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凌源市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

凌源市高中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 函数 y=ax+2(a>0 且 a≠1)图象一定过点( A.(0,1) B.(0,3) ) D.(3,0) C.(1,0)

座号_____

姓名__________

分数__________

  2. 如果函数 f(x)的图象关于原点对称,在区间上是减函数,且最小值为 3,那么 f(x)在区间上是 ( ) B.增函数且最大值为 3 A.增函数且最小值为 3

C.减函数且最小值为﹣3 D.减函数且最大值为﹣3   3. 圆锥的高扩大到原来的 A.缩小到原来的一半 C.不变 倍,底面半径缩短到原来的

1 ,则圆锥的体积( 2 1 6
D.y=4x﹣5



B.扩大到原来的倍 D.缩小到原来的 ) ) D.

4. 曲线 y=x3﹣3x2+1 在点(1,﹣1)处的切线方程为( A.y=3x﹣4 B.y=﹣3x+2
2

C.y=﹣4x+3

5. 已知函数 f ( x) ? 2a ln x ? x ? 2 x ( a ? R )在定义域上为单调递增函数,则的最小值是( A.

1 4
B.(1,+∞)

B.

1 2

C. )

6. 设集合 A={x|y=ln(x﹣1)},集合 B={y|y=2x},则 A ? B( A.(0,+∞) C.(0,1) D.(1,2)

7. 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 3) ? ? f ( x) ,对 ?x1 , x2 ? [0,3] 且 x1 ? x2 ,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则有( x1 ? x2
A. f (49) ? f (64) ? f (81) C. f (64) ? f (49) ? f (81) 8. 设函数 f ? x ? ? ?

) B. f (49) ? f (81) ? f (64) D. f (64) ? f (81) ? f (49)

? ?? x ? 1? , x ? 1
2

? ?4 ? x ? 1, x ? 1 A. ? ??, ?2? ? ? 0,10?
C. ? ??, ?2? ? ?1,10?

,则使得 f ? x ? ? 1 的自变量的取值范围为( B. ? ??, ?2? ? ? 0,1? D. ? ?2, 0? ? ?1,10? )



9. 设 a∈R,且(a﹣i)?2i(i 为虚数单位)为正实数,则 a 等于(

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A.1  

B.0

C.﹣1

D.0 或﹣1 )

10.已知 a=5

,b=log2 ,c=log5 ,则(

A.b>c>a B.a>b>c C.a>c>b D.b>a>c 11.函数 f ( x) 在定义域 R 上的导函数是 f ( x) ,若 f ( x) ? f (2 ? x) ,且当 x ? ( ??,1) 时, ( x ? 1) f ( x) ? 0 ,
' '

设 a ? f (0) , b ? f ( 2) , c ? f (log 2 8) ,则( A. a ? b ? c 12.以 A. C. B. D. B. a ? b ? c C. c ? a ? b

) D. a ? c ? b )

的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为(

二、填空题
13. 0) 3) 已知点 A(2, , 点 B(0, , 点 C 在圆 x2+y2=1 上, 当△ABC 的面积最小时, 点 C 的坐标为      .

  14.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 为 BD1 的中点,则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是     .

15.如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在边 CD 上,若在平行四边形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率是      .

  16.函数 f ? x ? ? xe x 在点 1, f ?1? 处的切线的斜率是

?

?

.

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17.在等差数列 {an } 中, a1 ? ?2016 ,其前 n 项和为 S n ,若 于 .

S10 S8 ? ? 2 ,则 S 2016 的值等 10 8

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式,对等差数列性质也有较高要求,属于中等难度. 18. M, N 是该抛物线上两点, |MF|+|NF|=6, M, N, F 三点不共线, 已知点 F 是抛物线 y2=4x 的焦点, 则△MNF 的重心到准线距离为      .  

三、解答题
19.

(本小题满分 10 分)如图⊙O 经过△ABC 的点 B,C 与 AB 交于 E,与 AC 交于 F,且 AE=AF. (1)求证 EF∥BC; (2)过 E 作⊙O 的切线交 AC 于 D,若∠B=60°,EB=EF=2,求 ED 的长.

20.设函数 f(x)=emx+x2﹣mx. (1)证明:f(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (2)若对于任意 x1,x2∈,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1,求 m 的取值范围.  

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21.在三棱锥 S﹣ABC 中,SA⊥平面 ABC,AB⊥AC. (Ⅰ)求证:AB⊥SC; (Ⅱ)设 D,F 分别是 AC,SA 的中点,点 G 是△ABD 的重心,求证:FG∥平面 SBC; (Ⅲ)若 SA=AB=2,AC=4,求二面角 A﹣FD﹣G 的余弦值.

 

22.(本小题满分 12 分)若二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a ? 0 ? 满足 f ? x +1? ? f ? x ? ? 2 x ,
2

且 f ? 0? ? 1. (1)求 f ? x ? 的解析式; (2)若在区间 ? ?1,1? 上,不等式 f ? x ? ? 2 x ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

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23.【启东中学 2018 届高三上学期第一次月考(10 月)】设 a ? 1 ,函数 f ? x ? ? 1 ? x (1)证明 (2) 若曲线 证明: m ?
3

在 0, a ? 1 上仅有一个零点; 在点 处的切线与 轴平行,且在点 处的切线与直线 平行,(O 是坐标原点) ,

?

?

?

2

?e

x

?a.

a?

2 ?1 e

24.设函数 f(x)=x3﹣6x+5,x∈R (Ⅰ)求 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f(x)=a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围.

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凌源市高中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:由于函数 y=ax (a>0 且 a≠1)图象一定过点(0,1),故函数 y=ax+2(a>0 且 a≠1)图象一定 过点(0,3), 故选 B. 【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,属于基础题.   2. 【答案】D 【解析】解:由奇函数的性质可知,若奇函数 f(x)在区间上是减函数,且最小值 3, 则那么 f(x)在区间上为减函数,且有最大值为﹣3, 故选:D 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用,比较基础.   3. 【答案】A 【解析】

1 2 ? r h ,将圆锥的高扩大到原来 3 V 1 1 1 1 2 2 的倍,底面半径缩短到原来的 ,则体积为 V2 ? ? (2r ) ? h ? ? r h ,所以 1 ? 2 ,故选 A. V2 2 3 2 6
试题分析:由题意得,设原圆锥的高为,底面半径为,则圆锥的体积为 V1 ? 考点:圆锥的体积公式.1 4. 【答案】B 【解析】解:∵点(1,﹣1)在曲线上,y′=3x2﹣6x, ∴y′|x=1=﹣3,即切线斜率为﹣3. ∴利用点斜式,切线方程为 y+1=﹣3(x﹣1),即 y=﹣3x+2. 故选 B. 【点评】考查导数的几何意义,该题比较容易.   5. 【答案】A 【解析】

2 x 2 ? 2 x ? 2a 2 ,因为函数 f ( x) ? 2a ln x ? x ? 2 x x ' 2 ( a ? R )在定义域上为单调递增函数 f ( x) ? 0 在定义域上恒成立,转化为 h( x) ? 2 x ? 2 x ? 2a 在 (0,??)
试题分析:由题意知函数定义域为 (0,??) , f ( x) ?
'

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恒成立,?? ? 0,? a ?

1 ,故选 A. 1 4

考点:导数与函数的单调性. 6. 【答案】A 【解析】解:集合 A={x|y=ln(x﹣1)}=(1,+∞),集合 B={y|y=2x}=(0,+∞) 则 A∪B=(0,+∞) 故选:A. 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目.   7. 【答案】A 【解析】

考 点:1、函数的周期性;2、奇偶性与单调性的综合.1111] 8. 【答案】A 【解析】

考 点:分段函数的应用. 【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用,其中解答中涉及到不等式的求解,集合的交集和集合的并集运 算,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,属于中档试题,本题的解答中,根据 分段函数的分段条件,列出相应的不等式,通过求解每个不等式的解集,利用集合的运算是解答的关键. 9. 【答案】B 【解析】解:∵(a﹣i)?2i=2ai+2 为正实数, ∴2a=0,

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解得 a=0. 故选:B. 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件,属于基础题.   10.【答案】C 【解析】解:∵a=5 ∴a>c>b. 故选:C.   11.【答案】C 【解析】 >1,b=log2 <log5 =c<0,

考点:函数的对称性,导数与单调性. 【名师点睛】 函数的图象是研究函数性质的一个重要工具, 通过函数的图象研究问题是数形结合思想应用的不 可或缺的重要一环,因此掌握函数的图象的性质是我们在平常学习中要重点注意的,如函数 f ( x) 满足:

f (a ? x) ? f (a ? x) 或 f ( x) ? f (2a ? x) ,则其图象关于直线 x ? a 对称,如满足 f (2m ? x) ? 2n ? f ( x) ,
则其图象关于点 ( m, n) 对称. 12.【答案】D 【解析】解:双曲线 ﹣4)和(0,4). ∴椭圆的焦点坐标是为(0,﹣2 ∴椭圆方程为 故选 D. 【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质和应用,解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质.   . )和(0,2 ),顶点为(0,﹣4)和(0,4). 的顶点为(0,﹣2 )和(0,2 ),焦点为(0,

二、填空题

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13.【答案】 (



) .

【解析】解:设 C(a,b).则 a2+b2=1,① ∵点 A(2,0),点 B(0,3), ∴直线 AB 的解析式为:3x+2y﹣6=0. 如图,过点 C 作 CF⊥AB 于点 F,欲使△ABC 的面积最小,只需线段 CF 最短. 则 CF= ∴a= ,② ,b= , , ). , ). ≥ ,当且仅当 2a=3b 时,取“=”,

联立①②求得:a= 故点 C 的坐标为( 故答案是:(

【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题.   14.【答案】 ①④ . 【解析】解:由所给的正方体知, △PAC 在该正方体上下面上的射影是①, △PAC 在该正方体左右面上的射影是④, △PAC 在该正方体前后面上的射影是④ 故答案为:①④  

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15.【答案】   . 【解析】解:由题意△ABE 的面积是平行四边形 ABCD 的一半, 由几何概型的计算方法, 可以得出所求事件的概率为 P= , 故答案为: . 【点评】本题主要考查了几何概型,解决此类问题的关键是弄清几何测度,属于基础题.   16.【答案】 2e 【解析】 试题分析:? f ? x ? ? xe ,? f ' ? x ? ? e ? xe ,则 f ' ?1? ? 2e ,故答案为 2e .
x x x

考点:利用导数求曲线上某点切线斜率. 17.【答案】 ? 2016

18.【答案】   . 【解析】解:∵F 是抛物线 y2=4x 的焦点, ∴F(1,0),准线方程 x=﹣1, 设 M(x1,y1),N(x2,y2), ∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6, 解得 x1+x2=4, ∴△MNF 的重心的横坐标为 , ∴△MNF 的重心到准线距离为 . 故答案为: . 【点评】 本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题, 利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距 离.  

三、解答题

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19.【答案】 【解析】解:(1)证明:∵AE=AF, ∴∠AEF=∠AFE. 又 B,C,F,E 四点共圆, ∴∠ABC=∠AFE, ∴∠AEF=∠ACB,又∠AEF=∠AFE,∴EF∥BC. (2)由(1)与∠B=60°知△ABC 为正三角形, 又 EB=EF=2, ∴AF=FC=2, 设 DE=x,DF=y,则 AD=2-y, 在△AED 中,由余弦定理得 DE2=AE2+AD2-2AD·AEcos A. 即 x2=(2-y)2+22-2(2-y)·2×1, 2 ∴x2-y2=4-2y,① 由切割线定理得 DE2=DF·DC, 即 x2=y(y+2), ∴x2-y2=2y,② 由①②联解得 y=1,x= 3,∴ED= 3. 20.【答案】 【解析】解:(1)证明:f′(x)=m(emx﹣1)+2x. 若 m≥0,则当 x∈(﹣∞,0)时,emx﹣1≤0,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,emx﹣1≥0,f′(x)>0 . 若 m<0,则当 x∈(﹣∞,0)时,emx﹣1>0,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,emx﹣1<0,f′(x)>0 . 所以,f(x)在(﹣∞,0)时单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)由(1)知,对任意的 m,f(x)在单调递减,在单调递增,故 f(x)在 x=0 处取得最小值. 所以对于任意 x1,x2∈,|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1 的充要条件是

即 设函数 g(t)=et﹣t﹣e+1,则 g′(t)=et﹣1.

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当 t<0 时,g′(t)<0;当 t>0 时,g′(t)>0.故 g(t)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递 增. 又 g(1)=0,g(﹣1)=e﹣1+2﹣e<0,故当 t∈时,g(t)≤0. 当 m∈时,g(m)≤0,g(﹣m)≤0,即合式成立; 当 m>1 时,由 g(t)的单调性,g(m)>0,即 em﹣m>e﹣1. 当 m<﹣1 时,g(﹣m)>0,即 e﹣m+m>e﹣1. 综上,m 的取值范围是   21.【答案】 【解析】(Ⅰ)证明:∵SA⊥平面 ABC,AB?平面 ABC, ∴SA⊥AB,又 AB⊥AC,SA∩AC=A, ∴AB⊥平面 SAC, 又 AS?平面 SAC,∴AB⊥SC. (Ⅱ)证明:取 BD 中点 H,AB 中点 M, 连结 AH,DM,GF,FM, ∵D,F 分别是 AC,SA 的中点, 点 G 是△ABD 的重心, ∴AH 过点 G,DM 过点 G,且 AG=2GH, 由三角形中位线定理得 FD∥SC,FM∥SB, ∵FM∩FD=F,∴平面 FMD∥平面 SBC, ∵FG?平面 FMD,∴FG∥平面 SBC. (Ⅲ)解:以 A 为原点,AB 为 x 轴,AC 为 y 轴,AS 为 z 轴,建立空间直角坐标系, ∵SA=AB=2,AC=4,∴B(2,0,0),D(0,2,0),H(1,1,0), A(0,0,0),G( , ,0),F(0,0,1), =(0,2,﹣1), =( ),

设平面 FDG 的法向量 =(x,y,z), 则 ,取 y=1,得 =(2,1,2),

又平面 AFD 的法向量 =(1,0,0), cos< , >= = .

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∴二面角 A﹣FD﹣G 的余弦值为 .

【点评】本题考查异面直线垂直的证明,考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要注意空 间思维能力的培养,注意向量法的合理运用.   2 22.【答案】(1) f ? x ? =x ? x +1 ;(2) m ? ?1 . 【解析】 试题分析:(1)根据二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a ? 0 ? 满足 f ? x +1? ? f ? x ? ? 2 x ,利用多项式相等,即
2

可求解 a, b 的值,得到函数的解析式;( 2 )由 x ? ? ?1,1? , f ? x ? ? m 恒成立,转化为 m ? x ? 3 x ? 1 ,设
2

试题解析:(1) f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a ? 0 ? 满足 f ? 0 ? ? 1, c ? 1
2
2

g ? x ? ? x 2 ? 3 x ? 1 ,只需 m ? g ? x ?min ,即可而求解实数 m 的取值范围.
f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 2 x, a ? x ? 1? ? b ? x ? 1? ? ax 2 ? bx ? 2 x ,解得 a ? 1, b ? ?1 ,

故 f ? x ? =x ? x +1 .
2

考点:函数的解析式;函数的恒成立问题. 【方法点晴】 本题主要考查了函数解析式的求解、 函数的恒成立问题, 其中解答中涉及到一元二次函数的性质、 多项式相等问题、 以及不等式的恒成立问题等知识点的综合考查, 着重考查了学生分析问题和解答问题的能力, 推理与运算能力,以及转化与化归思想,试题有一定的难度,属于中档试题,其中正确把不等式的恒成立问题 转化为函数的最值问题是解答的关键.

(﹣?, ? ?) 23.【答案】(1) ( 在 上有且只有一个零点(2)证明见解析 f x)
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【解析】试题分析:

(1) f ? ? x ? ? e

x
2

? f ? x? ? 1? x
又f

?

?x ?e

2
x

? 2 x ? 1 ? e x ? x ? 1? ,? f ? ? x ? ? 0 ,
2

?

试题解析:

? a 在 ? ??, ?? ? 上为增函数.

? a ? 1 ,? f ? 0 ? ? 1 ? a ? 0 ,

?

a ? 1 ? ae

?

a ?1

?a ? a e

?

a ?1

?1 ,

? a ? 1 ? 0,? e

a ?1

? 1 ,即 f

?

a ?1 ? 0 ,

?

?

由零点存在性定理可知, f ? x ? 在 ? ??, ?? ? 上为增函数,且 f ? 0 ? ? f

? f ? x ? 在 0, a ? 1 上仅有一个零点。
(2) f ? ? x ? ? e
x

?

?

?

a ?1 ? 0 ,

?

? x ? 1?

2

,设点 P ? x0 , y0 ? ,则 f ? ? x0 ? ? e

? y ? f ? x ? 在点 P 处的切线与 x 轴平行,? f ? ? x0 ? ? e x0

? x0 ? 1? , 2 ? x0 ? 1? ? 0 ,? x0 ? ?1 ,
x0 2

2 2 ? ? ? P ? ?1, ? a ? ,? kOP ? a ? , e e ? ? ? 点 M 处切线与直线 OP 平行,
? 点 M 处切线的斜率 k ? f ? ? m ? ? e m ? m ? 1? ? a ?
2

2 , e

又题目需证明 m ?

3
3

a?

2 2 3 ? 1 ,即 ? m ? 1? ? a ? , e e
m 2

? m ? 1? ,即 m ? 1 ? em 。 m m 令 g ? m ? ? e ? ? m ? 1? ,则 g ? ? m ? ? e ? 1 , 易知,当 m ? ? ??, 0 ? 时, g ? ? m ? ? 0 ,单调递减, 当 m ? ? 0, ?? ? 时, g ? ? m ? ? 0 ,单调递增, ? g ? m ?min ? g ? 0 ? ? 0 ,即 g ? m ? ? e m ? ? m ? 1? ? 0 ,
? m ? 1 ? em ,
第 14 页,共 15 页

则只需证明 ? m ? 1? ? e

?m ? 3 a ?

2 ? 1 ,得证。 e

24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ) ∴当 ∴f(x)的单调递增区间是 当 ∴当 即方程 f(x)=α 有三解.   ;当 的图象有 3 个不同交点, ,单调递减区间是 ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)的分析可知 y=f(x)图象的大致形状及走向,

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