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栾城县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

栾城县第一中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 若方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) )

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 集合 S ? ?0,1,2,3,4,5?, A 是 S 的一个子集,当 x ? A 时,若有 x ? 1 ? A且x ? 1 ? A ,则称 x 为 A 的一个“孤立 元素”.集合 B 是 S 的一个子集, B 中含 4 个元素且 B 中无“孤立元素”,这样的集合 B 共有个 A.4 B. 5 C.6 D.7 3. 设 F1,F2 是双曲线 于( A. ) B. C.24 D.48 ,且 z=2x+y 的最大值是最小值的 2 倍,则实数 a 的值是( ) 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则△ PF1F2 的面积等

4. 已知实数 x,y 满足有不等式组 A.2 B. C. D.

5. 已知正方体的不在同一表面的两个顶点 A(﹣1,2,﹣1),B(3,﹣2,3),则正方体的棱长等于( A.4 B.2 C. B.f(π)<f(2)<f(5) D.2 ) C.f(2)<f(5)<f(π)



6. 函数 y=f(x)在[1,3]上单调递减,且函数 f(x+3)是偶函数,则下列结论成立的是( A.f(2)<f(π)<f(5) f(π)<f(2) 7. 若点 O 和点 F(﹣2,0)分别是双曲线 意一点,则 A. 的取值范围为( ) B. C. D. )

D.f(5)<

的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任

8. 若函数 f(x)=ax2+bx+1 是定义在[﹣1﹣a,2a]上的偶函数,则该函数的最大值为( A.5 B.4 C.3 D.2 ) B.?x∈R,使得 x2>1 D.?x∈R,都有 x≤﹣1 或 x≥1

9. 命题“?x∈R,使得 x2<1”的否定是( A.?x∈R,都有 x2<1 C.?x∈R,使得 x2≥1

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10.平面 α 与平面 β 平行的条件可以是( A.α 内有无穷多条直线与 β 平行 B.直线 a∥α,a∥β C.直线 a?α,直线 b?β,且 a∥β,b∥α D.α 内的任何直线都与 β 平行



11.已知函数 f(x)=2x﹣2,则函数 y=|f(x)|的图象可能是(



A.

B.

C.

D.

12.如果对定义在 R 上的函数 f ( x) ,对任意 m ? n ,均有 mf (m) ? nf (n) ? mf (n) ? nf (m) ? 0 成立,则称 函数 f ( x) 为“ H 函数”.给出下列函数: ①

f ( x) ? ln 2x ? 5 ;② f ( x) ? ? x3 ? 4x ? 3;③ f ( x) ? 2 2x ? 2(sin x ? cosx) ;④


?ln | x |, x ? 0 .其中函数是“ H 函数”的个数为( f ( x) ? ? 0 , x ? 0 ?
A.1 B.2 C.3 D. 4

【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力,对函数的单调性定义能从不同角度来刻画,对于较复杂函数也要 有利用导数研究函数单调性的能力,由于是给定信息题,因此本题灵活性强,难度大.

二、填空题
13.已知集合 A ? 的元素个数是
10

?? x ,y ? x ,y ? R ,x
.
2

2

? y 2 ? 1 , B ? ? x ,y ? x ,y ? R ,y ? 4x2 ? 1 ,则 A

?

?

?

B

14.抛物线 y2=6x,过点 P(4,1)引一条弦,使它恰好被 P 点平分,则该弦所在的直线方程为 15.在(1+2x) 的展开式中,x 项的系数为
*

. .

(结果用数值表示).

16.递增数列{an}满足 2an=an﹣1+an+1,(n∈N ,n>1),其前 n 项和为 Sn,a2+a8=6,a4a6=8,则 S10= 17.已知 | a |? 2 , | b |? 1 , ?2a 与 b 的夹角为 18.函数 y=sin2x﹣2sinx 的值域是 y∈

1 3

? ,则 | a ? 2b |? 3




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三、解答题
19.在极坐标系下,已知圆 O:ρ =cosθ +sinθ 和直线 l: (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ ∈(0,π )时,求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标. .

20.某小区在一次对 20 岁以上居民节能意识的问卷调查中,随机抽取了 100 份问卷进行统计,得到相关的数 据如下表: 20 至 50 岁 大于 50 岁 总计 节能意识弱 节能意识强 45 9 10 55 36 45 总计 54 46 100

(1)由表中数据直观分析,节能意识强弱是否与人的年龄有关? (2)据了解到,全小区节能意识强的人共有 350 人,估计这 350 人中,年龄大于 50 岁的有多少人? (3)按年龄分层抽样,从节能意识强的居民中抽 5 人,再从这 5 人中任取 2 人,求恰有 1 人年龄在 20 至 50 岁的概率.

21.某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图 1,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2(注:利润与投资单位是万元) (1)分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式.

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(2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资,才能 使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元.(精确到 1 万元).

22.【盐城中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】已知函数 f(x)=ax2+lnx(a∈R). (1)当 a=

1 时,求 f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值; 2

(2)如果函数 g(x),f1(x),f2(x),在公共定义域 D 上,满足 f1(x)<g(x)<f2(x),那么就称 g (x) 为 f( , f( 的“活动函数”. 已知函数 f ? x ?1 ? ? a ? 1 x) 2 x)

? ?

1 2 1? 2 2 ? x ? 2ax ? 1-a lnx, . f ? x ?2 ? 2 x ? 2ax 。 2?

?

?

若在区间(1,+∞)上,函数 f(x)是 f1(x),f2(x)的“活动函数”,求 a 的取值范围.

23.设集合 A ? x | x ? 3x ? 2 ? 0 , B ? x | x ? 2 ? a ? 1? x ? a ? 5 ? 0 .
2 2 2

?

?

?

?

? ?

(1)若 A (2) A

B ? ?2? ,求实数的值;
B ? A ,求实数的取值范围.1111]

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24.已知等比数列 (1)求数列 (2)设等差数列

中,



的通项公式; 中, ,求数列 的前 项和 .

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栾城县第一中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D
2 2 【解析】解:∵方程 x +ky =2,即

表示焦点在 y 轴上的椭圆



故 0<k<1

故选 D. 【点评】本题主要考查了椭圆的定义,属基础题. 2. 【答案】C 【解析】 试题分析:根据题中“孤立元素”定义可知,若集合 B 中不含孤立元素,则必须没有三个连续的自然数存在, 所有 B 的可能情况为: ?0,1,3,4? , ?0,1,3,5? , ?0,1,4,5? , ?0,2,3,5? , ?0,2,4,5? , ?1,2,4,5? 共 6 个。故 选 C。 考点:1.集合间关系;2.新定义问题。

3. 【答案】C 【解析】解:F1(﹣5,0),F2(5,0),|F1F2|=10, ∵3|PF1|=4|PF2|,∴设|PF2|=x,则 由双曲线的性质知 ∴|PF1|=8,|PF2|=6, ∴∠F1PF2=90°, ∴△PF1F2 的面积= 故选 C. 【点评】本题考查双曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理运用. 4. 【答案】B . ,解得 x=6. ,

【解析】解:由约束条件

作出可行域如图,

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联立 联立

,得 A(a,a), ,得 B(1,1),

化目标函数 z=2x+y 为 y=﹣2x+z, 由图可知 zmax=2×1+1=3,zmin=2a+a=3a, 由 6a=3,得 a= . 故选:B. 【点评】本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 5. 【答案】A 【解析】解:∵正方体中不在同一表面上两顶点 A(﹣1,2,﹣1),B(3,﹣2,3), ∴AB 是正方体的体对角线,AB= 设正方体的棱长为 x, 则 故选:A. 【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式,以及正方体的体积的有关知识,属于基础题. 6. 【答案】B 【解析】解:∵函数 y=f(x)在[1,3]上单调递减,且函数 f(x+3)是偶函数, ∴f(π)=f(6﹣π),f(5)=f(1), ∵f(6﹣π)<f(2)<f(1), ∴f(π)<f(2)<f(5) 故选:B 【点评】 本题考查的知识点是抽象函数的应用, 函数的单调性和函数的奇偶性, 是函数图象和性质的综合应用, 难度中档. ,解得 x=4. ∴正方体的棱长为 4, ,

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7. 【答案】B 【解析】解:因为 F(﹣2,0)是已知双曲线的左焦点,
2 2 所以 a +1=4,即 a =3,所以双曲线方程为



设点 P(x0,y0), 则有 因为 所以 , =x0(x0+2)+ , ,解得 , = , ,

此二次函数对应的抛物线的对称轴为 因为 所以当 故 故选 B. , 时, 的取值范围是 取得最小值 ,

=



【点评】 本题考查待定系数法求双曲线方程, 考查平面向量的数量积的坐标运算、 二次函数的单调性与最值等, 考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力. 8. 【答案】A
2 【解析】解:函数 f(x)=ax +bx+1 是定义在[﹣1﹣a,2a]上的偶函数,

可得 b=0,并且 1+a=2a,解得 a=1,
2 所以函数为:f(x)=x +1,x∈[﹣2,2],

函数的最大值为:5. 故选:A. 【点评】本题考查函数的最大值的求法,二次函数的性质,考查计算能力. 9. 【答案】D 【解析】解:命题是特称命题,则命题的否定是?x∈R,都有 x≤﹣1 或 x≥1, 故选:D. 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 10.【答案】D 【解析】解:当 α 内有无穷多条直线与 β 平行时,a 与 β 可能平行,也可能相交,故不选 A.
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当直线 a∥α,a∥β 时,a 与 β 可能平行,也可能相交,故不选 B. 当直线 a?α,直线 b?β,且 a∥β 时,直线 a 和直线 b 可能平行,也可能是异面直线,故不选 C. 当 α 内的任何直线都与 β 平行时,由两个平面平行的定义可得,这两个平面平行, 故选 D. 【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质得应用,注意考虑特殊情况. 11.【答案】B 【解析】解:先做出 y=2 的图象,在向下平移两个单位,得到 y=f(x)的图象, 再将 x 轴下方的部分做关于 x 轴的对称图象即得 y=|f(x)|的图象. 故选 B 【点评】本题考查含有绝对值的函数的图象问题,先作出 y=f(x)的图象,再将 x 轴下方的部分做关于 x 轴 的对称图象即得 y=|f(x)|的图象. 12.【答案】 B
x



二、填空题
13.【答案】 【解析】 试题分析:在平面直角坐标系中画出圆与抛物线的图形,可知它们有个交点.

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f(x) = 4?x2

1

12

10

8

6

4

2

20

15

10

5

5

10

15

20

2

4

6

8

10

12

考点:集合的基本运算. 14.【答案】 3x﹣y﹣11=0 . 【解析】解:设过点 P(4,1)的直线与抛物线的交点 为 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2 即有 y1 =6x1,y2 =6x2,

相减可得,(y1﹣y2)(y1+y2)=6(x1﹣x2), 即有 kAB= = = =3,

则直线方程为 y﹣1=3(x﹣4), 即为 3x﹣y﹣11=0. 将直线 y=3x﹣11 代入抛物线的方程,可得 9x2﹣72x+121=0,判别式为 722﹣4×9×121>0, 故所求直线为 3x﹣y﹣11=0. 故答案为:3x﹣y﹣11=0. 15.【答案】 180 【解析】解:由二项式定理的通项公式 Tr+1=Cn a
2 可知 r=2,所以系数为 C10 ×4=180, r n﹣r

br 可设含 x2 项的项是 Tr+1=C7r (2x)r

故答案为:180. 【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用,属于基础题型,难度系数 0.9.一般地通项公式主要应 用有求常数项,有理项,求系数,二项式系数等. 16.【答案】 35 . 【解析】解:∵2an=an﹣1+an+1,(n∈N*,n>1),

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∴数列{an}为等差数列, 又 a2+a8=6,∴2a5=6,解得:a5=3, 又 a4a6=(a5﹣d)(a5+d)=9﹣d2=8, ∴d2=1,解得:d=1 或 d=﹣1(舍去) ∴an=a5+(n﹣5)×1=3+(n﹣5)=n﹣2. ∴a1=﹣1, ∴S10=10a1+ 故答案为:35. 【点评】本题考查数列的求和,判断出数列{an}为等差数列,并求得 an=2n﹣1 是关键,考查理解与运算能力, 属于中档题. 17.【答案】 2 【解析】解析:本题考查向量夹角与向量数量积的应用. a 与 b 的夹角为 ∴ | a ? 2b |? =35.

2? , a ? b ? ?1 , 3

(a ? 2b) 2 ? | a |2 ?4a ? b ? 4 | b |2 ? 2 .

18.【答案】 [﹣1,3] .

2 2 【解析】解:∵函数 y=sin x﹣2sinx=(sinx﹣1) ﹣1,﹣1≤sinx≤1, 2 2 ∴0≤(sinx﹣1) ≤4,∴﹣1≤(sinx﹣1) ﹣1≤3. 2 ∴函数 y=sin x﹣2sinx 的值域是 y∈[﹣1,3].

故答案为[﹣1,3]. 【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键.

三、解答题
19.【答案】
2 【解析】解:(1)圆 O:ρ =cosθ +sinθ ,即 ρ =ρ cosθ +ρ sinθ , 2 2 2 2 故圆 O 的直角坐标方程为:x +y =x+y,即 x +y ﹣x﹣y=0.

直线 l: 为:y﹣x=1,即 x﹣y+1=0. (2)由 (0,1), ,可得

,即 ρ sinθ ﹣ρ cosθ =1,则直线的直角坐标方程

,直线 l 与圆 O 公共点的直角坐标为

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故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为



【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,直线和圆的位置关系,属于基础题. 20.【答案】 【解析】解(1)因为 20 至 50 岁的 54 人有 9 人节能意识强,大于 50 岁的 46 人有 36 人节能意识强, 相差较大,所以节能意识强弱与年龄有关 (2)由数据可估计在节能意识强的人中,年龄大于 50 岁的概率约为 ∴年龄大于 50 岁的约有 (人) (人), 与

(3)抽取节能意识强的 5 人中,年龄在 20 至 50 岁的

年龄大于 50 岁的 5﹣1=4 人,记这 5 人分别为 a,B1,B2,B3,B4. 从这 5 人中任取 2 人,共有 10 种不同取法:(a,B1),(a,B2),(a,B3),(a,B4),(B1,B2), (B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4), 设 A 表示随机事件“这 5 人中任取 2 人,恰有 1 人年龄在 20 至 50 岁”, 则 A 中的基本事件有 4 种:(a,B1),(a,B2),(a,B3),(a,B4) 故所求概率为 21.【答案】 【解析】解:(1)投资为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元, 由题设 f(x)=k1x,g(x)=k2 由图知 f(1)= ,∴k1= 又 g(4)= ,∴k2= 从而 f(x)= ,g(x)= (x≥0) ,(k1,k2≠0;x≥0)

(2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10﹣x 万元,设企业的利润为 y 万元 y=f(x)+g(10﹣x)= 令 ,∴ ,(0≤x≤10), (0≤t≤ )

当 t= ,ymax≈4,此时 x=3.75 ∴当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元时,企业获得最大利润约为 4 万元.

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【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题.解题 的关键是换元,利用二次函数的求最值的方法求解. 22.【答案】(1) f ? x ?max ? 1 ?

e2 1 ? 1 1? , f ? x ?min ? . (2)a 的范围是 ? ? , ? . 2 2 ? 2 4?

1 x2 ? 1 1 2 '? x ? ? x? ? ? 0 ,∴f(x)在区间[1,e]上为 【解析】试题分析:(1)由题意得 f(x)= x +lnx, f 2 x x
增函数,即可求出函数的最值.

试题解析: (1)当 时, , ;

对于 x∈[1,e],有 f'(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数, ∴ , .

(2)在区间(1,+∞)上,函数 f(x)是 f1(x),f2(x)的“活动函数”,则 f1(x)<f(x)<f2(x)令 <0,对 x∈(1,+∞)恒成立, 且 h(x)=f1(x)﹣f(x)= ∵ 若 ,令 p′(x)=0,得极值点 x1=1, , <0 对 x∈(1,+∞)恒成立,

当 x2>x1=1,即

时,在(x2,+∞)上有 p′(x)>0,

此时 p(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有 p(x)∈(p(x2),+∞),不合题意; 当 x2<x1=1,即 a≥1 时,同理可知,p(x)在区间(1,+∞)上,有 p(x)∈(p(1),+∞),也不合题

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意; 若 ,则有 2a﹣1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有 p′(x)<0,

从而 p(x)在区间(1,+∞)上是减函数; 要使 p(x)<0 在此区间上恒成立,只须满足 所以 ≤a≤ . = <0,h(x)在(1,+∞)上为减函数, ,

又因为 h′(x)=﹣x+2a﹣ h(x)<h(1)=

+2a≤0,所以 a≤ , ].

综合可知 a 的范围是[ 【解析】

23.【答案】(1) a ? 1 或 a ? ?5 ;(2) a ? 3 .

(2) A ? ?1,2? , A

B ? ?1,2? .

2 2 ① B ? ?, x ? 2 ? a ? 1? x ? a ? 5 ? 0 无实根, ? ? 0 , 解得 a ? 3 ;
2 2 ② B 中只含有一个元素, x ? 2 ? a ? 1? x ? a ? 5 ? 0 仅有一个实根,

?

?

?

?

? ? 0, a ? 3, B ? ??2?, A B ? ??2,1, 2? 故舍去;

2 2 ③ B 中只含有两个元素,使 x ? 2 ? a ? 1? x ? a ? 5 ? 0 两个实根为和,

?

?

第 14 页,共 15 页

需要满足 ?

?2 ? 1 ? ?2 ? a ? 1? ? 方程组无根,故舍去, 综上所述 a ? 3 .1111.Com] 2 2 ? 1=a ? 5 ? ?

考点:集合的运算及其应用. 24.【答案】 【解析】 解:(1)设等比数列 由已知,得 (2)由(1)得 设等差数列 的公差为 ,则 ,解得 的公比为 ,解得

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