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高三数学第一轮复习-第二十九课时三角函数的图像和性质



苏 省 沙 溪 高 级 中 学 2011 届 高 三 数 学 复 习 学 案

第 29 课时 三角函数的图像和性质
【考点概述】 1.能画出

y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 的图像,了解三角函数的周期性

2.理解正弦函数、余弦函数在区间 [0,2? ] 的性质(单调性,最大值和最小值与 x 轴的交点等) ,理解正 切函数在区间 ? ? ? , ? ? 的单调性 ? ?

? 2 2?

【重点难点】 1.理解周期函数的概念;对正、余弦函数奇偶性和单调性的理解与应用,能灵活应用正切函数的性质解 决相关问题; 2.函数

y ? A sin??x ? ? ? 的图像的画法和该函数图像与函数 y ? sin x 图像的关系,以及对各种变换
随 堂 反 思

内在联系的揭示. 【基础训练】 1.函数 2.函数

f ?x? ? sin 2x ? 3 cos2x 的最小正周期是

f ?x? ? sin x ? 3 cos x ?x ? ?? ? ,0?? 的单调增区间是
?
?6

3.函数 y ? 2 sin? ?

? ? ? ? 2 x ? , x ? ? , ? 的值域为 ?6 2? ? ? ?

4.将函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图像先向左平移

?, 然后将所得图像上所有的点横坐标 6

变为原来的两倍(纵坐标不变) 则所得到的图像对应的函数解析式 , 为 5.函数 。

y ? 2 cos x ? 1 的定义域是
f ?x ? ? 2 x cos x 进行研究后,得到下列四个结论:(1)函数

【例题分析】 例 1.1.某学生对函数

f ?x ? 在 ?? ? ,0? 上单调递增,在上 ?0, ? ?单调递减;(2)存在 M ? 0 常数,使
? f ?x? ? M x 对一切实数 x 均成立;(3)点 ? ,0 ? 是函数 f ?x ? 图象的一个 ? ?
?2 ?
对称中心;(4)函数 2.函数

y ? f ?x ?的图象关于直线 x ? ? 对称,其中正确的是
x 在区间 ?0, t ? 上恰好取得两个最大值,则实数 t 的取值范
1

y ? sin

?
3



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围是 3. 已 知 函 数

f ?x ? ? a sin x ? b co sx ( a, b 为 常 数 , a ? 0 , x ? R ) 在

x?

?
4

处取得最小值,则函数 y ? f ? 3? ? x ? 的图象的对称点是 ? ?

? 4

?

例 2.已知函数 f ?x ? ? A sin??x ? ? ? , x ? R (其中 A ? 0 , ? 的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为

? 0 ,0 ? ? ? ? )
2
,且图象上一个最低点为

? 2

?? ? ? ? 2? ? M? ,?2 ? . (1)求 f ? x ? 的解析式; (2)当 x ? ? , ? 时,求 f ? x ? 的值 ?12 2 ? ? 3 ?
域.

例 3.设函数

f ?x? ? a ? b ,其中向量 a ? m, cos2 x , b ? ?1 ? sin x cos x,1? ,

?

?

? x ? R ,且 y ? f ?x ? 的图象过点 ? ,?1? ? ? ?4 ?
(1)求实数 m 的值; (3)在函数 (2)求函数

f ?x ? 的最大值和此时 x 的取值集合;

f ?x ? 的图象对称轴中,求出离坐标轴 y 轴最近的对称轴方程.

2



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【感悟高考】 1.(2010 全国)为了得到函数 y ? sin? 2 x ? ? ? 的图像, 只需把函数 y ? ?

?

3?

?? ? ? sin? 2 x ? ? 6? ?

的图像向 2.(2010 辽宁)设 ?

平移

个长度单位.

? 0 ,函数 y ? sin? ?x ? ? ? ? 2 的图像向右平移 ? ?
? 3?

4? 3

个单位后

与原图像重合,则 ? 的最小值是 3.(2010 四川)将函数

y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动

? 个单位长度, 10

再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式 是 4.(2010 w_w w. k#s5_u.c o*m 福 建 ) 已 知 函 数

?? ? f ?x ? ? 3 sin ? ?x ? ? 6? ?

?? ? 0?
2?



? g ?x? ? 2 cos?2x ? ? ? ? 1 的图象的对称轴完全相同,若 x ? ?0, ? ,则 f ?x ? ? ?
?
的取值范围是 5.(2010 江苏) 定义在区间 ? 0, ?

?

? ? 上的函数 y ? 6 cos x 的图像与 y ? 5 tan x 的图 ?
2?

像的交点为 P ,过点 P 作 PP 1 于点 P2 ,则线段 P P2 的长为 1 【巩固练习】 1.函数 y

? x 轴于点 P ,直线 PP 与 y ? sin x 的图像交 1 1

? 3 sin( 2 x ?

?
6

) 与 y 轴最近的对称轴是

2.函数 f ( x) ? sin 2 x ? a cos2 x 的图像关于直线 x ? ? ? 对称,则 a

?

8

3.若函数

y ? 2a sin(2 x ? ? ) 的值域为 [?4,4] , a ? 0 ,且在区间 [? 5? , ? ] 上
12 12

单调递减,则常数 a 4.若函数 线x 是 5. 函 数

?

;? =



y ? f (x) 同时具有下列三个性质: (1)最小正周期为 ? ; (2)图像关于直

?

?
3

对称; (3)在区间 [ ? 。

? ?

, ] 上时增函数,则 y ? f (x) 的解析式可以 6 3

f ( x ) ? 2 si n

x 4

对于任意的

x?R

都有 3

f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) , 则



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的最小值为 。

x1 ? x2

6.关于函数 f ( x ) ? 4 sin( 2 x ? (1)

?
3

)( x ? R) ,有下列命题:

y ? f (x)

的表达式可以改写为 y ? 4 cos( 2 x ?

?
6

) ;(2) y ? f (x) 的图像

关于点 ( ?

?
6

,0) 对称;(3) y ? f (x) 的图像关于直线 x ? ?


?
6

对称,

其中正确的命题的序号是 7.已知 (1)求

f ( x) ? cos2 x
f ?x ? 的最小正周期和单调递增区间;
? 2 f ( x) ? 3 sin 2 x ? a, x ? [0, ] ,试求 g (x) 的值域; 2

(2)若 g ( x)

?

(3)在(2)的条件下,若

g ( x) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

8. 已知函数 (1)当 a

f ( x) ? a (2 cos 2

x ? sin x) ? b 2

? 1 时,求 f (x) 的单调递增区间;

(2)当 a ? R 时,且 x ? [0, ? ] 时,

f (x) 的值域是 [3,4] ,求 a, b 的值。

4


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