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2013-2014版高中数学(人教A版)必修2 直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质


2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质

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【课标要求】 1.掌握并会应用直线与平面垂直的性质,理解平行与垂直之间的 关系. 2.掌握两个平面垂直的性质定理并能利用该定理作平面的垂线. 3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系. 【核心扫描】 1.掌握直线与平面、平面与平面垂直的性质定理,培养空间观念、 空间想象能力以及逻辑推理能力,能准确解决相关问题,提升转 化能力.(重点) 2.性质定理的推导与熟练应用.(难点)
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自学导引 线面垂直、面面垂直的性质定理

名称 知识点 定理 内容

线面垂直的性质定理

面面垂直的性质定理 两个平面垂直,则一个平

垂直于同一个平面的两 条直线 平行 .

面内垂直于 交线 的直线
与另一个平面 垂直 .

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符号 形式

a⊥α? ? ??a∥b b⊥α? ?

α⊥β ? ? l?α ??l⊥β l⊥m?? ?

图 示

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试一试:由线面垂直的性质定理知垂直于同一个平面的两条直 线平行,试问垂直于同一个平面的两个平面平行吗? 提示 可能平行,也可能相交.

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名师点睛 1.对直线与平面垂直性质定理的几点认识 (1)直线与平面垂直的性质定理阐明了在直线与平面垂直的条 件下,可得出直线与直线平行的结论. (2)该定理可用来判定两直线平行,揭示了“平行”与“垂直” 这两种特殊位置关系之间的转化.

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2.平面与平面垂直的性质定理 (1)定理成立的条件有两个; ①两平面垂直; ②直线在其中一个面内且与两平面的交线垂直. (2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直,故可用来证明线面垂 直或线线垂直. (3)定理还说明了若两个平面垂直,过其中一个平面内一点垂直 于另一个平面的直线必在第一个平面内. (4)解题过程中遇到面面垂直的问题时,通常利用此定理转化为 线面垂直.
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3.线、面垂直的转换关系 线线垂直、线面垂直和面面垂直的转换关系如下:

当证明垂直关系时,要灵活地应用垂直之间的转换关系.当运 用平面垂直的性质定理时,一般需作辅助线,基本作法是过其 中一个平面内一点作交线的垂线,这样把面面垂直转化为线面 垂直或线线垂直.

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题型一 线面垂直性质定理的应用 【例 1】 如图,在正方体 A1B1C1D1—ABCD 中,EF 与异面直线 AC、A1D 都垂直相交. 求证:EF∥BD1.

[思路探索] 可以利用线面垂直的性质定理证明线线平行,为此 需作出辅助平面.

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证明

如图所示,连接 AB1、B1D1、B1C、BD,

∵DD1⊥平面 ABCD, AC?平面 ABCD, ∴DD1⊥AC. 又 AC⊥BD,∴AC⊥平面 BDD1B1, 又 BD1?平面 BDD1B1, ∴AC⊥BD1. 同理可证 BD1⊥B1C,∴BD1⊥平面 AB1C. ∵EF⊥AC,EF⊥A1D, 又 A1D∥B1C,∴EF⊥B1C. ∴EF⊥平面 AB1C,∴EF∥BD1.
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规律方法

线面垂直的性质也是得到线线平行的一个方法,在

有线面垂直的条件下,要得平行线,就应考虑线面垂直的性质 定理.

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【变式 1】 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 是 AB 上一点,N 是 A1C 的中点,MN⊥平面 A1DC. 求证:(1)MN∥AD1; (2)M 是 AB 的中点 .

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证明

(1)∵ADD1A1 为正方形,

∴AD1⊥A1D. 又∵CD⊥平面 ADD1A1, ∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD=D, ∴AD1⊥平面 A1DC. 又∵MN⊥平面 A1DC, ∴MN∥AD1.

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(2)连接 ON,在△A1DC 中, A1O=OD,A1N=NC, 1 1 ∴ON 綉 CD 綉 AB, 2 2 ∴ON∥AM, 又∵MN∥OA, ∴四边形 AMNO 为平行四边形, ∴ON=AM. 1 ∵ON=2AB, 1 ∴AM=2AB,∴M 是 AB 的中点.

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题型二

面面垂直性质定理的应用

【例 2】 如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的 交线垂直于第三个平面. [思路探索] 根据直线和平面垂直的判定定理,可在 γ 内构造两 相交直线分别与平面 α, 垂直; β 或者由面面垂直的性质易在 α, β 内作出平面 γ 的垂线,再设法证明 l 与其平行即可.

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解 已知 α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l. 求证:l⊥γ. 法一 在 γ 内取一点 P,作 PA 垂直 α 与 γ 的交线于 A,PB 垂 直 β 与 γ 的交线于 B,则 PA⊥α,PB⊥β. ∵l=α∩β,∴l⊥PA,l⊥PB. 又 PA∩PB=P,且 PA?γ,PB?γ, ∴l⊥γ.

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法二

在 α 内作直线 m 垂直于 α 与 γ 的交线,在 β 内作直线 n

垂直于 β 与 γ 的交线, ∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥γ,n⊥γ. ∴m∥n.又 n?β,∴m∥β.又 m?α,α∩β=l, ∴m∥l.∴l⊥γ.

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规律方法 面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法, 因此, 在有面面垂直的条件下,若需要平面的垂线,要首先考虑面面 垂直的性质.

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【变式 2】 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC.求证:BC⊥AB.

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证明 在平面 PAB 内,作 AD⊥PB 于 D. ∵平面 PAB⊥平面 PBC, 且平面 PAB∩平面 PBC=PB. ∴AD⊥平面 PBC. 又 BC?平面 PBC,∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴PA⊥BC,∴BC⊥平面 PAB. 又 AB?平面 PAB, ∴BC⊥AB.

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题型三 线面、面面垂直的综合应用 【例 3】 如图所示,已知在矩形 ABCD 中,过 A 作 SA⊥平面 AC,再过 A 作 AE⊥SB 交 SB 于点 E,过点 E 作 EF⊥SC 交 SC 于点 F.

(1)求证:AF⊥SC; (2)若平面 AEF 交 SD 于点 G.求证:AG⊥SD. 审题指导 利用线面垂直性质证明垂直问题.

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[规范解答] (1)∵SA⊥平面 AC, BC?平面 AC,∴SA⊥BC. ∵四边形 ABCD 为矩形,∴AB⊥BC, ∴BC⊥平面 SAB,∴BC⊥AE.又 SB⊥AE, ∴AE⊥平面 SBC,∴AE⊥SC. 又 EF⊥SC,∴SC⊥平面 AEF,∴AF⊥SC.(6 分) (2)∵SA⊥平面 AC,∴SA⊥DC, 又 AD⊥DC,∴DC⊥平面 SAD.∴DC⊥AG. 又由(1)有 SC⊥平面 AEF,AG?平面 AEF, ∴SC⊥AG,∴AG⊥平面 SDC,∴AG⊥SD.(12 分)
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【题后反思】 空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面 与平面垂直三者之间可以相互转化,每一种垂直的判定都是从 某种垂直开始转向另一种垂直,最终达到目的.

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【变式 3】 如图所示,P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点, 四边形 ABCD 是边长为 a 的菱形且∠DAB=60° ,侧面 PAD 为 正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD. (1)若 G 为 AD 的中点,求证:BG⊥平面 PAD; (2)求证:AD⊥PB.

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(1)如图, 在菱形 ABCD 中, 连接 BD, 由已知∠DAB=60° ,

∴△ABD 为正三角形, ∵G 是 AD 的中点,∴BG⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BG⊥平面 PAD. (2)如图,连接 PG. ∵△PAD 是正三角形,G 是 AD 的中点, ∴PG⊥AD,由(1)知 BG⊥AD. 又∵PG∩BG=G. ∴AD⊥平面 PBG.而 PB?平面 PBG.∴AD⊥PB.
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误区警示 误把结论当题设 【示例】 如图所示, 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 是侧棱 BB1 D 的中点,求证:平面 ADC1⊥平面 A1ACC1.

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[错解] ∵D 是棱 BB1 的中点,∴BD=B1D. 又∵三棱柱 ABC-A1B1C1 为正三棱柱, ∴AB=B1C1,∠ABD=∠C1B1D, ∴△ABD≌△C1B1D. ∴AD=C1D.取 AC1 中点 E,连接 DE, 则 DE⊥AC1.而 AC1 是平面 ADC1 与平面 A1ACC1 的交线, ∴平面 ADC1⊥平面 A1ACC1.

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要证的是平面 ADC1⊥平面 A1ACC1,错解中把它作为 了条件.

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[正解] 如图,取 AC1 中点 E,连接 DE,取 A1C1 中点 F,连接 EF、FB1, 1 则 EF 綉2A1A. 又∵D 为 B1B 中点, 1 ∴B1D 綉2A1A.

∴EF 綉 B1D.

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∴四边形 EDB1F 为平行四边形, ∴DE∥B1F. 又∵三棱柱 ABC-A1B1C1 为正三棱柱, ∴△A1B1C1 为正三角形, ∴B1F⊥A1C1. 又平面 A1B1C1⊥平面 A1ACC1, ∴B1F⊥平面 A1ACC1, ∴DE⊥平面 A1ACC1. 而 DE?平面 ADC1, ∴平面 ADC1⊥平面 A1ACC1.
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有时候利用面面垂直的性质定理来寻找垂线, 但是证明 时要分清求证的结论与题设.

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