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高二竞赛(苏教版)


1、已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 3cm,圆心角为
【答案】 2

2 ? 的扇形,则此圆锥的高为___cm. 3

2
x 2 ? ( y ? 3) 2 ? x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 表 示 的 曲 线 的 轨 迹 方 程

2、已 知 p ( x, y ) 满 足 方 程 是 .

y2 x2 ? ? 1( y ? 2) 4 5

3、直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 与 l2 : mx ? (2 ? m) y ? 1 ? 0 平行,则实数 m ? ______.
【答案】

2 ; 3

4、 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 为双曲线上位于第一象限内一点, 4 5

且 PF1 F2 的面积为 6,则点 P 的坐标为___________
【答案】 ?

?6 5 ? ? ? 5 ,2 ? ? ?
2

5、已知圆 C 的圆心为抛物线 y ? ?4 x 的焦点,又直线 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的标准方程为____.
【答案】 ( x ? 1)
2

? y2 ? 4 ;

2 2 6、直线 y ? kx ? 1 与椭圆 x ? y ? 1 总有公共点,则 m 的取值范围是 5 m m ? 1且 m ? 5

.

7、过点 (?2,?3) ,且与 x 轴、 y 轴的截距相等的直线方程是

.

y ? ? x ? 5, y ?
8、F1 , F2 是椭圆 C :

3 x 2
.2

x2 y2 ? ? 1 的焦点,在 C 上满足 PF1 ? PF2 的点 P 的个数为 8 4

9、已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是 两个不同的平面. ①若 m?α ,m⊥β ,则 α ⊥β ; ③若 m?α ,n?β ,α ∥β ,则 m∥n; ②若 m?α ,α ∩β =n,α ⊥β ,则 m⊥n; ④若 m∥α ,m?β ,α ∩β =n,则 m∥n.

上述命题中为真命题的是________(填写所有真命题的序号).

【答案】①④

y 10、若双曲线 x ? ? 1(a ? 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离等于 3 ,则此双曲线方程 a
2

2

为______.
【答案】 x
2

?

y2 ?1 3

11 、 已 知 圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? a)2 ? 1(a ? 0) 与 直 线 y ? 3x 相 交 于 P , Q 两 点 , 若

?PCQ ? 900 ,则实数 a ? ______.
【答案】

5 2

12、从直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上一点 P 向圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 引切线 PA, PB , A, B 为 切点,则四边形 PACB 的周长最小值为______.
【答案】 4 2 ? 2 ;

x2 y2 13、 若椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与曲线 x2+y2=a2-b2 恒有公共点, 则椭圆的离心率 e 的取值范 a b 围是__________.?
14、给出下列命题:

2 ? ? 2 ,1?

(1)若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; (2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; (3)若两条平行直线中的一条垂直于直线 m,那么另一条直线也与直线 m 垂直; (4)若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直. 其中,所有真命题的序号为______.
【答案】 ?1? 、 ? 3? 、 ? 4 ?

15、圆心在抛物线 x 2 ? 2 y 上,并且和抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的标准方程为______.
【答案】 ?x ? 1?2 ? ? y ?

? ?

1? ? ?1; 2?
2 2 2

2

16、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x +y -(6-2m)x-4my+5m -6m=0,直线 l 经过点(1,0). 若对任意的实数 m,定直线 l 被圆 C 截得的弦长为定值,则直线 l 的方程为________. 【答案】2x+y-2=0 17 、 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 设 点 P 为 圆 C : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 上 的 任 意 一 点 , 点

Q (2 a , a ? 3 )
【答案】 5 ? 2

( a ? R ),则线段 PQ 长度的最小值为______.

18、在平面直角坐标系 xOy 中,设过原点的直线与圆 C: ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 交于 M、N 两 点,若 MN ? 2 3 ,则直线的斜率 k 的取值范围是______.
【答案】 [0, ]

x2 y2 19、椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.若 AF1, a b F1F2,F1B 成等比数列,则此椭圆的离心率为________. 5 5

3 4

x2 y 2 3 20、已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,A、B 是椭圆的左、右顶点,P 是椭 2 a b
圆上不同于 A、B 的一点,直线 PA、PB 斜倾角分别为 ? 、 ? ,则

cos(? ? ? ) =____. cos(? ? ? )

【答案】

3 5


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