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沾化区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

沾化区第一高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含答案 班级__________ 一、选择题
1. 若命题“p 或 q”为真,“非 p”为真,则( A.p 真 q 真
2

座号_____


姓名__________

分数__________

B.p 假 q 真 C.π D.2π

C.p 真 q 假 )

D.p 假 q 假

2. 函数 y=2sin x+sin2x 的最小正周期( A. B.

3. 已知在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,?n) , B(0, n) ( n ? 0 ).命题 p :若存在点 P 在圆

( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1上,使得 ?APB ?
(3,4) 内没有零点.下列命题为真命题的是(
A. p ? (?q ) 4. 已知 P y) (x, 为区域 A.6 B.0 C.2 D.2 B. p ? q

?
2

,则 1 ? n ? 3 ;命题:函数 f ( x ) ? ) C. (?p) ? q

4 ? log 3 x 在区间 x
D. (?p) ? q )

z=2x﹣y 的最大值是 内的任意一点, 当该区域的面积为 4 时, (

5. 设 x,y∈R,且满足 A.1 6. 定义运算 =( A. B. B.2 ,例如 ) C. C.3

,则 x+y=( D.4 .若已知



,则

D.

7. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P 为棱 A1B1 中点,点 Q 在侧面 DCC1D1 内运动,若

?PBQ ? ?PBD1 ,则动点 Q 的轨迹所在曲线为(



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A.直线

B.圆

C.双曲线

D.抛物线 )

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识,意在考查空间想象能力. 8. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A.y=|x|(x∈R) B.y= (x≠0) C.y=x(x∈R) D.y=﹣x3(x∈R) 9. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( A. 10.已知向量 B. , C. ,其中 .则“ ) D. ”是“ ”成立的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 x 11.已知函数 f(x)=a +b(a>0 且 a≠1)的定义域和值域都是[﹣1,0],则 a+b=( ) A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣ 或﹣ )

12.若圆心坐标为 ? 2, ?1? 的圆在直线 x ? y ? 1 ? 0 上截得的弦长为 2 2 ,则这个圆的方程是( A. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 0
2 2

B. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 4
2 2

C. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 8
2 2

D. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 16
2 2

二、填空题
13.命题“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 4 x ? 2 ? ?1 ”的否命题为 . .

1,3) , B(1,?1,1) ,且 | AB |? 2 2 ,则 m ? 14.在空间直角坐标系中,设 A(m,
15.已知 Sn 是数列 { ___________.

n n } 的前 n 项和,若不等式 | ? ? 1 | ? S n ? n ?1 对一切 n ? N ? 恒成立,则 ? 的取值范围是 n ?1 2 2

【命题意图】 本题考查数列求和与不等式恒成立问题, 意在考查等价转化能力、 逻辑推理能力、 运算求解能力. 16 . 已 知 函 数 f ( x) ? a sin x cos x ? sin x ?
2

1 ? 的 一 条 对 称 轴 方 程 为 x ? , 则 函 数 f ( x) 的 最 大 值 为 2 6

___________.

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【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值,意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思 想与方程思想.

?3x ? a ,x ? 1 ? 17.设函数 f ? x ? ? ? ,若 f ? x ? 恰有 2 个零点,则实数的取值范围是 ? ?? ? x ? 3a ?? x ? 2a ? ,x ? 1 18.若命题“?x∈R,|x﹣2|>kx+1”为真,则 k 的取值范围是 .



三、解答题
19.如图,四棱锥 P ? ABC 中, PA ? ABCD, AD / / BC, AB ? AD ? AC ? 3, PA ? BC ? 4 , M 为线段 AD 上一点, AM ? 2MD, N 为 PC 的中点.

(1)证明: MN / / 平面 PAB ; (2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值;

20.设函数 f(x)=lnx﹣ ax2﹣bx. (1)当 a=2,b=1 时,求函数 f(x)的单调区间;
2 (2)令 F(x)=f(x)+ ax +bx+ (2≤x≤3)其图象上任意一点 P(x0,y0)处切线的斜率 k≤ 恒成立,求

实数 a 的取值范围;
2 (3)当 a=0,b=﹣1 时,方程 f(x)=mx 在区间[1,e ]内有唯一实数解,求实数 m 的取值范围.

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21.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC=AA1=BC1=2,∠AA1C1=60°,平面 ABC1⊥平面 AA1C1C,AC1 与 A1C 相交于点 D. (1)求证:BD⊥平面 AA1C1C; (2)求二面角 C1﹣AB﹣C 的余弦值.

22.已知函数 f(x)=xlnx+ax(a∈R). (Ⅰ)若 a=﹣2,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对任意 x∈(1,+∞),f(x)>k(x﹣1)+ax﹣x 恒成立,求正整数 k 的值. (参考数据:ln2=0.6931, ln3=1.0986)

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23.如图,M、N 是焦点为 F 的抛物线 y2=2px(p>0)上两个不同的点,且线段 MN 中点 A 的横坐标为 (1)求|MF|+|NF|的值; (2)若 p=2,直线 MN 与 x 轴交于点 B 点,求点 B 横坐标的取值范围.



24.已知函数 f(x)=|x﹣10|+|x﹣20|,且满足 f(x)<10a+10(a∈R)的解集不是空集. (Ⅰ)求实数 a 的取值集合 A
a b b a (Ⅱ)若 b∈A,a≠b,求证 a b >a b .

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沾化区第一高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含答案(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:若命题“p 或 q”为真,则 p 真或 q 真, 若“非 p”为真,则 p 为假, ∴p 假 q 真, 故选:B. 【点评】本题考查了复合命题的真假的判断,是一道基础题. 2. 【答案】C
2 【解析】解:函数 y=2sin x+sin2x=2×

+sin2x=

sin(2x﹣

)+1,

则函数的最小正周期为 故选:C.

=π ,

【点评】本题主要考查三角恒等变换,函数 y=Asin(ω x+φ )的周期性,利用了函数 y=Asin(ω x+φ )的周 期为 ,属于基础题.

3. 【答案】A 【解析】 试题分析:命题 p :? ?APB ?

?
2

,则以 AB 为直径的圆必与圆 x ? 3 ? ? y ? 1? ? 1 有公共点,所以
2 2

?

?

n ? 1 ? 2 ? n ? 1 ,解得 1 ? n ? 3 ,因此,命题 p 是真命题.命题:函数 f ? x ? ?
4 ? f ?4? ? 1 ? log3 ? 0 , f ?3? ?

4 x ? log 3 , x

4 ? log 3 3 ? 0 ,且 f ? x ? 在 ?3,4? 上是连续不断的曲线,所以函数 f ? x ? 在区间 ?3,4 ? 3 内有零点,因此,命题是假命题.因此只有 p ? (?q ) 为真命题.故选 A.
考点:复合命题的真假. 【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关 系和函数零点存在定理 , 属于综合题 . 由于点 P 满足 ?APB ?

?
2

, 因此在以 AB 为直径的圆上 , 又点 P 在圆

( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 上,因此 P 为两圆的交点 ,利用圆心距介于两圆半径差与和之间 , 求出的范围 .函数 4 f ( x) ? ? log3 x 是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点. x
4. 【答案】A

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解析:解:由

作出可行域如图,

由图可得 A(a,﹣a),B(a,a), 由 ∴A(2,﹣2), 化目标函数 z=2x﹣y 为 y=2x﹣z, ∴当 y=2x﹣z 过 A 点时,z 最大,等于 2×2﹣(﹣2)=6. 故选:A. 5. 【答案】D
3 【解析】解:∵(x﹣2) +2x+sin(x﹣2)=2, 3 ∴(x﹣2) +2(x﹣2)+sin(x﹣2)=2﹣4=﹣2, 3 ∵(y﹣2) +2y+sin(y﹣2)=6, 3 ∴(y﹣2) +2(y﹣2)+sin(y﹣2)=6﹣4=2, 3 设 f(t)=t +2t+sint, 2 则 f(t)为奇函数,且 f'(t)=3t +2+cost>0,

,得 a=2.

即函数 f(t)单调递增. 由题意可知 f(x﹣2)=﹣2,f(y﹣2)=2, 即 f(x﹣2)+f(y﹣2)=2﹣2=0, 即 f(x﹣2)=﹣f(y﹣2)=f(2﹣y), ∵函数 f(t)单调递增 ∴x﹣2=2﹣y, 即 x+y=4, 故选:D. 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用,利用条件构造函数 f(t)是解决本题的关键,综合考查了函数的性 质.

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6. 【答案】D 【解析】解:由新定义可得, = 故选:D. 【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查了两角和与差的三角函数,是基础题. 7. 【答案】C. 【解析】易得 BP / / 平面 CC1D1D ,所有满足 ?PBD1 ? ?PBX 的所有点 X 在以 BP 为轴线,以 BD1 所在直 线为母线的圆锥面上, ∴点 Q 的轨迹为该圆锥面与平面 CC1D1D 的交线, 而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆 锥面得到的图形是双曲线,∴点 Q 的轨迹是双曲线,故选 C. 8. 【答案】D 【解析】解:y=|x|(x∈R)是偶函数,不满足条件, y= (x≠0)是奇函数,在定义域上不是单调函数,不满足条件, y=x(x∈R)是奇函数,在定义域上是增函数,不满足条件, y=﹣x3(x∈R)奇函数,在定义域上是减函数,满足条件, 故选:D 9. 【答案】B 【解析】【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性 【试题解析】若函数是奇函数,则 对 C: 在(和( 故排除 A、D; 上单调递增, = = = .

但在定义域上不单调,故 C 错; 故答案为:B 10.【答案】A 【解析】【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】若 反过来,若 ,则 ,则 或 ”成立的充分而不必要条件。 成立;

所以“ ”是“ 故答案为:A 11.【答案】B

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【解析】解:当 a>1 时,f(x)单调递增,有 f(﹣1)= +b=﹣1,f(0)=1+b=0,无解; 当 0<a<1 时,f(x)单调递减,有 f(﹣1)= 解得 a= ,b=﹣2; 所以 a+b= 故选:B 12.【答案】B 【解析】 =﹣ ; =0,f(0)=1+b=﹣1,

考 点:圆的方程.1111]

二、填空题
13.【答案】若 x ? 1 ,则 x 2 ? 4 x ? 2 ? ?1 【解析】 试题分析:若 x ? 1 ,则 x 2 ? 4 x ? 2 ? ?1 ,否命题要求条件和结论都否定. 考点:否命题. 14.【答案】1 【解析】 试题分析: AB ?

?m ? 1?2 ? ?1 ? ?? 1??2 ? ?3 ? 1?2

? 2 2 ,解得: m ? 1 ,故填:1.

考点:空间向量的坐标运算 15.【答案】 ?3 ? ? ? 1

1 1 1 1 , S n ? 1? ? 2 ? 2 ? … n ?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 n?2 n?2 ?(n ? 1) ? n ?1 ? n ? n ,两式相减,得 Sn ? 1 ? ? 2 ? ? n ?1 ? n ? n ? 2 ? n ,所以 S n ? 4 ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | ? 4 ? n ?1 对一切 n ? N? 恒成立,得 | ? ? 1 | ? 2 ,解得 ?3 ? ? ? 1 . 于是由不等式 | ? ? 1 2
【解析】由 S n ? 1 ? 2 ?

1 1 ? 3? 2 ? 2 2

? (n ? 1) ?

1

n?2

?n

16.【答案】1 【 解
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?1 1 ? 17.【答案】 ? , ? ?3 2?

[3 ,? ?)









考 点:1、分段函数;2、函数的零点. 【方法点晴】本题考查分段函数,函数的零点,以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论 的思想、数形结合思想和转化化归思想,综合性强,属于较难题型.首先利用分类讨论思想结合数学结合思想, 对 g ? x ? ? 3x ? a 于轴的交点个数进行分情况讨论,特别注意: 1.在 x ? 1 时也轴有一个交点式,还需 3a ? 1 且
2 a ? 1 ;2. 当 g ?1? ? 3 ? a ? 0 时, g ? x ? 与轴无交点,但 h ? x ? 中 x ? 3a 和 x ? 2a ,两交点横坐标均满足 x ? 1 .

18.【答案】 [﹣1,﹣ )



【解析】解:作出 y=|x﹣2|,y=kx+1 的图象,如图所示,直线 y=kx+1 恒过定点(0,1),结合图象可知 k∈[﹣ 1,﹣ ). 故答案为:[﹣1,﹣ ).

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【点评】本题考查全称命题,考查数形结合的数学思想,比较基础.

三、解答题
19.【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】

8 5 . 25

试 题解析:

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(2)在三角形 AMC 中,由 AM ? 2, AC ? 3, cos ?MAC ?

2 ,得 3

CM 2 ? AC 2 ? AM 2 ? 2 AC AN cos ?MAC ? 5 , AM 2 ? MC 2 ? AC 2 ,则 AM ? MC , ∵ PA ? 底面 ABCD, PA ? 平面 PAD ,
∴平面 ABCD ? 平面 PAD ,且平面 ABCD 平面 PAD ? AD , ∴ CM ? 平面 PAD ,则平面 PNM ? 平面 PAD , 在平面 PAD 内,过 A 作 AF ? PM ,交 PM 于 F ,连结 NF ,则 ?ANF 为直线 AN 与平面 PMN 所成角。 在 Rt ?PAM 中,由 PA AM ? PM AF ,得 AF ? 所以直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为

4 5 8 5 ,∴ sin ?ANF ? , 5 25

8 5 .1 25

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考点:立体几何证明垂直与平行. 20.【答案】 【解析】解:(1)依题意,知 f(x)的定义域为(0,+∞).… 当 a=2,b=1 时,f(x)=lnx﹣x ﹣x, f′(x)= ﹣2x﹣1=﹣ 令 f′(x)=0,解得 x= .… 当 0<x< 时,f′(x)>0,此时 f(x)单调递增; 当 x> 时,f′(x)<0,此时 f(x)单调递减. 所以函数 f(x)的单调增区间(0, ),函数 f(x)的单调减区间( ,+∞).… (2)F(x)=lnx+ ,x∈[2,3], 所以 k=F′(x0)= ≤ ,在 x0∈[2,3]上恒成立,… .
2

2 所以 a≥(﹣ x0 +x0)max,x0∈[2,3]… 2 当 x0=2 时,﹣ x0 +x0 取得最大值 0.所以 a≥0.…

(3)当 a=0,b=﹣1 时,f(x)=lnx+x,
2 因为方程 f(x)=mx 在区间[1,e ]内有唯一实数解,

所以 lnx+x=mx 有唯一实数解. ∴m=1+ ,… ,则 g′(x)= .… g′(x)<0,得 x>e,

设 g(x)=1+

令 g′(x)>0,得 0<x<e;

2 ∴g(x)在区间[1,e]上是增函数,在区间[e,e ]上是减函数,…1 0 分

∴g(1)=1,g(e )=1+ 所以 m=1+ ,或 1≤m<1+

2

=1+ .…

,g(e)=1+ ,…

21.【答案】 【解析】解:(1)∵四边形 AA1C1C 为平行四边形,∴AC=A1C1,

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∵AC=AA1,∴AA1=A1C1, ∵∠AA1C1=60°,∴△AA1C1 为等边三角形, 同理△ABC1 是等边三角形, ∵D 为 AC1 的中点,∴BD⊥AC1, ∵平面 ABC1⊥平面 AA1C1C, 平面 ABC1∩平面 AA1C1C=AC1,BD?平面 ABC1, ∴BD⊥平面 AA1C1C. (2)以点 D 为坐标原点,DA、DC、DB 分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系, 平面 ABC1 的一个法向量为 由题意可得 , ,1,1), ,设平面 ABC 的法向量为 ,则 , ,

所以平面 ABC 的一个法向量为 =( ∴cosθ= .

即二面角 C1﹣AB﹣C 的余弦值等于



【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直,并求二面角的平面角大小.着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱 的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识,属于中档题. 22.【答案】 【解析】解:(I)a=﹣2 时,f(x)=xlnx﹣2x,则 f′(x)=lnx﹣1. 令 f′(x)=0 得 x=e, 当 0<x<e 时,f′(x)<0,当 x>e 时,f′(x)>0, ∴f(x)的单调递减区间是(0,e),单调递增区间为(e,+∞). (II)若对任意 x∈(1,+∞),f(x)>k(x﹣1)+ax﹣x 恒成立, 则 xlnx+ax>k(x﹣1)+ax﹣x 恒成立,即 k(x﹣1)<xlnx+ax﹣ax+x 恒成立, 又 x﹣1>0,则 k< 对任意 x∈(1,+∞)恒成立,

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设 h(x)=

,则 h′(x)=



设 m(x)=x﹣lnx﹣2,则 m′(x)=1﹣ , ∵x∈(1,+∞),∴m′(x)>0,则 m(x)在(1,+∞)上是增函数. ∵m(1)=﹣1<0,m(2)=﹣ln2<0,m(3)=1﹣ln3<0,m(4)=2﹣ln4>0, ∴存在 x0∈(3,4),使得 m(x0)=0, 当 x∈(1,x0)时,m(x)<0,即 h′(x)<0, 当 x∈(x0,+∞)时,m(x)>0,h′(x)>0, ∴h(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增, ∴h(x)的最小值 hmin(x)=h(x0)= . =x0.

∵m(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0,∴lnx0=x0﹣2.∴h(x0)= ∴k<hmin(x)=x0. ∵3<x0<4, ∴k≤3. ∴k 的值为 1,2,3.

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性,函数的最值,函数恒成立问题,构造函数求出 h(x)的最 小值是解题关键,属于难题.

23.【答案】 【解析】解:(1)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=8﹣p,|MF|=x1+ ,|NF|=x2+ , ∴|MF|+|NF|=x1+x2+p=8;
2 (2)p=2 时,y =4x,

若直线 MN 斜率不存在,则 B(3,0); 若直线 MN 斜率存在,设 A(3,t)(t≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则
2 2 代入利用点差法,可得 y1 ﹣y2 =4(x1﹣x2)

∴kMN= , ∴直线 MN 的方程为 y﹣t= (x﹣3), ∴B 的横坐标为 x=3﹣ ,

2 2 2 直线 MN 代入 y =4x,可得 y ﹣2ty+2t ﹣12=0

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△>0 可得 0<t <12, ∴x=3﹣ ∈(﹣3,3),

2

∴点 B 横坐标的取值范围是(﹣3,3). 【点评】本题考查抛物线的定义,考查点差法,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 24.【答案】 【解析】解(1)要使不等式|x﹣10|+|x﹣20|<10a+10 的解集不是空集, 则(|x﹣10|+|x﹣20|)min<10a+10, 根据绝对值三角不等式得:|x﹣10|+|x﹣20|≥|(x﹣10)﹣(x﹣20)|=10, 即(|x﹣10|+|x﹣20|)min=10, 所以,10<10a+10,解得 a>0, 所以,实数 a 的取值集合为 A=(0,+∞); (2)∵a,b∈(0,+∞)且 a≠b, ∴不妨设 a>b>0,则 a﹣b>0 且 >1, 则 >1 恒成立,即 >1,

a b a b 所以,a ﹣ >b ﹣ , b b 将该不等式两边同时乘以 a b 得,

aabb>abba,即证. 【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明,涉及指数函数的性质,属于中档题.

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