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汕头市2015-2016学年度普通高中毕业班教学质量监测试题文科

汕头市 2015-2016 学年度普通高中毕业班教学质量监测试题 文科数学
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 ? ? ?1,2? , ? ? ?2,3? ,则 ?CU A? ? B ? ( C. ?1, 2,3? ? ? ? ? 2.已知向量 a ? ?1, 2 ? , 2a ? b ? ? 3, 2 ? ,则 b ? ( ) A. ?1, 2 ? B. ?1, ?2?
3



A. ?3?

B. ?4,5?

D. ?2,3,4,5? D. ? 2, 0 ?

C. ? 5,6 ? )

3.已知 i 是虚数单位,若 ? 2 ? i ? ? z ? i ,则 z ? ( A. ?

2 1 2 1 1 2 1 2 ? i B. ? ? i C. ? i D. ? i 5 5 5 5 5 5 5 5 4.从数字 1 、 2 、 3 中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于 30 的概率为( 1 1 1 2 A. B. C. D. 3 6 2 3 ? ? 3? ? ?? ? 3 5.已知 cos ? ? ? ? ? ,且 ? ? ? , ? ,则 tan ? ? ( ) ?2 2 ? ?2 ? 5 4 3 3 3 A. B. C. ? D. ? 3 4 4 4 ?? ? 6.已知函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ( x ? R ) ,下列结论错误的是( ) 2? ?
A.函数 f ? x ? 的最小正周期为 ? C.函数 f ? x ? 在区间 ? 0, B.函数 f ? x ? 是偶函数



? ? ?? 上是增函数 D.函数 f ? x ? 的图象关于直线 x ? 对称 ? 4 ? 2? 7.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,则当 n ? 1 时, Sn ? ( )
A. ? ?

?3? ?2?

n ?1

B. 2

n ?1

C. ? ?

?2? ?3?

n ?1

D. ?

1? 1 ? ? 1? n ?1 3? 2 ?


8.执行如图 1 所示的程序框图,若输入 ? 的值为 2 ,则输出 ? 的值为( A. 2 A. 4 3? B. 3 B. 12? C. 4 C. 24? D. 5 ) D. 48? 9.某几何体的三视图如图 2 所示,则该几何体的外接球表面积为(

10.下列函数中,在 ? ?1,1? 内有零点且单调递增的是( A. y ? log 2 x B. y ? x2 ? 2

) D. y ? ? x3 )

C. y ? 2x ?1

11.设函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且 f ? x ? ? ? A. 3 B. ? 3 C. 2

? ?log 2 ? x ? 1? , x ? 0 ,则 g ? ? f ? ?7 ? ? ??( g x , x ? 0 ? ? ? ?
D. ? 2

12.设函数 f ? x ? 是定义在 R 上周期为 2 的函数,且对任意的实数 x ,恒有 f ? x ? ? f ? ?x ? ? 0 ,当 范围为( )

x ?? ?1,0? 时, f ? x ? ? x2 .若 g ?x ? ? f ? x ? ? log ax 在 x ?? 0, ??? 上有且仅有三个零点,则 a 的取值
A. ?3,5? B. 4,6

?

?

C. ? 3,5?

D. ? 4, 6 ?

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

?x ? y ? 0 ? 13.设 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 , z ? x ? 3 y ? m 的最大值为 4 ,则 m 的值为 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? 14.已知直线 l : y ? kx ? b 与曲线 y ? x3 ? 3x ? 1相切,则当斜率 k 取最小值时,直线 l 的方程为 1 4 15.已知正项等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2 ,若存在两项 am , an ,使得 am an ? 4a1 ,则 ? 的最小 m n
值为 16.下列有关命题中,正确命题的序号是 (1)命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ” 2 2 (2)命题“ ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ” (3)命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为假命题 (4)若“ p 或 q ”为真命题,则 p , q 至少有一个为真命题 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 在 ??? C 中,角 ? 、 ? 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c , b ? (I)求 sin C 的值; (II)求 ??? C 的面积

2 , c ? 1 , cos ? ?

3 4

18. (本小题满分 12 分) 某消费者协会在 3 月 15 号举行了以“携手共治,畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动,着力提 升消费者维权意识.组织方从参加活动的群众中随机抽取 120 名群众,按他们的年龄分组:第 1 组

?20,30? ,第 2 组 ?30,40? ,第 3 组 ?40,50? ,第 4 组 ?50,60? ,第 5 组 ?60,70? ,得到的频率分布直方

图如图 3 所示. (I)若电视台记者要从抽取的群众中选 1 人进行采访,求被采访人恰好在第 2 组或第 4 组的概率; (II)已知第 1 组群众中男性有 2 人,组织方要从第 1 组中随机抽取 3 名群众组成维权志愿者服务队,求 至少有两名女性的概率

19. (本小题满分 12 分) ? 如图 4 ,在直三棱柱 ??C ? ?1?1C1 中,底面 ??? C 为等腰直角三角形, ???C ? 90 , ?? ? 4 ,

??1 ? 6 ,点 ? 是 ??1 中点 (I)求证:平面 ?1?C ? 平面 ??1C1C ; (II)求点 ? 到平面 ?1?C 的距离

20. (本小题满分 12 分)

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的 2 2 a b 圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 设点 P(4,0) ,A, B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点, 连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E ,
已知椭圆 C : 证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点

21. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ? x ? ? ln x ? ?1 ? a ? x ? x
2

(I)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (II)当 a ? 1 时,证明:对任意的 x ? ? 0, ??? ,有 f ? x ? ? ?

ln x ? ?1 ? a ? x 2 ? a ? 1 x

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 5 所示, 已知 ?? 与 ? ? 相切,? 为切点, 过点 ? 的割线交圆于 ? ,C 两点, 弦 CD//?? ,?D ,

? C 相交于点 ? , F 为 C ? 上一点,且 D?2 ? ?F ? ?C (I)求证: C? ? ?? ? ?F ? ?? ; (II)若 C? : ?? ? 3: 2 , D? ? 3 , ?F ? 2 ,求 ?? 的长

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 在平面直角坐标系 x?y 中,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) ;以坐标原点为极点, x 轴 3 ?y ? t ? ? 2 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? . 0 ? ? ? 2? ) (I) 直线 l 的参数方程化为极坐标方程; (II) 求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标 (其中 ? ? 0 ,

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 2x ?1 ? x ?1 ? a (I)当 a ? 3 时,求不等式的解集; (II)若不等式有解,求实数 a 的取值范围

汕头市 2015-2016 学年普通高中毕业班质量监测 数学(文科)参考答案及评分标准
一、 选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合要求的. 题号 答案 提示: 11. f ? -7 ? ? - f ? 7 ? ? ? log 2
? 7 ?1?

1 D

2 B

3 C

4 A

5 B

6 D

7 A

8 C

9 B

10 C

11 D

12 C

? ?3 ,

? 3?1? g? ? f ? ?7 ? ? ? ? g ? ?3? ? f ? ?3? ? ? f ? 3? ? ? log 2 ? ?2 故选 D.

12.

0] 单调递减,如图所示,易得 a ? 1 , f ? x ? ? x2 在 [?1,

依题意得 ?

?log a 3 ? 1 ,∴ 3 ? a ? 5 ,故选 C. ?log a 5 ? 1

. 二、填空题:本大题共 4 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. -4 14.

y ? 3x ? 1

15.

3 2

16. ⑷

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)(注:第(1)问 6 分,第(2)问 6 分) 解: (Ⅰ)在△ ABC 中,由 cos B ?

7 3 且 0 ? B ? ? ,得 sin B ? ,……3 分 4 4

又由正弦定理:

14 c b ? 得: sin C ? .……6 分 sin C sin B 8
3 , 4

2 2 2 2 (Ⅱ)由余弦定理: b ? a ? c ? 2ac ? cos B 得: 2 ? a ? 1 ? 2a ? 2 即a ?

3 1 a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 2 或 a ? - (舍去) ,………………4 分 2 2

所以, S? ABC ?

1 1 7 7 ? a ? c ? sin B ? ?1? 2 ? ? ……………………6 分 2 2 4 4

18. (本小题满分 12 分)(注:第(1)问 6 分,第(2)问 6 分) 解: (Ⅰ)因为 d ≠0 的等差数列, a2 , a6 , a22 成等比数列
2 ? a6 ? a 2 a22 即 ? a1 ? 5d ? ? ? a1 +d ?? a1 ? 21d ? 即 d ? 3a1 ①……………1 分
2

又由 a4 ? a6 =26 得 2a1 +8d ? 26

②……………………2 分

,d ? 3 ?an ? 3n ? 2 ……………………3 分 由①②解得 a1 =1
?b3 ? a2 ? 4 即 b1q2 ? 4 , 又b5 ? a6 ? 16 即 b1q 4 ? 16 ;? q2 ? 4 ………………5 分
又 q 为正数? q ? 2 , b ? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 anbn

?bn ? 2n?1 ……………………6 分

? ?3n ? 2? 2n?1 ……………………1 分

?Tn ? 1? 20 ? 4 ? 2 ? 7 ? 22 ??? ?3n ? 2? 2n?1 ……………………2 分 ?2Tn ? 1? 2 ? 4 ? 22 ? 7 ? 23 ??? ?3n ? 2? 2n ……………………3 分
??Tn ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? 3 ? 2
2 n ?1

? ?3n ? 2 ? 2 ? 1 ?
n

6 ?1 ? 2n ? 1? 2

? ?3n ? 2 ? 2n ? ? ?3n ? 5? ? 2n ? 5

?Tn ? ?3n ? 5? ? 2n ? 5 ……………………6 分
19. (本小题满分 12 分)(注:第(1)问 6 分,第(2)问 6 分) 解: (Ⅰ)设第 2 组 [30, 40) 的频率为 f 2 ,

f2 ? 1 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ? 0.03) ?10 ? 0.35 ; ………………3 分
第 4 组的频率为 0.02 ? 10 ? 0.2 …………………………4 分 所以被采访人恰好在第 2 组或第 4 组的概率为

0.35 ? 0.2 ? 0.55 P 1 ?

………………………6 分 ……………………1 分

(Ⅱ)设第 1 组 [30, 40) 的频数 n1 ,则 n1 ? 120 ? 0.005 ?10 ? 6 记第 1 组中的男性为 x1 , x2 , ,女性为 y1 , y2 , y3 , y4 ,

随机抽取 3 名群众的基本事件是: ( x1 , x2 , y1 ) , ( x1 , x2 , y2 ) , ( x1 , x2 , y3 ) , ( x1 , x2 , y4 )

( x1 , y2 , y1 ) , ( x1 , y3 , y2 ) , ( x1 , y1 , y3 ) , ( x1 , y4 , y1 ) , ( x1 , y2 , y4 ) , ( x1 , y3 , y4 ) , ( x2 , y2 , y1 ) , ( x2 , y3 , y2 ) , ( x2 , y1 , y3 ) , ( x2 , y4 , y1 ) , ( x2 , y2 , y4 ) , ( x2 , y3 , y4 ) , ……………………4 分 ( y1 , y2 , y3 ) , ( y1 , y2 , y4 ) , ( y2 , y3 , y4 ) , ( y1 , y3 , y4 ) 共 20 种 其中至少有两名女性的基本事件是:( x1 , y2 , y1 ) ,( x1 , y3 , y2 ) ,( x1 , y1 , y3 ) ,( x1 , y4 , y1 ) ,( x1 , y2 , y4 ) , ( x1 , y3 , y4 ) , ( x2 , y2 , y1 ) , ( x2 , y3 , y2 ) , ( x2 , y1 , y3 ) , ( x2 , y4 , y1 ) , ( x2 , y2 , y4 ) , ( x2 , y3 , y4 ) , ( y1 , y2 , y3 ) , ( y1 , y2 , y4 ) , ( y2 , y3 , y4 ) , ( y1 , y3 , y4 ) 共 16 种………5 分

所以至少有两名女性的概率为 P2 ?

16 4 ? ………………………………………………6 分 20 5

20. (本小题满分 12 分)(注:第(1)问 6 分,第(2)问 6 分) 解: (Ⅰ)记 AC1 与 A1C 的交点为 E .连结 ME .

? 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,点 M 是 BB1 中点,
? MA1 ? MA ? MC1 ? MC ? 42 ? 32 ? 5 ……2 分
因为点 E 是 AC1 、 A1C 的中点, 所以 ME ? AC1 , ME ? A1C , ……4 分 又 AC1 ? AC ? E 从而 ME ? 平面 AAC 1 1 1C . 因为 ME ? 平面 A1MC ,所以平面 A1MC ? 平面 AAC 1 1C . ……6 分

H, (Ⅱ)过点A作 AH ? AC 1 于点
由(Ⅰ)平面 A1MC ? 平面 AAC , 1 1C ,平面 A 1 1C ? AC 1 1MC ? 平面 AAC 而 AH ? 平面 AAC 1 1C ……2 分

?

AH 即为点 A 到平面 A1MC 的距离. ……3 分

在 ?A1 AC 中, ?A ,AC ? 4 2, AC1 ? 68 1 AC ? 90? , AA 1 ?6

? AH ?

AA1 ? AC 6 ? 4 2 24 34 ? ? AC 34 68 1
24 34 34
……6 分

即点 A 到平面 A1MC 的距离为

21. (本小题满分 12 分)(注:第(1)问 6 分,第(2)问 6 分)

?2a ?1 ? a ? x 2 ? x ? 1 解: (Ⅰ)由题知 f ? x ? ? ? x ? 0? ……………………1 分 x
'

当 a ? ?1 时,由

f ' ? x ? ? 0 得 2a ?1 ? a ? x2 +x ? 1=0 且 ? =9+8a ,

x1 ?

1 ? 9 ? 8a 1 ? 9 ? 8a , x2 ? ……………2 分 ?4 ?1 ? a ? ?4 ?1 ? a ?

①当 a

? ?1时,所以 f ( x) 在 ? 0,1? 上单调递增在 ?1,+?? 上单调递减………………3 分
f ( x) 在 ? 0, x2 ? 上单调递增; 在上 ? x2 ,+? ? 上单调递减 ………4 分

②当 a ? ?1 时, ③当 a ? ?

9 时, f ( x) 在 ? 0,+?? 上单调递增……………5 分 8

④当 ?

9 ? a ? ?1 时, f ( x) 在 ? 0, x1 ? 和? x2 , ??? 上单调递增; 在上 ? x1, x2 ? 上单调递 8
ln x (0, ? ?) ? ?1 ? a ? x 2 ? a ? 1 在 上恒成立, x

减……………………6 分 (Ⅱ)当 a ? 1 时,要证 f ? x ? ? ? 只需证 ln

x ?x ? ?

ln x

x

(0, ? ?) ? a ? 1在 上恒成立, ……………………1 分

令 F(x) ? ln x ? x, g ( x) ? ? ? 因为 F ' ( x) ?

ln x ?1? a , x

1 1? x , ?1 ? x x

易得 F ( x) 在 (0, 1) 上递增,在 (1, ? ?) 上递减,故 F ( x) ? F (1) ? ?1,……………2 分 由 g ( x) ? ?

1 ? ln x ln x ? 1 ln x (x ) ? ? ? (x ? 0), ?1? a 得 g ? 2 x x x2

当 0 ? x ? e 时, g ' ( x) ? 0 ; 当

x ? e 时, g ' ( x) ? 0 .

所以 g ( x) 在 (0, e) 上递减,在 (e,??) 上递增, ………………3 分

1 ? 1 ? a ,……………………4 分 e 1 1 又 a ? 1 ,? ? ? 1 ? a ? ? ? ?1 ,即 F ( x)max ? g ( x)min ,……………………5 分 e e ln x (0, ? ?) 所以 ln x ? x ? ? 上恒成立, ? a( x ? 1) 在 x ln x (0, ? ?) 故当 a ? 1 时,对任意的 x ? , f ( x) ? ? ? a( x ? 1) 恒成立………………6 分 x
所以 g ( x) ? g (e) ? ? 22. (本小题满分 10 分)(注:第(1)问 5 分,第(2)问 5 分) 解: (Ⅰ)∵ DE 2 ? EF ? EC , ?DEF ? ?DEF ∴ ?DEF ∽ ?CED ,∴ ?EDF ? ?C ……………………………………3 分 又∵ CD // AP ,∴ ?P ? ?C , ∴ ?EDF ? ?P , ?DEF ? ?PEA

EA EP ? , ∴ EA? ED ? EF ? EP EF ED 又∵ EA ? ED ? CE ? EB ,∴ CE ? EB ? EF ? EP . ………………………………5 分
∴ ?EDF ∽ ?EPA , ∴
2 (Ⅱ)∵ DE ? EF ? EC , DE ? 3, EF ? 2

∴ EC ?

9 ,∵ CE : BE ? 3 : 2 2

∴ BE ? 3

由(Ⅰ)可知: CE ? EB ? EF ? EP ,解得 EP ? ∴ BP ? EP ? EB ?
2 ∴ PA ?

27 . 4

…………………………2 分

15 2 . ∵ PA 是⊙ O 的切线,∴ PA ? PB ? PC 4

15 27 9 15 3 ? ( ? ) ,解得 PA ? . ……………………………………5 分 4 4 2 4

23. (本小题满分 10 分)(注:第(1)问 4 分,第(2)问 6 分)

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 解: (Ⅰ)将直线 l : ? ( t 为参数)消去参数 t , 3 ? y? t ? ? 2

化为普通方程 3x ? y ? 2 3 ? 0 ,……………………2 分 将?

? x ? ? cos ? 代入 3x ? y ? 2 3 ? 0 得 3? cos? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 .…………4 分 ? y ? ? sin ?

(Ⅱ)方法一:曲线 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 .………………2 分 由?

? ? ? x ?1 ? x?3 ? 3x ? y ? 2 3 ? 0 解得: ? 或? ………………4 分 ? 2 2 y ? ? 3 y ? 3 x ? y ? 4 x ? 0 ? ? ? ? ? ?

所以 l 与 C 交点的极坐标分别为: (2, 方法二:由 ?

? 5? ) , (2 3, ) .………………6 分 6 3

? 3? cos ? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 ? ,……………2 分 ? ? 4 cos ? ? ?

得: sin(2? ?

?
3

) ? 0 ,又因为 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ………………4 分

所以 ?

?? ? 2 3 ? ? ?2 ? ? 或 5? ? ? ?? ?? ? ? 3 ? 6 ?

所以 l 与 C 交点的极坐标分别为: (2,

? 5? ) , (2 3, ) .………………6 分 6 3

24. (本小题满分 10 分)(注:第(1)问 5 分,第(2)问 5 分) 解: (Ⅰ)由题意可得: 2x ?1 ? x ?1 ? 3 ,

1 1 时, ? 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 3, x ? ?3 ,即 ? 3 ? x ? ; ……………………2 分 2 2 1 5 1 当 ? x ? 1 时, 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ,即 x ? 即 ? x ? 1 ;……………………3 分 2 3 2
当x? 当 x ? 1 时, 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ,即1 ?

x?3

……………………4 分

? 该不等式解集为 ?x ? 3 ? x ? 3?. …………5 分
(Ⅱ)令 f ( x) ? 2x ?1 ? x ?1 ,有题意可知: a ?

f ( x)min ……………………2 分

1 ? ? ? x, x ? 2 ? 1 ? 1 又 f ( x ) ? ?3 x ? 2, ? x ? 1 ? f ( x) min ? ? ,……………………4 分 2 2 ? x, x ? 1 ? ? ?
1 ?a ? - . 2
……………………5 分


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