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两当县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

两当县第二高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 若抛物线 y2=2px 的焦点与双曲线 A.﹣2 B.2 C.﹣4 D.4 ﹣ =1 的右焦点重合,则 p 的值为( )

姓名__________

分数__________

2. 设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则复数

A. 1 ? i B. 1 ? i C. 2 ? i 【命题意图】本题考查复数的有关概念,复数的四则运算等基础知识,意在考查学生的基本运算能力. 3. 已知向量| |= A. B. , C.5 ? =10,| + |=5 D.25 的值为( ) ,则| |=( )

2 ? z2 ? ( z D. 2 ? i



4. 已知角 α 的终边上有一点 P(1,3),则 A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣4

5. 已知直线 l⊥平面 α ,直线 m? 平面 β ,有下面四个命题: (1)α ∥β ? l⊥m,(2)α ⊥β ? l∥m, (3)l∥m? α ⊥β ,(4)l⊥m? α ∥β , 其中正确命题是( ) A.(1)与(2) B.(1)与(3) C.(2)与(4) D.(3)与(4) 6. 已知一三棱锥的三视图如图所示,那么它的体积为( A. )

1 3

B.

2 3

C. 1

D. 2 )

7. 函数 f(x)=cos2x﹣cos4x 的最大值和最小正周期分别为( A. ,π B. , C . ,π D. ,

8. 设 f ( x ) 是奇函数,且在 (0, ??) 内是增函数,又 f (?3) ? 0 ,则 x ? f ( x) ? 0 的解集是( A. x | ?3 ? x ? 0或x ? 3 C. x | x ? ?3或x ? 3 9. 已知 f ( x) ? ?

?

?

?

?

B.

?x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3? D. ?x | x ? ?3或0 ? x ? 3?



?ax2 ? x, x ? 0 ,若不等式 f ( x ? 2) ? f ( x) 对一切 x ? R 恒成立,则 a 的最大值为( ??2 x, x ? 0



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A. ?

7 16

B. ?

9 16

C. ?

1 2

D. ?

1 4

10.函数 g(x)是偶函数,函数 f(x)=g(x﹣m),若存在 φ∈( 数 m 的取值范围是( A.( ) ] C.( ) D.(



),使 f(sinφ)=f(cosφ),则实

) B.( ,

]

11.已知数列{ an }满足 an ? 8 ? 和 m ,则 M ? m ? ( A. )

2n ? 7 ? ( n ? N ).若数列{ an }的最大项和最小项分别为 M 2n

11 2

B.

27 2
) C.70 人

C.

259 32

D.

435 32

12.从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析,已知不超过 70 分的人数为 8 人,其 累计频率为 0.4,则这样的样本容量是( A.20 人 B.40 人 D.80 人

二、填空题
13.设曲线 y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,令 an=lgxn,则 a1+a2+…+a99 的值为 .

14.若 (mx ? y)6 展开式中 x3 y 3 的系数为 ?160 ,则 m ? __________. 【命题意图】本题考查二项式定理的应用,意在考查逆向思维能力、方程思想. 15.已知平面向量 a , b 的夹角为

?

?

? ? ? c 的夹角为__________, a ? c 的最大值为

? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? , a ? b ? 6 ,向量 c ? a , c ? b 的夹角为 , c ? a ? 2 3 ,则 a 与 3 3
. .

【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识,意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力. 16.设复数 z 满足 z(2﹣3i)=6+4i(i 为虚数单位),则 z 的模为

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17.设 m 是实数,若 x∈R 时,不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1 恒成立,则 m 的取值范围是 18.在△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD⊥BC,AC=5 ,CD=5,BD=2AD,则 AD 的长为

. .

三、解答题
19.若 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切 x,y>0,满足 f( )=f(x)﹣f(y) (1)求 f(1)的值, (2)若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)﹣f( )<2.

20.(本小题满分 13 分)

1 1 ,数列 {an } 满足: a1 ? , an?1 ? f (an ), n ? N ? . 2 1? x ? a ? ?1 ? (Ⅰ)若 ?1 , ?2 为方程 f ( x) ? x 的两个不相等的实根,证明:数列 ? n ? 为等比数列; ? an ? ?2 ? ? (Ⅱ)证明:存在实数 m ,使得对 ?n ? N , a2n?1 ? a2n?1 ? m ? a2n?2 ? a2n .
设 f ( x) ? )

21.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面△ABC 是边长为 2 的等边三角形,D 为 AB 中点. (1)求证:BC1∥平面 A1CD; (2)若四边形 BCC1B1 是正方形,且 A1D= ,求直线 A1D 与平面 CBB1C1 所成角的正弦值.

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22.设圆 C 满足三个条件①过原点;②圆心在 y=x 上;③截 y 轴所得的弦长为 4,求圆 C 的方程.

23.已知二次函数 f(x)=x2+bx+c,其中常数 b,c∈R. (Ⅰ)若任意的 x∈[﹣1,1],f(x)≥0,f(2+x)≤0,试求实数 c 的取值范围; (Ⅱ)若对任意的 x1,x2∈[﹣1,1],有|f(x1)﹣f(x2)|≤4,试求实数 b 的取值范围.

24.已知函数



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(Ⅰ)求曲线 (Ⅱ)设 实数 的取值范围.

在点 ,若函数

处的切线方程; 在 上(这里 )恰有两个不同的零点,求

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两当县第二高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:双曲线 ﹣ =1 的右焦点为(2,0),

即抛物线 y2=2px 的焦点为(2,0), ∴ =2, ∴p=4. 故选 D. 【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质,考查学生的计算能力,属于基础题. 2. 【答案】A 【 解 析 】

3. 【答案】C 【解析】解:∵ ∴由 ∴ ∴ ; . 得, ; = ;

故选:C. 4. 【答案】A 【解析】解:∵点 P(1,3)在 α 终边上, ∴tanα=3, ∴ 故选:A. 5. 【答案】B 【解析】解:∵直线 l⊥平面 α ,α ∥β ,∴l⊥平面 β ,又∵直线 m?平面 β ,∴l⊥m,故(1)正确; = = = =﹣ .

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∵直线 l⊥平面 α ,α ⊥β ,∴l∥平面 β ,或 l?平面 β ,又∵直线 m?平面 β ,∴l 与 m 可能平行也可能 相交,还可以异面,故(2)错误; ∵直线 l⊥平面 α ,l∥m,∴m⊥α ,∵直线 m?平面 β ,∴α ⊥β ,故(3)正确; ∵直线 l⊥平面 α ,l⊥m,∴m∥α 或 m?α ,又∵直线 m?平面 β ,则 α 与 β 可能平行也可能相交,故 (4)错误; 故选 B. 【点评】 本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系, 其中熟练掌握空间中直线与平面位置关系的 判定及性质定理,建立良好的空间想像能力是解答本题的关键. 6. 【答案】 B 【解析】 解析: 本题考查三视图与几何体的体积的计算. 如图该三棱锥是边长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中的一个四面体 ACED1 ,其中 ED1 ? 1 ,∴该三棱锥的体积为 ? ( ? 1? 2) ? 2 ? 7. 【答案】B
2 4 2 2 2 2 2 【解析】解:y=cos x﹣cos x=cos x(1﹣cos x)=cos x?sin x= sin 2x=

1 3

1 2

2 ,选 B. 3


故它的周期为 故选:B. 8. 【答案】B 【解析】

=

,最大值为 = .

试题分析:因为 f ? x ? 为奇函数且 f ? ?3? ? 0 ,所以 f ? 3? ? 0 ,又因为 f ? x ? 在区间 ? 0, ??? 上为增函数且

f ? 3? ? 0 ,所以当 x ? ? 0,3? 时, f ? x ? ? 0 ,当 x ? ?3, ??? 时, f ? x ? ? 0 ,再根据奇函数图象关于原点对称
可知:当 x ? ? ?3,0? 时, f ? x ? ? 0 ,当 x ? ? ??, ?3? 时, f ? x ? ? 0 ,所以满足 x ? f ? x ? ? 0 的 x 的取值范围 是: x ? ? ?3,0? 或 x ? ? 0,3? 。故选 B。 考点:1.函数的奇偶性;2.函数的单调性。 9. 【答案】C 【解析】解析:本题考查用图象法解决与函数有关的不等式恒成立问题. 当 a ? 0 (如图 1)、 a ? 0 (如图 2)时,不等式不可能恒成立;当 a ? 0 时,如图 3,直线 y ? ?2( x ? 2) 与 函数 y ? ax ? x 图象相切时, a ? ?
2

8 9 1 2 ,切点横坐标为 ,函数 y ? ax ? x 图象经过点 (2, 0) 时, a ? ? , 3 2 16

观察图象可得 a ? ? 10.【答案】A

1 ,选 C. 2

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【解析】解:∵函数 g(x)是偶函数,函数 f(x)=g(x﹣m), ∴函数 f(x)关于 x=m 对称, 若 φ∈( , ),

则 sinφ>cosφ, 则由 f(sinφ)=f(cosφ), 则 即 m= 当 φ∈( 则 < , =m, = (sinφ× ∈( , + , cosαφ)= ), sin(φ+ )

),则 φ+ )<

sin(φ+ ,

则 <m< 故选:A

【点评】 本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质, 利用辅助角公式是解决本 题的关键. 11.【答案】D 【解析】

2n ? 7 2n ? 5 2n ? 5 2n ? 7 ,? an ?1 ? 8 ? n ?1 ,? an ?1 ? an ? n ?1 ? n 2 2 2 2n 2n ? 5 ? 2 ? 2n ? 7 ? ?2n ? 9 ? ? ,当 1 ? n ? 4 时, an?1 ? an ,即 a5 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1 ;当 n ? 5 时, an?1 ? an , 2n ?1 2n ?1 11 259 ? a1 ? ,? 最小 即 a5 ? a6 ? a7 ? ....因此数列 ?an ?先增后减,? n ? 5, a5 ? 为最大项,n ? ?, an ? 8 , 2 32 11 11 259 435 ? 项为 ,? m ? M 的值为 ? .故选 D. 2 2 32 32
试题分析:? 数列 an ? 8 ? 考点:数列的函数特性. 12.【答案】A 【解析】解:由已知中的频率分布直方图可得时间不超过 70 分的累计频率的频率为 0.4, 则这样的样本容量是 n= 故选 A. =20.

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【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图,熟练掌握频率的两个公式频率=矩形高×组距= 答的关键.

是解

二、填空题
13.【答案】 ﹣2 . 【解析】解:∵曲线 y=x ∴曲线 y=x
n+1 n+1 * (n∈N ),

n ∴y′=(n+1)x ,∴f′(1)=n+1, * (n∈N )在(1,1)处的切线方程为 y﹣1=(n+1)(x﹣1),

该切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn= ∵an=lgxn, ∴an=lgn﹣lg(n+1), ∴a1+a2+…+a99



=(lg1﹣lg2)+(lg2﹣lg3)+(lg3﹣lg4)+(lg4﹣lg5)+(lg5﹣lg6)+…+(lg99﹣lg100) =lg1﹣lg100=﹣2. 故答案为:﹣2. 14.【答案】 ?2
3 3 【解析】由题意,得 C6 m ? ?160 ,即 m ? ?8 ,所以 m ? ?2 .
3

15.【答案】 【解析】

? , 18 ? 12 3 . 6

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16.【答案】 2 .

【解析】解:∵复数 z 满足 z(2﹣3i)=6+4i(i 为虚数单位), ∴z= ,∴|z|= = =2,

故答案为:2. 【点评】本题主要考查复数的模的定义,复数求模的方法,利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的 模,属于基础题. 17.【答案】 [0,2] . 【解析】解:∵|x﹣m|﹣|x﹣1|≤|(x﹣m)﹣(x﹣1)|=|m﹣1|, 故由不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1 恒成立,可得|m﹣1|≤1,∴﹣1≤m﹣1≤1, 求得 0≤m≤2, 故答案为:[0,2]. 【点评】 本题主要考查绝对值三角不等式, 绝对值不等式的解法, 函数的恒成立问题, 体现了转化的数学思想, 属于基础题. 18.【答案】 5 . 【解析】解:如图所示:延长 BC,过 A 做 AE⊥BC,垂足为 E, ∵CD⊥BC,∴CD∥AE, ∵CD=5,BD=2AD,∴ 在 RT△ACE,CE= ,解得 AE= = , = ,

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得 BC=2CE=5

, = =10,

在 RT△BCD 中,BD= 则 AD=5, 故答案为:5.

【点评】本题考查平行线的性质,以及勾股定理,做出辅助线是解题的关键,属于中档题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)在 f( )=f(x)﹣f(y)中, 令 x=y=1,则有 f(1)=f(1)﹣f(1), ∴f(1)=0; (2)∵f(6)=1,∴2=1+1=f(6)+f(6), ∴不等式 f(x+3)﹣f( )<2 等价为不等式 f(x+3)﹣f( )<f(6)+f(6), ∴f(3x+9)﹣f(6)<f(6), 即 f( )<f(6),

∵f(x)是(0,+∞)上的增函数, ∴ ,解得﹣3<x<9,

即不等式的解集为(﹣3,9). 20.【答案】 【解析】解:证明: f ( x) ? x ? x ? x ? 1 ? 0 ,∴ ?
2
2 2 ? ? ??1 ? ?1 ? 1 ? 0 ?1 ? ?1 ? ?1 ,∴ . ? 2 2 ? ? ? ? 1 ? 0 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 2

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1 ? ?1 an ?1 ? ?1 1 ? an 1 ? ?1 ? ?1an ?12 ? ?1an ?1 an ? ?1 ? ? ? 2 ? ? ∵ , (3 分) 1 an ?1 ? ?2 1 ? ? ? ? a ? ? ? a ?2 an ? ?2 2 2 n 2 2 n ? ?2 1 ? an a1 ? ?1 ? ? 0, 1 ? 0, a1 ? ?2 ?2
∴数列 ?

? an ? ?1 ? ? 为等比数列. (4 分) ? an ? ?2 ?

5 ?1 ,则 f (m) ? m . 2 1 2 3 1 由 a1 ? 及 an ?1 ? 得 a2 ? , a3 ? ,∴ 0 ? a1 ? a3 ? m . 2 3 5 1 ? an
(Ⅱ)证明:设 m ? ∵ f ( x ) 在 (0, ??) 上递减,∴ f (a1 ) ? f (a3 ) ? f (m) ,∴ a2 ? a4 ? m .∴ a1 ? a3 ? m ? a4 ? a2 ,(8 分) 下面用数学归纳法证明:当 n ? N 时, a2n?1 ? a2n?1 ? m ? a2n?2 ? a2n . ①当 n ? 1 时,命题成立. (9 分) ②假设当 n ? k 时命题成立,即 a2k ?1 ? a2k ?1 ? m ? a2k ?2 ? a2k ,那么 由 f ( x ) 在 (0, ??) 上递减得 f (a2k ?1 ) ? f (a2k ?1 ) ? f (m) ? f (a2k ?2 ) ? f (a2k ) ∴ a2k ? a2k ?2 ? m ? a2k ?3 ? a2k ?1 由 m ? a2k ?3 ? a2 k ?1 得 f (m) ? f (a2k ?3 ) ? f (a2 k ?1 ) ,∴ m ? a2k ?4 ? a2k ?2 , ∴当 n ? k ? 1 时命题也成立, (12 分) 由①②知,对一切 n ? N 命题成立,即存在实数 m ,使得对 ?n ? N , a2n?1 ? a2n?1 ? m ? a2n?2 ? a2n . 21.【答案】 【解析】证明:(1)连 AC1,设 AC1 与 A1C 相交于点 O,连 DO,则 O 为 AC1 中点, ∵D 为 AB 的中点, ∴DO∥BC1, ∵BC1?平面 A1CD,DO?平面 A1CD, ∴BC1∥平面 A1CD. 解:∵底面△ABC 是边长为 2 等边三角形,D 为 AB 的中点, 四边形 BCC1B1 是正方形,且 A1D= ∴CD⊥AB,CD=
2 2 2
? ? ?



=

,AD=1, ,

∴AD +AA1 =A1D ,∴AA1⊥AB, ∵ ,∴ ∴CD⊥DA1,又 DA1∩AB=D,

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∴CD⊥平面 ABB1A1,∵BB1?平面 ABB1A1,∴BB1⊥CD, ∵矩形 BCC1B1,∴BB1⊥BC, ∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面 ABC, ∵底面△ABC 是等边三角形, ∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是正三棱柱. 以 C 为原点,CB 为 x 轴,CC1 为 y 轴,过 C 作平面 CBB1C1 的垂线为 z 轴,建立空间直角坐标系, B(2,0,0),A(1,0, =( ,﹣2,﹣ ),D( ,0, ),A1(1,2, ),

),平面 CBB1C1 的法向量 =(0,0,1),

设直线 A1D 与平面 CBB1C1 所成角为 θ, 则 sinθ= = = . .

∴直线 A1D 与平面 CBB1C1 所成角的正弦值为

22.【答案】 【解析】解:根据题意画出图形,如图所示:

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当圆心 C1 在第一象限时,过 C1 作 C1D 垂直于 x 轴,C1B 垂直于 y 轴,连接 AC1, 由 C1 在直线 y=x 上,得到 C1B=C1D,则四边形 OBC1D 为正方形, ∵与 y 轴截取的弦 OA=4,∴OB=C1D=OD=C1B=2,即圆心 C1(2,2), 在直角三角形 ABC1 中,根据勾股定理得:AC1=2 则圆 C1 方程为:(x﹣2) +(y﹣2) =8; 当圆心 C2 在第三象限时,过 C2 作 C2D 垂直于 x 轴,C2B 垂直于 y 轴,连接 AC2, 由 C2 在直线 y=x 上,得到 C2B=C2D,则四边形 OB′C2D′为正方形,∵与 y 轴截取的弦 OA′=4,∴OB′=C2D′, =OD′=C2B′=2,即圆心 C2(﹣2,﹣2), 在直角三角形 A′B′C2 中,根据勾股定理得:A′C2=2 则圆 C1 方程为:(x+2) +(y+2) =8,
2 2 2 2 ∴圆 C 的方程为:(x﹣2) +(y﹣2) =8 或(x+2) +(y+2) =8. 2 2 2 2





【点评】本题考查了角平分线定理,垂径定理,正方形的性质及直角三角形的性质,做题时注意分两种情况, 利用数形结合的思想,分别求出圆心坐标和半径,写出所有满足题意的圆的标准方程,是中档题.

23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)因为 x∈[﹣1,1],则 2+x∈[1,3], 由已知,有对任意的 x∈[﹣1,1],f(x)≥0 恒成立, 任意的 x∈[1,3],f(x)≤0 恒成立, 故 f(1)=0,即 1 为函数函数 f(x)的一个零点. 由韦达定理,可得函数 f(x)的另一个零点, 又由任意的 x∈[1,3],f(x)≤0 恒成立, ∴[1,3]?[1,c], 即 c≥3
2 (Ⅱ)函数 f(x)=x +bx+c 对任意的 x1,x2∈[﹣1,1],有|f(x1)﹣f(x2)|≤4 恒成立,

即 f(x)max﹣f(x)min≤4, 记 f(x)max﹣f(x)min=M,则 M≤4. 当| 当| ﹣f( |>1,即|b|>2 时,M=|f(1)﹣f(﹣1)|=|2b|>4,与 M≤4 矛盾; |≤1,即|b|≤2 时,M=max{f(1),f(﹣1)}﹣f( )=(1+
2 ) ≤4,

)=

解得:|b|≤2,

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即﹣2≤b≤2, 综上,b 的取值范围为﹣2≤b≤2. 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键.

24.【答案】 【解析】【知识点】利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性导数的概念和几何意义 【试题解析】(Ⅰ)函数定义域为 , 又 , 所求切线方程为 ,即 在 在 在 则 当 当 故 时, 时, ,又 , , 在 在 递减; 递增. . 上恰有两个不同的零点,

(Ⅱ)函数 等价于 等价于 令

上恰有两个不同的实根 上恰有两个不同的实根,

, 即



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