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涵江区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

涵江区第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 的直线与双曲线 x 2 2

姓名__________

分数__________

y2 = 1的一条渐近线平行,并交其抛物线于 A 、 8

2

B 两点,若 AF > BF ,且 | AF |? 3 ,则抛物线方程为(
A. y ? x
2

B. y ? 2 x
2

C. y ? 4 x
2

D. y ? 3x

【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识,意在考查方程 思想和运算能力. 2. 对于函数 f(x),若? a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)为某一三角形的三边长,则称 f(x)为“可 构造三角形函数”,已知函数 f(x)= A. C. D. 是“可构造三角形函数”,则实数 t 的取值范围是( )

3. 已知 a ? (?2,1) , b ? (k , ?3) , c ? (1, 2) c ? (k , ?2) ,若 (a ? 2b) ? c ,则 | b |? ( A. 3 5 B. 3 2 C. 2 5 D. 10



【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识,意在考查转化思想、方程思想、逻辑思 维能力与计算能力. 4. 若 f(x)为定义在区间 G 上的任意两点 x1,x2 和任意实数 λ(0,1),总有 f(λx1+(1﹣λ)x2)≤λf(x1) +(1﹣λ)f(x2),则称这个函数为“上进”函数,下列函数是“上进”函数的个数是( ①f(x)= A.4 ,②f(x)= C.2 + ,③f(x)= D.1 =1 上一点,F1、F2 是椭圆的焦点,若|PF1|等于 4,则|PF2|等于( B.21 ( C.20 ) ) D.13 ) ,④f(x)= . )

B.3

5. 设 P 是椭圆 A.22

6. 设 为虚数单位,则

A. B. C. D. 7. 直线 l 过点 P(2,﹣2),且与直线 x+2y﹣3=0 垂直,则直线 l 的方程为( A.2x+y﹣2=0 8. 实数 a=0.2 B.2x﹣y﹣6=0 ,b=log 0.2,c= C.x﹣2y﹣6=0 的大小关系正确的是(
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D.x﹣2y+5=0 )

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A.a<c<b

B.a<b<c

C.b<a<c

D.b<c<a )

9. 已知函数 f(x)的图象如图,则它的一个可能的解析式为(

A.y=2

B.y=log3(x+1) C.y=4﹣

D.y= )

10.若某算法框图如图所示,则输出的结果为(

A.7

B.15

C.31

D.63 ) C. 3 或 2 3 .则“ ”是“ C.充要条件 . ”成立的( ) D.2 D.既不充分又不必要条件

11.在 ?ABC 中, b ? 3 , c ? 3 , B ? 30 ,则等于( A. 3 12.已知向量 A.充分而不必要条件 , B. 12 3 ,其中 B.必要而不充分条件

二、填空题
13.已知数列{an}中,2an,an+1 是方程 x2﹣3x+bn=0 的两根,a1=2,则 b5=

14.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若△ABC 不是直角三角形,则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号) ①tanA?tanB?tanC=tanA+tanB+tanC ②tanA+tanB+tanC 的最小值为 3 ③tanA,tanB,tanC 中存在两个数互为倒数 ④若 tanA:tanB:tanC=1:2:3,则 A=45°

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⑤当

tanB﹣1=

2 时,则 sin C≥sinA?sinB.

2 2 15.已知 x , y 为实数,代数式 1 ? ( y ? 2) ? 9 ? (3 ? x ) ?

x 2 ? y 2 的最小值是
个.

.

【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识,意在考查构造的数学思想与运算求解能力. 16.(若集合 A?{2,3,7},且 A 中至多有 1 个奇数,则这样的集合共有

17.袋中装有 6 个不同的红球和 4 个不同的白球,不放回地依次摸出 2 个球,在第 1 次摸出红球的条件下,第 2 次摸出的也是红球的概率为 .

18.如图所示 2×2 方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是 1、2、3 中的任何一个,允许重复.若填 入 A 方格的数字大于 B 方格的数字,则不同的填法共有 A B C D 种(用数字作答).

三、解答题
19.【徐州市 2018 届高三上学期期中】已知函数 (1)若函数 (2)求函数 (3)设函数 在区间 的极值; 图象上任意一点处的切线为 ,求 在 轴上的截距的取值范围. ( , 是自然对数的底数). 上是单调减函数,求实数 的取值范围;

20.如图的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出 (单位:cm). (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连结 BC′,证明:BC′∥面 EFG.

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21.(本小题满分 12 分)

1 2 x ? (a ? 3) x ? ln x . 2 (1)若函数 f ( x ) 在定义域上是单调增函数,求的最小值; 1 1 2 (2)若方程 f ( x) ? ( ? a ) x ? ( a ? 4) x ? 0 在区间 [ , e ] 上有两个不同的实根,求的取值范围. 2 e
已知函数 f ( x) ?

22.已知过点 P(0,2)的直线 l 与抛物线 C:y2=4x 交于 A、B 两点,O 为坐标原点. (1)若以 AB 为直径的圆经过原点 O,求直线 l 的方程; (2)若线段 AB 的中垂线交 x 轴于点 Q,求△ POQ 面积的取值范围.

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23.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过 8 万元时,按销售利润的 15%进行奖励; 当销售利润超过 8 万元时,若超出 A 万元,则超出部分按 log5(2A+1)进行奖励.记奖金为 y(单位:万元), 销售利润为 x(单位:万元). (1)写出奖金 y 关于销售利润 x 的关系式; (2)如果业务员小江获得 3.2 万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?

24.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 四边形 ABCD 外接于圆,AC 是圆周角 ? BAD 的角平分线, 过点 C 的切线与 AD 延长线交于点 E ,AC 交 BD 于点 F . (1)求证: BD

CE ;

(2)若 AB 是圆的直径, AB ? 4 , DE ? 1 ,求 AD 长

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涵江区第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C

ì y0 =2 2 ? ?x - p ? 0 2 ? ? p p ? 【解析】由已知得双曲线的一条渐近线方程为 y = 2 2x ,设 A( x0 , y0 ) ,则 x0 > ,所以 í x0 + = 3 , 2 2 ? ? 2 ? y0 = 2 px0 ? ? ? ? p p 解得 p = 2 或 p = 4 ,因为 3 > ,故 0 < p < 3 ,故 p = 2 ,所以抛物线方程为 y 2 ? 4x . 2 2
2. 【答案】D 【解析】解:由题意可得 f(a)+f(b)>f(c)对于?a,b,c∈R 都恒成立, 由于 f(x)= =1+ ,

①当 t﹣1=0,f(x)=1,此时,f(a),f(b),f(c)都为 1,构成一个等边三角形的三边长, 满足条件. ②当 t﹣1>0,f(x)在 R 上是减函数,1<f(a)<1+t﹣1=t, 同理 1<f(b)<t,1<f(c)<t, 由 f(a)+f(b)>f(c),可得 2≥t,解得 1<t≤2. ③当 t﹣1<0,f(x)在 R 上是增函数,t<f(a)<1, 同理 t<f(b)<1,t<f(c)<1, 由 f(a)+f(b)>f(c),可得 2t≥1,解得 1>t≥ 综上可得, ≤t≤2, ,2], .

故实数 t 的取值范围是[ 故选 D.

【点评】本题主要考查了求参数的取值范围,以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域,同时 考查了分类讨论的思想,属于难题. 3. 【答案】A 【 解 析 】

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4. 【答案】C 【解析】解:由区间 G 上的任意两点 x1,x2 和任意实数 λ(0,1), 总有 f(λx1+(1﹣λ)x2)≤λf(x1)+(1﹣λ)f(x2), 等价为对任意 x∈G,有 f″(x)>0 成立(f″(x)是函数 f(x)导函数的导函数), ①f(x)= ②f(x)= ③f(x)= <0 恒成立, 故③不为“上进”函数; ④f(x)= 的导数 f′(x)= ,f″(x)= ,当 x∈(2,3)时,f″(x)>0 恒成立. 的导数 f′(x)= 的导数 f′(x)= ,f″(x)= ,f″(x)=﹣ ? ,故在(2,3)上大于 0 恒成立,故①为“上进”函数; <0 恒成立,故②不为“上进”函数; ,f″(x)=

的导数 f′(x)=

故④为“上进”函数. 故选 C. 【点评】本题考查新定义的理解和运用,同时考查导数的运用,以及不等式恒成立问题,属于中档题. 5. 【答案】A 【解析】解:∵P 是椭圆 + =1 上一点,F1、F2 是椭圆的焦点,|PF1|等于 4,

∴|PF2|=2×13﹣|PF1|=26﹣4=22. 故选:A. 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,是基础题,解题时要熟练掌握椭圆定义的应用. 6. 【答案】C 【解析】【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】 故答案为:C 7. 【答案】B

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【解析】解:∵直线 x+2y﹣3=0 的斜率为﹣ , ∴与直线 x+2y﹣3=0 垂直的直线斜率为 2, 故直线 l 的方程为 y﹣(﹣2)=2(x﹣2), 化为一般式可得 2x﹣y﹣6=0 故选:B 【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系,属基础题. 8. 【答案】C 【解析】解:根据指数函数和对数函数的性质,知 log 即 0<a<1,b<0,c>1, ∴b<a<c. 故选:C. 【点评】本题主要考查函数数值的大小比较,利用指数函数,对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键. 0.2<0,0<0.2 <1, ,

9. 【答案】C 【解析】解:由图可得,y=4 为函数图象的渐近线, 函数 y=2 ,y=log3(x+1),y= 的值域均含 4, 即 y=4 不是它们的渐近线, 函数 y=4﹣ 的值域为(﹣∞,4)∪(4,+∞),

故 y=4 为函数图象的渐近线, 故选:C 【点评】本题考查的知识点是函数的图象,函数的值域,难度中档. 10.【答案】 D 【解析】解:模拟执行算法框图,可得 A=1,B=1 满足条件 A≤5,B=3,A=2 满足条件 A≤5,B=7,A=3 满足条件 A≤5,B=15,A=4 满足条件 A≤5,B=31,A=5 满足条件 A≤5,B=63,A=6

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不满足条件 A≤5,退出循环,输出 B 的值为 63. 故选:D. 【点评】本题主要考查了程序框图和算法,正确得到每次循环 A,B 的值是解题的关键,属于基础题. 11.【答案】C 【解析】

考 点:余弦定理. 12.【答案】A 【解析】【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】若 反过来,若 ,则 ,则 或 ”成立的充分而不必要条件。 成立;

所以“ ”是“ 故答案为:A

二、填空题
13.【答案】 ﹣1054 .
2 【解析】解:∵2an,an+1 是方程 x ﹣3x+bn=0 的两根,

∴2an+an+1=3,2anan+1=bn, ∵a1=2,∴a2=﹣1,同理可得 a3=5,a4=﹣7,a5=17,a6=﹣31. 则 b5=2×17×(﹣31)=1054. 故答案为:﹣1054. 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

14.【答案】 ①④⑤ 【解析】解:由题意知:A≠ ,B≠ ,C≠ ,且 A+B+C=π

∴tan(A+B)=tan(π ﹣C)=﹣tanC, 又∵tan(A+B)= ,

∴tanA+tanB=tan(A+B)(1﹣tanAtanB)=﹣tanC(1﹣tanAtanB)=﹣tanC+tanAtanBtanC, 即 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,故①正确;

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当 A=

,B=C=

时,tanA+tanB+tanC=

<3

,故②错误;

若 tanA,tanB,tanC 中存在两个数互为倒数,则对应的两个内角互余,则第三个内角为直角,这与已知矛盾, 故③错误;
3 由①,若 tanA:tanB:tanC=1:2:3,则 6tan A=6tanA,则 tanA=1,故 A=45°,故④正确;



tanB﹣1= ,

时,

tanA?tanB=tanA+tanB+tanC,即 tanC=

,C=60°,

2 此时 sin C=

sinA?sinB=sinA?sin =sinA? (120°﹣A) ( cos2A= sin(2A﹣30°) ≤ ,

cosA+

sinA) =

sinAcosA+

sin2A=

sin2A+



2 则 sin C≥sinA?sinB.故⑤正确;

故答案为:①④⑤ 【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了和角的正切公式,反证法,诱导公式等知识点,难度中档. 15.【答案】 41 . 【 解 析 】

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16.【答案】 6

【解析】解:集合 A 为{2,3,7}的真子集有 7 个,奇数 3、7 都包含的有{3,7},则符合条件的有 7﹣1=6 个. 故答案为:6 【点评】本题考查集合的子集问题,属基础知识的考查. 17.【答案】 .

【解析】解:方法一:由题意,第 1 次摸出红球,由于不放回,所以袋中还有 5 个不同的红球和 4 个不同的白 球 故在第 1 次摸出红球的条件下,第 2 次摸出的也是红球的概率为 方法二:先求出“第一次摸到红球”的概率为:P1= , = ,

设“在第一次摸出红球的条件下,第二次也摸到红球”的概率是 P2 再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为 P= 根据条件概率公式,得:P2= 故答案为: = , = ,

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【点评】本题考查了概率的计算方法,主要是考查了条件概率与独立事件的理解,属于中档题.看准确事件之 间的联系,正确运用公式,是解决本题的关键. 18.【答案】 27
2 【解析】解:若 A 方格填 3,则排法有 2×3 =18 种, 2 若 A 方格填 2,则排法有 1×3 =9 种,

根据分类计数原理,所以不同的填法有 18+9=27 种. 故答案为:27. 【点评】本题考查了分类计数原理,如何分类是关键,属于基础题.

三、解答题
19.【答案】(1) (2)见解析(3) 在区间 上恒成立,化简可得一次函数恒成立,根据一次函

【解析】试题分析:(1)由题意转化为

数性质得不等式,解不等式得实数 的取值范围;(2)导函数有一个零点,再根据 a 的正负讨论导函数符号变 化规律,确定极值取法(3)先根据导数得切线斜率再根据点斜式得切线方程,即得切线在 x 轴上的截距,最 后根据 a 的正负以及基本不等式求截距的取值范围. 试题解析:(1)函数 则 又 在区间 ,所以 的导函数 在区间 上恒成立, , 上恒成立,且等号不恒成立,

记 (2)由 ①当 所以函数 所以函数 ②当 所以函数 时,有 在 在 时,有 在

,只需

, 即 ,得 ; 单调递增, ,

,解得



, 单调递减, ,没有极小值.

取得极大值 ; 单调递减,

, 单调递增,

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所以函数 综上可知: 当



取得极小值 时,函数 时,函数 , 在 在

,没有极大值. 取得极大值 取得极小值 ,没有极小值; ,没有极大值. , ,其在 轴上的截距不存在.

当 (3)设切点为

则曲线在点 处的切线 方程为 当 当 时,切线 的方程为 时,令 ,得切线 在 轴上的截距为

, 当 时,



当且仅当 当 时,

,即



时取等号;



当且仅当

,即



时取等号. .

所以切线 在 轴上的截距范围是 点睛:函数极值问题的常见类型及解题策略

(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为 0 的点,再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号.

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(2)已知函数求极值.求 论. (3)已知极值求参数.若函数 反. 20.【答案】 【解析】解:(1)如图

→求方程 在点

的根→列表检验 处取得极值,则



的根的附近两侧的符号→下结

,且在该点左、右两侧的导数值符号相

(2)它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥, 设长方体体积为 V1,小三棱锥的体积为 V2,则根据图中所给条件得:V1=6×4×4=96cm , V2= ? ?2?2?2= cm3, ∴V=v1﹣v2= cm3
3

(3)证明:如图,

在长方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,连接 AD′,则 AD′∥BC′ 因为 E,G 分别为 AA′,A′D′中点,所以 AD′∥EG,从而 EG∥BC′, 又 EG?平面 EFG,所以 BC′∥平面 EFG;

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2016 年 4 月 26 日 21.【答案】(1);(2) 0 ? a ? 1 .1111] 【解析】



1 f '( x) ? 0 对 x ? 0 恒成立,即 a ? ?( x ? ) ? 3 对 x ? 0 恒成立, x 1 而当 x ? 0 时, ?( x ? ) ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 , x ∴ a ?1.
若函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上递减, 则 f '( x) ? 0 对 x ? 0 恒成立,即 a ? ?( x ? ) ? 3 对 x ? 0 恒成立, 这是不可能的. 综上, a ? 1 . 的最小值为 1. 1 (2)由 f ( x) ? ( ? a) x ? (a ? 2) x ? 2ln x ? 0 ,
2

1 x

1 2

得 (a ? ) x ? (2 ? a) x ? 2 ln x ,
2

1 2

1 ( ? 1) x 2 ? 2 x(ln x ? x) ln x ? x ln x ? x 1 ? x ? 2ln x 即a ? ,令 r ( x ) ? , r '( x) ? x , ? 2 2 3 x x x x3 得 1 ? x ? 2 ln x ? 0 的根为 1,

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考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、函数零点问题及不等式恒成立问题. 【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数零点问题及不等式恒成立问题,属于难题.不等 式恒成立问题常见方法:①分离参数 a ? f ( x) 恒成立( a ? f ( x)min 即可)或 a ? f ( x) 恒成( a ? f ( x)max 即 可);②数形结合;③讨论最值 f ( x)min ? 0 或 f ( x)max ? 0 恒成立;④讨论参数.本题(2)就是先将问题转化 为不等式恒成立问题后再利用①求得的最小值的. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 22.【答案】 【解析】解:(1)设直线 AB 的方程为 y=kx+2(k≠0), 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 ,得 k2x2+(4k﹣4)x+4=0,

则由△=(4k﹣4)2﹣16k2=﹣32k+16>0,得 k< , = , ,

所以 y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4= , 因为以 AB 为直径的圆经过原点 O, 所以∠AOB=90°, 即 所以 解得 k=﹣ , , ,

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即所求直线 l 的方程为 y=﹣



(2)设线段 AB 的中点坐标为(x0,y0), 则由(1)得 所以线段 AB 的中垂线方程为 令 y=0,得 = = 或 , , , , ,

又由(1)知 k< ,且 k≠0,得 所以 所以 = ,



所以△POQ 面积的取值范围为(2,+∞). 【点评】本题考查直线 l 的方程的求法和求△POQ 面积的取值范围.考查抛物线标准方程,简单几何性质, 直线与抛物线的位置关系等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化 思想. 23.【答案】 【解析】解:(1)由题意,当销售利润不超过 8 万元时,按销售利润的 1%进行奖励;当销售利润超过 8 万 元时,若超出 A 万元,则超出部分按 log5(2A+1)进行奖励, ∴0<x≤8 时,y=0.15x;x>8 时,y=1.2+log5(2x﹣15) ∴奖金 y 关于销售利润 x 的关系式 y= (2)由题意知 1.2+log5(2x﹣15)=3.2,解得 x=20. 所以,小江的销售利润是 20 万元. 【点评】本题以实际问题为载体,考查函数模型的构建,考查学生的计算能力,属于中档题. 24.【答案】 【解析】【命题意图】本题主要考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识,意在考 查逻辑推证能力、转化能力、识图能力.

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DE DC BC 2 ? ? ,则 BC ? AB ? DE ? 4 ,∴ BC ? 2 . BC BA AB 1 ∴在 Rt?ABC 中, BC ? AB ,∴ ?BAC ? 30? ,∴ ?BAD ? 60? , 2 1 ∴在 Rt?ABD 中, ?ABD ? 30? ,所以 AD ? AB ? 2 . 2


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