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湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第三次调研考试数学(理科)试题(解析版)

长郡中学 2019 届高三第三次调研考试 数学(理)试卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合 , ,则 A. 【答案】B 【解析】 【分析】 B. C. D. 先解不等式得集合 A,求定义域得集合 B,再根据交集定义求结果. 【详解】因为 = , , 所以 ,选 B. 【点睛】本题考查集合交集定义以及解不等式、求函数定义域,考查基本求解能力. 2.已知复数 A. B. C. D. ( ) ,其中 i 为虚数单位,若 为实数,则 的值为 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据复数乘法计算,再根据复数概念求 a,b 比值. 【详解】因为 所以 因为 ,所以 ,选 B. ) ), 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念,属于基本题.首先对于复数的四则运算,要切实掌握 其运算技巧和常规思路,如 . 其次要熟悉复数相关基本概念, 如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为 3.如图所示的茎叶图记录了长郡中学的甲、乙两名同学在校级运动会的五次一千米训练成绩(单位:秒) , 通过茎叶图比较两人训练成绩的平均值及方差,并从中推荐一人参加运动会, ①甲的成绩的平均值高于乙的成绩的平均值,推荐乙参加运动会 ②甲的成绩的平均值低于乙的成绩的平均值,推荐甲参加运动会 ③甲的成绩的方差高于乙的成绩的方差,推荐乙参加运动会 ④甲的成绩的方差低于乙的成绩的方差,推荐甲参加运动会 其中正确结论的编号为 A. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平均值及方差公式计算,推荐平均值差不多且方差小的参加运动会. 【详解】甲同学平均值为 , B. ②④ C. ② D. ③ 方差为 乙同学平均值为 , 方差为 , 尽管乙同学平均值略低于甲同学,但乙同学方差远远小于甲同学,所以推荐乙参加运动会, 选 A. 【点睛】均值大小代表水平高低,方差大小代表稳定性,本题考查基本求解能力,属基本题. 4.函数 的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据奇偶性淘汰 A,C,再根据函数最值确定选项. 【详解】因为 又因为 ,所以选 D. ,所以 为奇函数,不选 A,C, 【点睛】由解析式确定函数图象的判断技巧: (1)由函数的定义域,判断图象左右的位置,由函数的值域, 判断图象的上下位置;②由函数的单调性,判断图象的变化趋势;③由函数的奇偶性,判断图象的对称性; ④由函数的周期性,判断图象的循环往复 5.已知等比数列 满足 ,且 ,则 A. B. C. 【答案】D 【解析】 【分析】 D. 先根据条件确定首项与公比,再利用分组求和法求和. 【详解】因为 因为 ,所以 ,所以 , , 因此 ,选 D. 【点睛】本题采用分组转化法求和,将原数列转化为两个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有 分段型(如 ) ,符号型(如 ) ,周期型 (如 ) 6.执行如图所示的程序框图,若输出 S 的值为 55,则判断框中 m 的值为 A. 7 C. 9 B. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】 执行循环,按中止循环条件列等式,解得结果. 【详解】执行循环,得 , 所以 ,选 D. 【点睛】算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选 择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律, 明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项. 7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先还原几何体,再根据圆锥以及柱体表面积公式求结果. 【详解】还原几何体为两个圆锥与一个棱柱的组合体,其中小圆锥的底面半径为 2,高为 2;大圆锥的底面 半径为 2,高为 4,棱柱的底面为正方形,边长为 = ,高为 1,因此该几何体的表面积为 ,选 D. 【点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义,真正把握几何体的结构特征,可以根据条件构建 几何模型,在几何模型中进行求解. 8.已知双曲线 , A. B. 2 C. 的左、右焦点分别为 ,点 N 在圆 D. 3 上,则 ,实轴长为 2,渐近线方程为 的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据条件确定 M 在双曲线右支上,再根据圆的性质以及三角形不等关系求最值. 【详解】因为 ,所以点 M 在双曲线 C 右支上,因为渐近线方程为 ,所以 圆 ,即 ,设圆心为 , 则有 ,选 C. 【点睛】本题考查双曲线的定义以及圆的性质,考查基本分析转化能力,属中档题. 9.已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面为等边三角形,且底面积为 ,体积为 ,点 P,Q 分别为线段 A1B,B1C 上的动点,若直线 PQ∩平面 ACC1A1= ,点 M 为线段 PQ 的中点,则点 M 的轨迹长度为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由图像可知点 M 的轨迹为线段,两个端点分别为 和 的中点,即为等边三角形的高线,由底面积求出 等边三角形边长,进而求出三角形的高线,即 M 的轨迹. 【详解】由题意可作如下图像: 因为直线 PQ 与平面 当点 P、点 Q 分别在点 无交点所以与此平面平行,所以 、C 处时,此时中点 M 为 中点, 中点, , 当点 P、点 Q 分别在点 、 处时,此时中点 M 为 若 D、E、F 分别为三条棱的中点,则点 M 的轨迹为等边三角形 的中线, 设底面边长为 x,由底面面积可得: ,解得 , 所以轨迹长度为 . 故选 D. 【点睛】本题考查立体几何中,动点的轨迹问题,由题意找出图形中两个临界点,由题

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