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高中数学第三章导数及其应用第16课时函数的单调性与导数课件新人教A版选修1-1


目标导航 1.能记住函数的单调性与导数的关系. 2.会利用导数研究函数的单调性. 3.会用导数求函数的单调区间. 1 新知识· 预习探究 知识点一 函数的单调性与导数的关系 阅读教材 P89~P90 思考,完成下列问题. 1.一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系: 在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 y=f(x)在这个区间 内单调递增;如果 f′(x)<0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递减. 【练习】 函数 f(x)=2x-lnx 的单调增区间为________. 1 2x-1 【解析】 f′(x)=2-x = x 2x-1 1 ∵x>0,由 f′(x)= x >0,得 x>2. ?1 ? ? 【答案】 2,+∞? ? ? 知识点二 图象变化快慢与导数的关系 阅读教材 P93 思考至练习,完成下列问题. 1.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么 函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上 或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些. 2 新视点· 名师博客 1.对函数的单调性与导数关系的理解 (1) 可以用曲线的切线的斜率来理解函数的单调性与其导函数的 关系.我们知道,导数 f′(x0)表示函数 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线 的斜率.当切线斜率为正值时,切线的倾斜角小于 90° ,函数曲线呈 上升增加状态;当切线斜率为负值时,切线的倾斜角大于 90° 且小于 180° ,函数曲线呈下降减少状态. (2)对于(a,b)内的可导函数 f(x)来说,“f′(x)>0”是“f(x)在(a, b)内为单调增函数”的充分不必要条件,“f′(x)<0”是“f(x)在(a, b)内为单调减函数”的充分不必要条件,如 f(x)=x3 在 R 上为增函数, 而 f′(0)=0,在 x=0 处不满足 f′(x)>0. (3)对于函数 y=f(x)来说,其导函数 f′(x)反映的是 y 在 x 点处的 瞬时变化率,而函数的单调性描述的是 y 随 x 的增加而增加或 y 随 x 的增加而减少,二者反映的都是函数的变化. (4)如果在某个区间(a, b)内恒有 f′(x)=0, 则函数 f(x)为常数函数. 2.函数单调区间的关注点 若函数 f(x)在区间(a,b)上单调递增,则区间(a,b)不一定是 f(x) 完整的单调递增区间;若函数 f(x)的单调递增区间是(a,b),则区间(a, b)是 f(x)完整的单调递增区间. 3.利用导数证明不等式的关注点 利用导数证明不等式的实质是利用函数的单调性证明不等式,也 是证明不等式的常用方法之一,它是作差法的一个延伸,其关键在于 构造恰当的函数,利用导数确定函数的单调性,再借助于函数单调性 证明不等式. 4.导数与函数的增减速度的关系 一般地,若导数的绝对值越大,则函数增减的速度就越快,这时, 函数的图象就比较“陡峭”;若导数的绝对值越小,则函数增减的速 度就越慢,这时,函数的图象就较“平缓”. (1)一个函数增长的速度较快就是指当自变量的改变量相同时,函 Δy f?x2?-f?x1? 数值的增长幅度较大,即平均变化率Δx= 较大,从而导数值 x2-x1 也就较大. (2)一个函数减小的速度较快就是指当自变量的改变量相同时,函 Δy f?x2?-f?x1? 数值的减小幅度较大,即平均变化率Δx= 的绝对值较大,从 x2-x1 而导数的绝对值也就较大. 3 新课堂· 互动探究 考点一 利用导函数的信息判断

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