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宁武县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

宁武县第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 若函数 f ( x) ? 4 x2 ? kx ? 8 在 [5,8] 上是单调函数,则 k 的取值范围是( A. ? ??, 40? A. ?1,3? 3. 若 A. C. 4. 抛物线 y= x2 的焦点坐标为( A.(0, ) B.( ,0) ) C.(0,4) D.(0,2) ) D. 260 )

姓名__________

分数__________

?64, ???

B. [40,64]

2 2. 集合 A ? ? x | ln x ? 0? , B ? x | x ? 9 ,则 A

?

?

C. ? ??, 40?

D. ?64, ?? ? )

B?(

B. ?1,3? ,则下列不等式一定成立的是( ) B. D.

C. ?1, ???

D. ?e,3?

5. 在下面程序框图中,输入 N ? 44 ,则输出的 S 的值是( A. 251 B. 253 C. 255

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【命题意图】本题考查阅读程序框图,理解程序框图的功能,本质是把正整数除以 4 后按余数分类. 6. 已知三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积为 32 ? , ?ABC ? 90 ,三棱锥 S ? ABC 的三视图如图
0

所示,则其侧视图的面积的最大值为( A.4 B. 4 2

) C.8 D. 4 7

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7. 某工厂生产某种产品的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)有如表几组样本数据: x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 ) =0.7x+1 C. =0.7x+2.05 D. =0.7x+0.45

据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得其回归直线的斜率为 0.7,则这组 样本数据的回归直线方程是( A. =0.7x+0.35 B.

8. 已知直线 ax+by+c=0 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,且 A. B. C. D.0 )

,则

的值是(



9. 某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 S 的值为(

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A.1

B.

C.

D. )

10.下列命题正确的是(

A.很小的实数可以构成集合. B.集合 ? y | y ? x 2 ? 1? 与集合 ?? x, y ? | y ? x 2 ? 1? 是同一个集合. C.自然数集 N 中最小的数是. D.空集是任何集合的子集.
11.如图所示为某几何体的正视图和侧视图,则该几何体体积的所有可能取值的集合是( )

A.{ ,

} B.{ , ,

} C.{V| ≤V≤ }

D.{V|0<V≤ }

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12.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x﹣2)=f(x+2),当 0<x<2 时,f(x)=1﹣log2(x+1), 则当 0<x<4 时,不等式(x﹣2)f(x)>0 的解集是( A.(0,1)∪(2,3) B.(0,1)∪(3,4) ) D.(1,2)∪(2,3) C.(1,2)∪(3,4)

二、填空题
13.给出下列命题: ①把函数 y=sin(x﹣ )图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y=sin(2x﹣ );

②若 α ,β 是第一象限角且 α <β ,则 cosα >cosβ ; ③x=﹣ 是函数 y=cos(2x+ π )的一条对称轴; )与函数 y=4cos(2x﹣ )相同;

④函数 y=4sin(2x+ ⑤y=2sin(2x﹣

)在是增函数; . °. .

则正确命题的序号

14.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 A1B 与 AC 所成的角是 15.如图是一个正方体的展开图,在原正方体中直线 AB 与 CD 的位置关系是

16. f x) +∞) f 2) =0, f log8x) 定义在 R 上的偶函数 ( 在[0, 上是增函数, 且( 则不等式 ( >0 的解集是
f′ ? x?



17.定义在 R 上的可导函数 f ( x) ,已知 y

?e

的图象如图所示,则 y ? f ( x) 的增区间是 ▲ .

y 18.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2,3,5,8,13,…其中 从第三个数起, 每一个数都等于他前面两个数的和. 该数列是一个非常美丽、 和谐的数列, 有很多奇妙的属性. 比 1 如:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割 0.6180339887….人们称该数列{an}为“斐波那 x O 1 2 {an}的每一项除以 契数列” .若把该数列 4 所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn},在数列{bn}中第 2016 项的值是 .

三、解答题
19.(本小题满分 12 分)

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已知数列 ?an ? 的各项均为正数, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

4 . an ?1 ? an

?

1 ? ? 的前 n 项和 Sn . ? an?1 ? an ?

20.已知椭圆 C1:

+x2=1(a>1)与抛物线 C

2 :x =4y 有相同焦点 F1.

(Ⅰ)求椭圆 C1 的标准方程; (Ⅱ)已知直线 l1 过椭圆 C1 的另一焦点 F2,且与抛物线 C2 相切于第一象限的点 A,设平行 l1 的直线 l 交椭圆 C1 于 B,C 两点,当△ OBC 面积最大时,求直线 l 的方程.

21.已知命题 p:x2﹣2x+a≥0 在 R 上恒成立,命题 q: q 为假,求实数 a 的取值范围.

若 p 或 q 为真,p 且

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22.已知 x2﹣y2+2xyi=2i,求实数 x、y 的值.

23.【徐州市第三中学 2017~2018 学年度高三第一学期月考】为了制作广告牌,需在如图所示的铁片上切割 出一个直角梯形,已知铁片由两部分组成,半径为 1 的半圆 O 及等腰直角三角形 EFH ,其中 FE ? FH ,为 裁剪出面积尽可能大的梯形铁片 ABCD (不计损耗),将点 A, B 放在弧 EF 上,点 C , D 放在斜边 EH 上, 且 AD / / BC / / HF ,设 ?AOE ? ? . (1)求梯形铁片 ABCD 的面积 S 关于 ? 的函数关系式; (2)试确定 ? 的值,使得梯形铁片 ABCD 的面积 S 最大,并求出最大值.

24.设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=

,g(x)=

,其中 n∈N

*

(Ⅰ)求函数 f(x)的最大值及函数 g(x)的单调区间;

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y=c (Ⅱ) 若存在直线 l: (c∈R) , 使得曲线 y=f (x) 与曲线 y=g (x) 分别位于直线 l 的两侧, 求 n 的最大值. (参 考数据:ln4≈1.386,ln5≈1.609)

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宁武县第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】 试题分析: 根据 f ? x ? ? 4x2 ? kx ? 8 可知, 函数图象为开口向上的抛物线, 对称轴为 x ? 在区间 ?5,8? 上为单调函数,则应满足:

k , 所以若函数 f ? x ? 8

k k ? 5 或 ? 8 ,所以 k ? 40 或 k ? 64 。故选 A。 8 8

考点:二次函数的图象及性质(单调性)。 2. 【答案】B 【解析】 试题分析:因为 A ? ?x | ln x ? 0? ? A ? ?x | x ? 1 ? , B ? x | x 2 ? 9 ? B ? ? x | ?3 ? x ? 3? ,所以

?

?

A B ? ?x |1 ? x ? 3? ,故选 B.
考点:1、对数函数的性质及不等式的解法;2、集合交集的应用. 3. 【答案】D 【解析】 因为 , 有可能为负值,所以排除 A,C,因为函数 故选 D 答案:D 4. 【答案】D 【解析】解:把抛物线 y= x2 方程化为标准形式为 x2=8y, ∴焦点坐标为(0,2). 故选:D. 【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用,把抛物线的方程化为标准形式是关键. 5. 【答案】B 为减函数且 ,所以 ,排除 B,

6. 【答案】A

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【解析】

考 点:三视图. 【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面, 左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几 何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置, 再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图. 7. 【答案】A 【解析】解:设回归直线方程 =0.7x+a,由样本数据可得, 故选 A. 【点评】本题考查数据的回归直线方程,利用回归直线方程恒过样本中心点是关键. 8. 【答案】A 【解析】解:取 AB 的中点 C,连接 OC, ∴sin =sin∠AOC= = ,则 AC= ,OA=1 =4.5, =3.5.

因为回归直线经过点( , ),所以 3.5=0.7×4.5+a,解得 a=0.35.

所以:∠AOB=120° 则 ? =1×1×cos120°= .

故选 A.

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9. 【答案】 C

【解析】解:第一次循环 第四次循环得到的结果 …

第二次循环得到的结果

第三次循环得到的结果

所以 S 是以 4 为周期的,而由框图知当 k=2011 时输出 S ∵2011=502×4+3 所以输出的 S 是 故选 C 10.【答案】D 【解析】 试题分析:根据子集概念可知,空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以选项 D 是正确,故 选 D. 考点:集合的概念;子集的概念. 11.【答案】D 【解析】解:根据几何体的正视图和侧视图,得;
2 当该几何体的俯视图是边长为 1 的正方形时,它是高为 2 的四棱锥,其体积最大,为 ×1 ×2= ;

当该几何体的俯视图为一线段时,它的底面积为 0,此时不表示几何体; 所以,该几何体体积的所有可能取值集合是{V|0<V≤ }. 故选:D.

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【点评】 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题, 解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征是什么, 是基础题目. 12.【答案】D 【解析】解:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x﹣2)=f(x+2), ∴f(0)=0,且 f(2+x)=﹣f(2﹣x), ∴f(x)的图象关于点(2,0)中心对称, 又 0<x<2 时,f(x)=1﹣log2(x+1), 故可作出 fx(x)在 0<x<4 时的图象, 由图象可知当 x∈(1,2)时,x﹣2<0,f(x)<0, ∴(x﹣2)f(x)>0; 当 x∈(2,3)时,x﹣2>0,f(x)>0, ∴(x﹣2)f(x)>0; ∴不等式(x﹣2)f(x)>0 的解集是(1,2)∪(2,3) 故选:D

【点评】本题考查不等式的解法,涉及函数的性质和图象,属中档题.

二、填空题
13.【答案】 【解析】解:对于①,把函数 y=sin(x﹣ 到函数 y=sin(2x﹣ ),故①正确. ,故②错 )图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,得

对于②,当 α ,β 是第一象限角且 α <β ,如 α =30°,β =390°,则此时有 cosα =cosβ = 误.

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对于③,当 x=﹣ 数 y=cos(2x+

时,2x+

π =π ,函数 y=cos(2x+

π )=﹣1,为函数的最小值,故 x=﹣

是函

π )的一条对称轴,故③正确. )=4cos[ ﹣(2x+ )]=4cos( ﹣2)=4cos(2x﹣ ),

对于④,函数 y=4sin(2x+ 故函数 y=4sin(2x+ 对于⑤,在上,2x﹣ 故答案为:①③④. 14.【答案】 60° °. 【解析】解:连结 BC1、A1C1,

)与函数 y=4cos(2x﹣ ∈,函数 y=2sin(2x﹣

)相同,故④正确. )在上没有单调性,故⑤错误,

∵在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1A 平行且等于 C1C, ∴四边形 AA1C1C 为平行四边形,可得 A1C1∥AC, 因此∠BA1C1(或其补角)是异面直线 A1B 与 AC 所成的角, 设正方体的棱长为 a,则△A1B1C 中 A1B=BC1=C1A1= ∴△A1B1C 是等边三角形,可得∠BA1C1=60°, 即异面直线 A1B 与 AC 所成的角等于 60°. 故答案为:60°. a,

【点评】本题在正方体中求异面直线所成角和直线与平面所成角的大小,着重考查了正方体的性质、空间角的 定义及其求法等知识,属于中档题. 15.【答案】 异面 . 【解析】解:把展开图还原原正方体如图,

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在原正方体中直线 AB 与 CD 的位置关系是异面. 故答案为:异面. 16.【答案】 (0, )∪(64,+∞) .

【解析】解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(log8x)>0,等价为:f(|log8x|)>f(2), 又 f(x)在[0,+∞)上为增函数, ∴|log8x|>2,∴log8x>2 或 log8x<﹣2, ∴x>64 或 0<x< . }

即不等式的解集为{x|x>64 或 0<x< 故答案为:(0, )∪(64,+∞)

【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合,是函数性质综合考查题,熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系 是解答的关键,根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键. 17.【答案】(﹣∞,2) 【解析】 试题分析:由 x ?

2时e

f′ ? x?

? 1 ? f ?( x) ? 0 , x ? 2时e

f′ ? x?

? 1 ? f ?( x) ? 0 ,所以 y ? f ( x) 的

增区间是(﹣∞,2) 考点:函数单调区间 18.【答案】 0 . 【解析】解:1,1,2,3,5,8,13,…除以 4 所得的余数分别为 1,1,2,3,1,0,;1,1,2,3,1,0…, 即新数列{bn}是周期为 6 的周期数列, ∴b2016=b336×6=b6=0,

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故答案为:0. 【点评】本题主要考查数列的应用,考查数列为周期数性,属于中档题.

三、解答题
19.【答案】(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 an ?1 ? an ?

4 2 2 a2 得 an ?1 ? an ? 4 ,∴ ? n ? 是等差数列,公差为 4,首项为 4, (3 分) an ?1 ? an

2 ∴ an ? 4 ? 4(n ?1) ? 4n ,由 an ? 0 得 an ? 2 n . (6 分)

(Ⅱ)∵

1 1 1 ? ? ( n ? 1 ? n ) , (9 分) an?1 ? an 2 n ? 1 ? 2 n 2

1 ? ? 的前 n 项和为 ? an?1 ? an ? 1 1 1 1 ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? ? ( n ? 1 ? n ) ? ( n ? 1 ? 1) . (12 分) 2 2 2 2
∴数列 ? 20.【答案】
2 【解析】解:(Ⅰ)∵抛物线 x =4y 的焦点为 F1(0,1), 2 ∴c=1,又 b =1,∴

?

∴椭圆方程为:

+x2=1. …

(Ⅱ)F2(0,﹣1),由已知可知直线 l1 的斜率必存在,

设直线 l1:y=kx﹣1 由 消去 y 并化简得 x ﹣4kx+4=0
2

∵直线 l1 与抛物线 C2 相切于点 A.
2 ∴△=(﹣4k) ﹣4×4=0,得 k=±1.…

∵切点 A 在第一象限. ∴k=1… ∵l∥l1 ∴设直线 l 的方程为 y=x+m

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2 2 ,消去 y 整理得 3x +2mx+m ﹣2=0,…

2 2 △=(2m) ﹣12(m ﹣2)>0,

解得

. , .…

设 B(x1,y1),C(x2,y2),则

又直线 l 交 y 轴于 D(0,m) ∴ = 当 ,即 .… 时, .… …

所以,所求直线 l 的方程为

【点评】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质,考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查运算求解能力 及数形结合和化归与转化思想. 21.【答案】 【解析】解:若 P 是真命题.则△=4﹣4a≤0∴a≥1; …(3 分)
2 若 q 为真命题,则方程 x +2ax+2﹣a=0 有实根, 2 ∴△=4a ﹣4(2﹣a)≥0,即,a≥1 或 a≤﹣2,…(6 分)

依题意得,当 p 真 q 假时,得 a∈?; …(8 分) 当 p 假 q 真时,得 a≤﹣2.…(10 分) 综上所述:a 的取值范围为 a≤﹣2.…(12 分) 【点评】 本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系, 解决此类问题应该先求出简单命题为真时 参数的范围,属于基础题. 22.【答案】 【解析】解:由复数相等的条件,得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)

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解得



﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分)

【点评】本题考查复数相等的条件,以及方程思想,属于基础题. 23.【答案】(1) S ? 2 ?1 ? sin? ? cos? ,其中 0 ? ? ?

?
2

.(2) ? ?

?
6

时, Smax ?

3 3 2

【 解 析 】 试 题 分 析 : ( 1 ) 求 梯 形 铁 片 ABCD 的 面 积 S 关 键 是 用 ? 表 示 上 下 底 及 高 , 先 由 图 形 得

?AOE ? ?BOF ? ? ,这样可得高 AB ? 2cos? ,再根据等腰直角三角形性质得 AD ? ?1 ? cos? ? ? sin? ,

BC ? ?1 ? cos? ? ? sin? 最后根据梯形面积公式得 S ?
0 ?? ?

? AD ? BC ? ? AB
2

? 2 ?1 ? sin? ? cos? ,交代定义域
?
6


?
2

. (2) 利用导数求函数最值: 先求导数 f ' ?? ? ? ?2 ? 2sin? ?1??sin? ?1? , 再求导函数零点 ? ?

列表分析函数单调性变化规律,确定函数最值 试题解析:(1)连接 OB ,根据对称性可得 ?AOE ? ?BOF ? ? 且 OA ? OB ? 1 , 所以 AD ? 1 ? cos? ? sin? , BC ? 1 ? cos? ? sin? , AB ? 2cos? , 所以 S ?

? AD ? BC ? ? AB
2

? 2 ?1 ? sin? ? cos? ,其中 0 ? ? ?

?
2



考点:利用导数求函数最值 【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤:第一步:利用 f′(x)>0 或 f′(x)<0 求单调区间;第二 步:解 f′(x)=0 得两个根 x1、x2;第三步:比较两根同区间端点的大小;第四步:求极值;第五步:比较极 值同端点值的大小. 24.【答案】

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【解析】解:(Ⅰ)函数 f(x)在区间(0,+∞)上不是单调函数.证明如下, , 令 f′(x)=0,解得 .

当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化如下表所示: x f′(x) f(x) + ↗ 0 ﹣ ↘ 上为单调递增,区间 )= = . 上为单调递减.

所以函数 f(x)在区间

所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上的最大值为 f( g′(x)= ,令 g′(x)=0,解得 x=n.

当 x 变化时,g′(x)与 g(x)的变化如下表所示: x n (0,n) (n,+∞) 0 + g′(x) ﹣ g(x) ↘ ↗

所以 g(x)在(0,n)上单调递减,在(n,+∞)上单调递增. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g(x)的最小值为 g(n)= ,

∵存在直线 l:y=c(c∈R),使得曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)分别位于直线 l 的两侧, ∴ 即e ≥
n+1



≥nn﹣1,即 n+1≥(n﹣1)lnn,

当 n=1 时,成立, 当 n≥2 时, 设 h(n)= ≥lnn,即 ,n≥2, ≥ 0,

则 h(n)是减函数,∴继续验证, 当 n=2 时,3﹣ln2>0, 当 n=3 时,2﹣ln3>0,

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当 n=4 时, 当 n=5 时, ﹣ln5< ﹣1.6<0, 则 n 的最大值是 4.



【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题,同时考查了函数的最值的求法,属于难题.

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