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广河县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

广河县高中 2018-2019 学年高二下学期第二次月考试卷数学

一、选择题

1. 设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=lnx 的图象分别交于点 M,N,则当|MN|达到最小时 t 的值为(



A.1

B.

C.

D.

2.

三角函数

f

(x)

?

? sin(

? 2x) ? cos 2x 的振幅和最小正周期分别是(



6

A. 3, ? 2

B. 3,?

C. 2, ? 2

D. 2,?

3. 江岸边有一炮台高 30 米,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为 45°和 30°,而且两条船与炮台底部

连线成 30°角,则两条船相距( )

A.10 米

B.100 米

C.30 米

D.20 米

4. 已知双曲线的方程为 ﹣ =1,则双曲线的离心率为( )

A. B. C. 或 D. 或

5. 下列命题中正确的个数是( ) ①如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行. ②若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都平行. ③若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点. ④若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α. A.0 B.1 C.2 D.3
6. 若命题“p∧q”为假,且“?q”为假,则( ) A.“p∨q”为假 B.p 假 C.p 真 D.不能判断 q 的真假

7. 设命题 p:函数 y=sin(2x+ )的图象向左平移 个单位长度得到的曲线关于 y 轴对称;命题 q:函数

y=|2x﹣1|在[﹣1,+∞)上是增函数.则下列判断错误的是(



A.p 为假 B.¬q 为真 C.p∨q 为真 D.p∧q 为假

8. 已知圆 C:x2+y2﹣2x=1,直线 l:y=k(x﹣1)+1,则 l 与 C 的位置关系是( ) A.一定相离 B.一定相切 C.相交且一定不过圆心 D.相交且可能过圆心

9. 若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( )

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

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【命题意图】本题考查阅读程序框图,理解程序框图的功能,本质是循环语句循环终止的条件. 10.设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),

则 C 的方程为( )

A.y2=4x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x

B.y2=2x 或 y2=8x D.y2=2x 或 y2=16x

11.设集合 M={(x,y)|x2+y2=1,x∈R,y∈R},N={(x,y)|x2﹣y=0,x∈R,y∈R},则集合 M∩N 中元素的

个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

12.设 0<a<b 且 a+b=1,则下列四数中最大的是( )

A.a2+b2 B.2ab C.a D.

二、填空题

13.已知集合 A ? ?x | 0 ? x≤3, x ? R? , B ? ?x | ?1≤x≤2, x ? R?,则 A∪B= ▲ .

14.在 ?ABC 中, ?C ? 90 , BC ? 2 , M 为 BC 的中点, sin ?BAM ? 1 ,则 AC 的长为_________. 3

15.定义在 R 上的偶函数 (f x)在[0,+∞)上是增函数,且 (f 2)=0,则不等式 (f log8x)>0 的解集是



16.如图,△ ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,PA⊥平面 ABC,此图形中有

个直角三角形.

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17.【常熟中学

2018

届高三

10

月阶段性抽测(一)】已知函数

f

?x?

?

lnx x

?

x

?

a ?a ? R ? ,若曲线

y

?

2e x ?1 e2x ?1

? ? ( e ? 为自然对数的底数)上存在点 x0, y0 ? 使得 f f ? y0 ? ? y0 ,则实数 a 的取值范围为__________.

18.对任意实数 x,不等式 ax2﹣2ax﹣4<0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 .

三、解答题

19.已知 f(x)=log3(1+x)﹣log3(1﹣x). (1)判断函数 f(x)的奇偶性,并加以证明;

(2)已知函数 g(x)=log

,当 x∈[ , ]时,不等式 f(x)≥g(x)有解,求 k 的取值范围.

20.已知 cos( +θ)=﹣ ,

<θ< ,求

的值.

21.已知函数 f(x)=xlnx,求函数 f(x)的最小值.
? ? ? ? 22.已知 A ? a2, a ?1, ?3 , B ? a ? 3,3a ?1, a2 ?1 ,若 A B ? ??3? ,求实数的值.
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23.设△ABC 的内角 A,B,C 所对应的边长分别是 a,b,c 且 cosB= ,b=2
(Ⅰ)当 A=30°时,求 a 的值; (Ⅱ)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值.

24.已知定义域为 R 的函数 f(x)=

是奇函数.

(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)判断函数 f(x)的单调性; (Ⅲ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

25.如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, A1A ? AB, CB ? A1ABB1 . (1)求证: AB1 ? 平面 A1BC ; (2)若 AC ? 5, BC ? 3, ?A1AB ? 60 ,求三棱锥 C ? AA1B 的体积.

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26.(本小题满分 12 分)
已知平面向量 a ? (1, x) , b ? (2x ? 3, ?x) , (x ? R) . (1)若 a / /b ,求| a ? b | ;
(2)若与夹角为锐角,求的取值范围.
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广河县高中 2018-2019 学年高二下学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D

【解析】解:设函数 y=f(x)﹣g(x)=x2﹣lnx,求导数得 =



时,y′<0,函数在

上为单调减函数,



时,y′>0,函数在

上为单调增函数

所以当

时,所设函数的最小值为

所求 t 的值为
故选 D 【点评】可以结合两个函数的草图,发现在(0,+∞)上 x2>lnx 恒成立,问题转化为求两个函数差的最小值 对应的自变量 x 的值.

2. 【答案】B

【解析】 f (x) ? sin ? cos 2x ? cos ? sin 2x ? cos 2x

6

6

? 3 cos 2x ? 3 sin 2x ? 3( 3 cos 2x ? 1 sin 2x)

2

2

2

2

? 3 cos(2x ? ? ) ,故选 B. 6

3. 【答案】C

【解析】解:如图,过炮台顶部 A 作水平面的垂线,垂足为 B,设 A 处观测小船 C 的俯角为 45°,

设 A 处观测小船 D 的俯角为 30°,连接 BC、BD Rt△ABC 中,∠ACB=45°,可得 BC=AB=30 米 Rt△ABD 中,∠ADB=30°,可得 BD= AB=30 米 在△BCD 中,BC=30 米,BD=30 米,∠CBD=30°, 由余弦定理可得: CD2=BC2+BD2﹣2BCBDcos30°=900 ∴CD=30 米(负值舍去) 故选:C

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【点评】本题给出实际应用问题,求炮台旁边两条小船距的距离.着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系 等知识,属于中档题.熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形,是解决本题的关键.

4. 【答案】C

【解析】解:双曲线的方程为



=1,

焦点坐标在 x 轴时,a2=m,b2=2m,c2=3m,

离心率 e=



焦点坐标在 y 轴时,a2=﹣2m,b2=﹣m,c2=﹣3m,

离心率 e=

=



故选:C. 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,注意实轴所在轴的易错点.

5. 【答案】B

【解析】解:①如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条与这个平面平行或在这个平面内, 故①错误. ②若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都平行或异面,故②错误. ③若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都平行或异面, 故 l 与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点,故③正确. ④若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α 或 l 与平面相交,故④错误. 故选:B. 【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面间的位置关 系的合理运用.

6. 【答案】B

【解析】解:∵命题“p∧q”为假,且“?q”为假, ∴q 为真,p 为假; 则 p∨q 为真, 故选 B. 【点评】本题考查了复合命题的真假性的判断,属于基础题.

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7. 【答案】C
【解析】解:函数 y=sin(2x+ )的图象向左平移 个单位长度得到 y=sin(2x+
当 x=0 时,y=sin = ,不是最值,故函数图象不关于 y 轴对称,
故命题 p 为假命题; 函数 y=|2x﹣1|在[﹣1,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数. 故命题 q 为假命题; 则¬q 为真命题; p∨q 为假命题; p∧q 为假命题, 故只有 C 判断错误, 故选:C

)的图象,

8. 【答案】C

【解析】

【分析】将圆 C 方程化为标准方程,找出圆心 C 坐标与半径 r,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的

距离 d,与 r 比较大小即可得到结果. 【解答】解:圆 C 方程化为标准方程得:(x﹣1)2+y2=2,

∴圆心 C(1,0),半径 r= ,



≥ >1,

∴圆心到直线 l 的距离 d=

< =r,且圆心(1,0)不在直线 l 上,

∴直线 l 与圆相交且一定不过圆心. 故选 C 9. 【答案】A
【解析】运行该程序,注意到循环终止的条件,有 n ? 10,i ? 1;n ? 5,i ? 2;n ? 16,i ? 3;n ? 8,i ? 4;n ? 4, i ? 5;n ? 2,i ? 6;n ? 1,i ? 7,到此循环终止,故选 A.
10.【答案】 C 【解析】解:∵抛物线 C 方程为 y2=2px(p>0),
∴焦点 F 坐标为( ,0),可得|OF|= ,
∵以 MF 为直径的圆过点(0,2), ∴设 A(0,2),可得 AF⊥AM,

Rt△AOF 中,|AF|=

=



∴sin∠OAF= =



∵根据抛物线的定义,得直线 AO 切以 MF 为直径的圆于 A 点,

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∴∠OAF=∠AMF,可得 Rt△AMF 中,sin∠AMF= =



∵|MF|=5,|AF|=



=

,整理得 4+ = ,解之可得 p=2 或 p=8

因此,抛物线 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x. 故选:C.
方法二: ∵抛物线 C 方程为 y2=2px(p>0),∴焦点 F( ,0), 设 M(x,y),由抛物线性质|MF|=x+ =5,可得 x=5﹣ ,

因为圆心是 MF 的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为

=,

由已知圆半径也为 ,据此可知该圆与 y 轴相切于点(0,2),故圆心纵坐标为 2,则 M 点纵坐标为 4,

即 M(5﹣ ,4),代入抛物线方程得 p2﹣10p+16=0,所以 p=2 或 p=8. 所以抛物线 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x. 故答案 C.

【点评】本题给出抛物线一条长度为 5 的焦半径 MF,以 MF 为直径的圆交抛物线于点(0,2),求抛物线的 方程,着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识,属于中档题. 11.【答案】B
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【解析】解:根据题意,M∩N={(x,y)|x2+y2=1,x∈R,y∈R}∩{(x,y)|x2﹣y=0,x∈R,y∈R}═{(x,y)

|

}

将 x2﹣y=0 代入 x2+y2=1, 得 y2+y﹣1=0,△=5>0, 所以方程组有两组解, 因此集合 M∩N 中元素的个数为 2 个, 故选 B. 【点评】本题既是交集运算,又是函数图形求交点个数问题

12.【答案】A

【解析】解:∵0<a<b 且 a+b=1

∴2b>1 ∴2ab﹣a=a(2b﹣1)>0,即 2ab>a 又 a2+b2﹣2ab=(a﹣b)2>0 ∴a2+b2>2ab ∴最大的一个数为 a2+b2 故选 A

二、填空题
13.【答案】1-1,3] 【解析】
试题分析:A∪B=?x | 0 ? x≤3, x ? R? ?x | ?1≤x≤2, x ? R? =1-1,3]
考点:集合运算 【方法点睛】 1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点 集还是其他的集合. 2.求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解. 3.在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用 Venn 图 表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.
14.【答案】 2
【解析】

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考点:1、正弦定理及勾股定理;2 诱导公式及直角三角形的性质. 【方法点睛】本题主要考查正弦定理及勾股定理、诱导公式及直角三角形的性质,属于难题,高考三角函数的 考查主要以三角恒等变形,三角函数的图象和性质,利用正弦定理、余弦定理解三角形为主,难度中等,因此 只要掌握基本的解题方法与技巧即可, 对于三角函数与解三角形相结合的题目,要注意通过正余弦定理以及 面积公式实现边角互化,求出相关的边和角的大小,有时也要考虑特殊三角形的特殊性质(如正三角形,直角 三角形等). 15.【答案】 (0, )∪(64,+∞) .
【解析】解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(log8x)>0,等价为:f(|log8x|)>f(2), 又 f(x)在[0,+∞)上为增函数, ∴|log8x|>2,∴log8x>2 或 log8x<﹣2, ∴x>64 或 0<x< . 即不等式的解集为{x|x>64 或 0<x< } 故答案为:(0, )∪(64,+∞) 【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合,是函数性质综合考查题,熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系 是解答的关键,根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键.
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16.【答案】 4

【解析】解:由 PA⊥平面 ABC,则△PAC,△PAB 是直角三角形,又由已知△ABC 是直角三角形,∠ACB=90° 所以 BC⊥AC,从而易得 BC⊥平面 PAC,所以 BC⊥PC,所以△PCB 也是直角三角形, 所以图中共有四个直角三角形,即:△PAC,△PAB,△ABC,△PCB. 故答案为:4 【点评】本题考查空间几何体的结构特征,空间中点线面的位置关系,线面垂直的判定定理和性质定理的熟练 应用是解答本题的关键.

17.【答案】

? ??

??,

1 e

? ??

? ? ? ? 【解析】结合函数的解析式:

y

?

2e x ?1 e2x ?1

可得:

y'

?

2ex?1 1? e2x e2x ?1 2



令 y′=0,解得:x=0,

当 x>0 时,y′>0,当 x<0,y′<0,

则 x∈(-∞,0),函数单调递增,x∈(0,+∞)时,函数 y 单调递减,

则当 x=0 时,取最大值,最大值为 e,

∴y0 的取值范围(0,e],

结合函数的解析式:

f

?x?

?

lnx x

?

x

? a ?a ? R ? 可得:

f

'?x?

?

x2

? lnx x2

?1



x∈(0,e), f '? x? ? 0 ,

则 f(x)在(0,e)单调递增,

下面证明 f(y0)=y0.

假设 f(y0)=c>y0,则 f(f(y0))=f(c)>f(y0)=c>y0,不满足 f(f(y0))=y0.

同理假设 f(y0)=c<y0,则不满足 f(f(y0))=y0.

综上可得:f(y0)=y0.

令函数 f ? x? ? lnx ? x ? a ? x .
x



g

?

x?

?

lnx x

,求导

g

'?

x?

?

1? lnx x2



当 x∈(0,e),g′(x)>0,

g(x)在(0,e)单调递增,

当 x=e 时取最大值,最大值为 g ?e? ? 1 ,
e

当 x→0 时,a→-∞,

∴a

的取值范围

? ??

??,

1 e

? ??

.

点睛:(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号.而解答本题(2)问时,关键是分离

参数 k,把所求问题转化为求函数的最小值问题.

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(2)若可导函数 f(x)在指定的区间 D 上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为 f′(x)≥0(或 f′(x) ≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到. 18.【答案】 (﹣4,0] .

【解析】解:当 a=0 时,不等式等价为﹣4<0,满足条件; 当 a≠0 时,要使不等式 ax2﹣2ax﹣4<0 恒成立,

则满足








解得﹣4<a<0, 综上:a 的取值范围是(﹣4,0]. 故答案为:(﹣4,0]. 【点评】本题主要考查不等式恒成立问题,注意要对二次项系数进行讨论.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)f(x)=log3(1+x)﹣log3(1﹣x)为奇函数. 理由:1+x>0 且 1﹣x>0,得定义域为(﹣1,1),(2 分) 又 f(﹣x)=log3(1﹣x)﹣log3(1+x)=﹣f(x), 则 f(x)是奇函数.

(2)g(x)=log

=2log3 ,(5 分)

又﹣1<x<1,k>0,(6 分)

由 f(x)≥g(x)得 log3

≥log3







,(8 分)

即 k2≥1﹣x2,(9 分) x∈[ , ]时,1﹣x2 最小值为 ,(10 分)

则 k2≥ ,(11 分)

又 k>0,则 k≥ ,

即 k 的取值范围是(﹣∞, ].
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和证明,考查不等式有解的条件,注意运用对数函数的单调性,考查运 算化简能力,属于中档题.

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20.【答案】 【解析】解:∵

<θ< ,∴ +θ∈( , ),

∵cos( +θ)=﹣ ,∴sin( +θ)=﹣

=﹣ ,

∴sin( +θ)=sinθcos +cosθsin = (cosθ+sinθ)=﹣ ,

∴sinθ+cosθ=﹣ ,①

cos( +θ)=cos cosθ﹣sin sinθ= (cosθ﹣cosβ)=﹣ ,

∴cosθ﹣sinθ=﹣ ,②

联立①②,得 cosθ=﹣ ,sinθ=﹣ ,



=

=

=

=.

【点评】本题考查函数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意三角函数诱导公式、加法定理和同角三 角函数关系式的合理运用.

21.【答案】 【解析】解:函数的定义域为(0,+∞) 求导函数,可得 f′(x)=1+lnx
令 f′(x)=1+lnx=0,可得

∴0<x< 时,f′(x)<0,x> 时,f′(x)>0

∴ 时,函数取得极小值,也是函数的最小值

∴f(x)min=

=

=﹣ .

【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的最值,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

22.【答案】 a ? ? 2 . 3
【解析】

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考点:集合的运算. 23.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)∵cosB= ,B∈(0,π),

∴sinB=

=,

由正弦定理可知:



∴a= .

(Ⅱ)∵S△ABC=

=

=3,

∴ac= .

由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB=(a+c)2﹣2ac﹣2ac× =4,

∴(a+c)2= 故:a+c=2 .

+4=28,

24.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0,



?b=1,





(Ⅱ)由(Ⅰ)知



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设 x1<x2 则 f(x1)﹣f(x2)=



=

因为函数 y=2x 在 R 上是增函数且 x1<x2∴f(x1)﹣f(x2)=

>0

即 f(x1)>f(x2) ∴f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数 (III)f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数,又因为 f(x)是奇函数, 所以 f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0 等价于 f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2), 因为 f(x)为减函数,由上式可得:t2﹣2t>k﹣2t2. 即对一切 t∈R 有:3t2﹣2t﹣k>0,

从而判别式



所以 k 的取值范围是 k<﹣ . 【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用;同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略,是 一道综合题.

25.【答案】(1)证明见解析;(2) 4 3 .
【解析】
试题分析:(1)有线面垂直的性质可得 BC ? AB1 ,再由菱形的性质可得 AB1 ? A1B ,进而有线面垂直的判 定定理可得结论;(2)先证三角形 A1 AB 为正三角形,再由于勾股定理求得 AB 的值,进而的三角形 A1 AB 的 面积,又知三棱锥的高为 BC ? 3,利用棱锥的体积公式可得结果.

考 点:1、线面垂直的判定定理;2、勾股定理及棱锥的体积公式.
26.【答案】(1)2 或 2 5 ;(2) (?1, 0) (0,3) .
【解析】 试题分析:(1)本题可由两向量平行求得参数,由坐标运算可得两向量的模,由于有两解,因此模有两个值;
(2)两向量 a, b 的夹角为锐角的充要条件是 a ?b ? 0 且 a, b 不共线,由此可得范围. 试题解析:(1)由 a / /b ,得 x ? 0 或 x ? ?2 ,
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当 x ? 0 时, a ? b ? (?2, 0) ,| a ? b |? 2 , 当 x ? ?2 时, a ? b ? (2, ?4) ,| a ? b |? 2 5 . (2)与夹角为锐角, a ? b ? 0 , ?x2 ? 2x ? 3 ? 0 , ?1? x ? 3, 又因为 x ? 0 时, a / /b , 所以的取值范围是 (?1, 0) (0,3) .
考点:向量平行的坐标运算,向量的模与数量积.
【名师点睛】由向量的数量积 a ?b ? a b cos? 可得向量的夹角公式,当为锐角时,cos? ? 0 ,但当 cos? ? 0 时,可能为锐角,也可能为 0(此时两向量同向),因此两向量夹角为锐角的充要条件是 a ? b ? 0 且 a, b 不同
ab 向,同样两向量夹角为钝角的充要条件是 a ? b ? 0 且 a, b 不反向.
ab
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