? 2x) ? lg( x ? 1) ? lg 2x ?1x ? 1 得 1 ? ? x ?1 ? 0
2 3 1 3

? 10

②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援; ③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7t . (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时 两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?

O A

x

? ?1 ? x ? 1 因为 x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 10 x ? 10 , ? ? x ? . 由 ? 2 得? 2 ? x ? 1. 3 3 ?3?x?1 3 ? (2)当 x?[1,2]时,2-x?[0,1],因此 y ? g ( x) ? g ( x ? 2) ? g (2 ? x) ? f (2 ? x) ? lg(3 ? x)

由单调性可得 y ? [0, lg 2] .因为 x ? 3 ? 10y ,所以所求反函数是 y ? 3 ? 10x , x ?[0, lg 2]
3 18、 ⑴ ;⑵ 3 2 19、 445) (

21、解: (1) t ? 0.5 时,P 的横坐标 xP= 7t ? 7 ,代入抛物线方程 y ? 12 x2 2 49 中,得 P 的纵坐标 yP=3. 由 tan∠OAP= 3 ?12 ?
7 2

20、 (本题满分 10 分) 若实数 x 、 y 、 m 满足 x ? m ? y ? m ,则称 x 比 y 远离 m . (1)若 x ? 1比 1 远离 0,求 x 的取值 范围;
2

由|AP|=

949 2

,得救援船速度的大小为 949 海里/时.

7 30

7 7 ,得∠OAP=arctan 30 ,故救援船速度的方向为北偏东 arctan 30 弧度.

(2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为 (7t, 12t 2 ) . 由 vt ? (7t ) 2 ? (12t 2 ? 12) 2 ,整理得 v 2 ? 144(t 2 ? t12 ) ? 337 .
3 3 2 2

(2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,证明: a ? b 比 a b ? ab 远离 2ab ab ; (3) 已知函数 f ( x ) 的定义域 D ? ?? x x ?

因为 t 2 ? t12 ? 2 ,当且仅当 t =1 时等号成立,所以 v 2 ? 144? 2 ? 337 ? 252 ,即 v ? 25 . 因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船.

?? ??

? k? ? ? , k ? Z , x ? R ? .任取 x ? D ,f ( x) 等于 sin x 和 cos x 2 4 ?

中远离 0 的那个值.写出函数 f ( x ) 的解析式,并指出它的基本性质(结论不要求证明).

? ? sin x ? (1) x ? (??,? 2 ) ? ( 2. ? ?) (2)略(3) f ( x) ? ? ? cos x ? ?
性质: (1)偶函数 关于 y 轴对称(2)周期 T ?

x ? (k? ? x ? (k? ?

? ?
4

, k? ? , k? ?

?

3? ) 4 )

4

4

?
2

(3) (
[来源:

k? ? k? k? k? ? 2 ? , ) 单调增 , ( , ? ) 单调减 (4)最大值为 1,最小值为 2 4 2 2 2 4 2
6

上海市复兴高级中学 2009-2010 学年高一年级第二学期数学试卷
班级 姓名 学号 得分

二.选择题(每小题 4 分,共 16 分)
13.函数 f ( x) ? lg

一.填空题(每小题 3 分,共 36 分)
1. 方程 log2 (3x ? 1) ? 3 的解是 ____________.

1? x 的图像关于 1? x



) (D)直线 y ? x 对称. )

(A)原点对称; (B) x 轴对称;

(C) y 轴对称;

lg( 4 ? x) 的定义域是_________________. x?3 x 3. 若函数 f ( x ) ? 的反函数是 f ?1 ( x) ,则 f ?1 (2) 的值是 ______ x ?1
2. 函数 y ? 4. 终边在 y 轴上的角的集合是(用弧度制表示)___________

14.在 ?ABC 中,若 cos A ? cos B ? cos C ? 0 ,则这个三角形是 ( (A)直角三角形; (B)锐角三角形; __. _____________. 15.已知 ? 是第二象限角, sin ? ? (C)钝角三角形;

(D)直角或锐角三角形.

5. 点 P 从圆心在原点 O 的单位圆上点 (1,0) 出发,沿逆时针方向运动 ? 弧长,到达点 Q , 则点 Q 的坐标是_______________. 6. 已知角 ? 终边上一点 P 与点 A(?1,2) 关于 y 轴对称,角 ? 的终边上一点 Q 与点 A 关于原点 O 中心 对称,则 sin ? ? sin ? =___________. 7. 函数 y ? 3 sin 2x ? cos2x 的最小正周期是________. 8. 在 ?ABC 中,已知 A ? 30? , AB ? 3, BC ? 1 ,则 AC ? ____ 9. 在 ?ABC 中,若 cos A ? ? ___.

5 6

4 5? ? ? ) 的值为 ( ,则 tan( ) 5 4 1 1 (A)7 ; (B) ? ; (C) ; (D) ? 7 . 3 3 4k ? 6 16.要使 sin x ? 3 cos x ? 有意义,则 k 的取值范围是( ) 4?k 7 7 7 (A) k ? ?1 ; (B) k ? ; (C) k ? ?1 或 k ? ; (D) ? 1 ? k ? . 3 3 3

三.解答题(共 48 分)
17. (本题 8 分) 已知 ? 为第四象限角,且 cos ? ?

3 ? ,求 sin( 2? ? ) 的值. 5 3

5 A ,则 sin ? ________. 13 2 3 10. 已知 cos( ? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? ) sin ? ? ? ,则 cos 2 ? ? ______ ____. 5 ? 1 11. 若 0 ? x ? , 且 lg(sin x ? cos x) ? (3 lg 2 ? lg 5) ,则 cos x ? sin x ? ______ ____. 4 2
12.记符号
8 ? ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an (n ? N * ) ,若 f (t ) ? sin( t ) ,则 ? f (k ) ? 0 . ? 4 k ?1 k ?1 n

18. (本题 8 分)已知 f ( x) ? loga (8 ? 2 x ), (a ? 0, a ? 1) (1) 若函数 f (x) 的反函数是其本身,求 a 的值; (2) 当 a ? 1 时,求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围.

若 f (t ) ? sin(

?
6

t ) ,则 ? f (k ) ? _______
k ?1

2010

_.

7

19. (本题 10 分)已知函数 y ?

1 ? sin x . 2

21. (本题 12 分) 已知 A 、 B 、 C 是 ?ABC 的三个内角, y ? cot A ? (1) 用计算器填表:

(1)作出此函数在 x ? [0,2? ] 的大致图像,并写出使 y ? 0 的 x 的取值范围; (2)利用第(1)题结论,分别写出此函数在 x ? R 时,使 y ? 0 与 y ? 0 的 x 的取值范围.

2 sin A . cos A ? cos(B ? C )
y值

A 30° 60° 90°

B 60° 90° 30°

C 90° 30° 60°

(2) 化简: y ? cot A ?

2 sin A cos A ? cos(B ? C )



20. (本题 10 分)如图,某观测站 C 在城 A 的南偏西 20 方向上,从城 A 出发有一条公路,走向是南偏 东 40 .在 C 处测得距离 C 为 31 千米的公路上的 B 处有一辆车正沿着公路向城 A 驶去.该车行驶了 20 千 米后到达 D 处停下,此时测得 C, D 两处距离为 21 千米. (1)求 cos ?CDB 的值; (2)此车在 D 处停下时距城 A 多少千米? (3) 由(1) (2)题结果,你能得出什么结论?(不要求证明)
?

?

8

上海市复兴高级中学 2009-2010 学年高一年级第二学期数学试卷参考答案: 一.填空题(每小题 3 分,共 36 分)
1. x ? 3 ; 2. (??,3) ? (3,4) ; (写“ x ? 4, 且x ? 3 ”正确) 3. ? 2 ; 4. ? x x ? k? ? ;

20. 解: (1)在 ?CDB 中,由余弦定理得 cos?CDB ?

CD 2 ? BD2 ? BC 2 212 ? 202 ? 312 1 ? ?? 2CD ? BD 2 ? 21? 20 7

? ?

?

? , k ? Z ? ;(2) sin ?CDB ? 1 ? cos2 ?CDB ? 4 3 ; 2 7 ?
sin ?ACD ? sin(?CDB ? 60? ) ? sin ?CDB ? cos60? ? cos?CDB ? sin 60? ? 5 3 ;在 ?ACD 中, 14

5. (?

7 3 1 3 13 10 ; 10. ? ; 11. ; 12. 2 ? 3 ; , ) ; 6. 0 ; 7. ? ; 8.1 或 2; 9. 25 2 2 13 5
15.D; 16.D;

二.选择题(每小题 4 分,共 16 分)13.A; 14.B; 三.解答题(共 48 分)

3 ? ,求 sin( 2? ? ) 的值. 5 3 3 4 解:由 ? 为第四象限角,且 cos ? ? 得 sin ? ? ? 5 5 4 3 24 3 2 4 2 7 2 2 sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? 2 ? (? ) ? ? ? , cos 2? ? cos ? ? sin ? ? ( ) ? (? ) ? ? 5 5 25 5 5 25
17. (本题 8 分)已知 ? 为第四象限角,且 cos ? ?

CD ? sin ?ACD ? 由正弦定理得: AD ? sin ?CAD

21?

5 3 14 ? 15 答: 此车在 D 处停下时距城 A 处 15 千米。 3 2

21. A ) 30° 60° 90° 解: B 60° 90° 30° C 90° 30° 60°

y值
4 3 3
4 3 3
4 3 3

sin( 2? ?

?
3

) ? sin 2? ? cos

?
3

? cos 2? ? sin
?1

?
3

? (?

24 1 7 3 ? 24 ? 7 3 ( ) ? ? (? ) ? ? 25 2 25 2 50

18.解: (1)函数 f (x) 的反函数是 f

( x) ? log2 (8 ? a x ), 由题意可得

loga (8 ? 2 x ) ? log2 (8 ? a x ),? a ? 2
x (2)由 f ( x) ? 0 得 loga (8 ? 2 x ) ? 0 ,当 a ? 1 时, 8 ? 2 ? 1 解得 x ? log2 7

y?

cos A 2 sin A cos A 2 sin A cos A sin B sin C ? sin 2 A ? ? ? ? sin A ? cos(B ? C ) ? cos(B ? C ) sin A 2 sin B sin C sin A sin B sin C

19. (本题 10 分)已知函数 y ?

1 ? sin x . 2

=

(1)作出此函数在 x ? [0,2? ] 的大致图像,并写出使 y ? 0 的 x 的取值范围; (2)利用第(1)题结论,分别写出此函数在 x ? R 时,使 y ? 0 解: (1)作图(略)在 x ? [0,2? ] 上,当 x ? ( 与 y ? 0 的 x 的取值范围. =

cos A sin B sin C ? 1 ? cos2 A cos A(sin B sin C ? cos A) ? 1 = sin A sin B sin C sin A sin B sin C
cos A(sin B sin C ? cos( B ? C )) ? 1 cos A cos B cos C ? 1 = sin A sin B sin C sin A sin B sin C

? 5?
6 , 6

) 时, y ? 0 ; (2)当 x ? (2k? ?

?
6

,2k? ?

y ? 0 ,当 x ? [2k? ,2k? ?

?
6

) ? (2k? ?

5? ,2k? ? 2? ] (k ? Z ) 时, y ? 0 6

5? ) 时, 6

9


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