fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

等比数列(2)_图文

2.4.2 等比数列 (2)

知识回顾:

1.等比数列 ?an? 的定义:

an?1 an

?q

(q ? 0)

2.等比数列?an? 的通项公式:an ? a1qn?1 ,an ? amqn?m

3. a,G, b 成等比数列

G 2 ? ab, (ab ? 0)

( G叫做 a 与 b 的等比中项)

4. 等比数列{an} 的判定方法: (1) {an } 是等比数列 ? an?1 ? q (q 是常数且q ? 0) an (2) {an } 是等比数列 ? an2 ? an?1 ? an?1 (an ? 0,n ? 2)
(3) {an }是等比数列 ? an ? cqn (c、q为非0的常数)

5、等比数列常用性质 (1) 若 m ? n ? p ? q,则 am ? an ? a p ? aq .
(2) ak ,ak?m ,ak?2m ,? 组成的数列仍然是等比数列, 且公比为 qm .

(3) 若 {an} 与{bn} 均为等比数列,

则数列{man

?

bn}



{

man bn

}

(m

?

0

常数)

仍为等比数列.

(4) 单调性 :由 an ? a1qn?1 知

an?1 ? q an

若 ??a1 ? 0 ?q ? 1



??a1 ? 0 ?0 ? q ?

1

,则 {an }

是递增数列 ;

若 ???0a1??q0? 1或 ???qa1??10 ,则 {an } 是递减数列 ;

若 q ? 1 ,则{an } 是常数列; 若 q ? 0 ,则{an } 是摆动数列.

(4) 若 {an } 与 {bn } 均为等比数列,





列{m

an

?

bn

}



{

m an bn

}

(m

?

0



数)











列.

证明:设数列{an },{bn } 的 公比分别为 p,q ,

记:cn

?

ma n ? bn,d n

?

ma n bn

(m ? 0 常数),



cn?1 ? ma n?1 ? bn?1 ? an?1 ? bn?1 ? pq (常数)

cn

man ? bn

an bn

dn?1 ? ma n?1 ? bn ? an?1 ? bn ? p (常数)

dn

bn?1 ma n an bn?1 q

?

数列

{ma n

?

bn

}



ma {
bn

n

}

(m

?

0

常数)

仍为等比数列.

思考:数列{man±bn}(m≠0)仍为等比数列?

例 1.已知数列 {an },{bn } 的通项公式分别为: an ? 2n ? 1 , bn ? 2an ,说明{an },{bn } 是什么数列.

解:由 an ? 2n ? 1,知:

数列{an}是首项为 a1=1,公差为d=2的等差数列.

又由

2 bn ? 2 bn?1

an an?1

? 2an ?an?1 ? 22,

即 bn ? 4,(n ? 2)
bn?1

所以数列{bn}是首项为 b1=2,公比为q=4的等比数列.

变式:已知数列 {an },{bn } 的通项公式分别为:

an

?

1 2n?1

, bn

?

log2

an ,说明{an },{bn } 是什么数列.

解:由

an

?

1 2n?1

?

( 1 )n?1,知: 2



数列{an}是首项为

a1=1,公比为q=

1 2

的等比数列.

.

又由

bn ? bn?1

?

log 2 an ? log 2 an?1

? log 2

an an?1



bn

?

bn?1

?

log2

1 2

?

?1,(n

?

2)

所以数列{bn}是首项为 b1=1,公差为d=-1的等差数列.

说 明:
本题揭示了等差数列与等比数列之间的一种代数变换 关系.不失一般性,设c>0,c≠1, 则:
若数列{an}是等差数列,那么数列{can }是等比数列;
反之,若{an}是等比数列且an >0,则数列{logc an }是等差数列.

例2:已知{an }和{bn }是项数相同的等 比数列,求证{an ? bn}是等比数列。

例3(1)已知{an}是等比数列, 且an >0,
a2a4 ? 2a3a5 ? a4a6 ? 25 , 求 a3 ? a5 的值.
解:? {an } 是等比数列 ,
? a2 ? a4 ? a32,a4 ? a6 ? a52,
又 a2a4 ? 2a3a5 ? a4a6 ? 25
? a32 ? 2a3a5 ? a52 ? 25
即 (a3 ? a5 )2 ? 25
? an ? 0 ? a3 ? a5 ? 5 .

(2) 在等比数列{an }中,a3a4a5 ? 3 , a6a7a8 ? 24 , 求 a9a10a11 的值.
解:? {an} 是等比数列 ,
? a3a4a5 ? a43 ? 3 , a6a7a8 ? a73 ? 24 , a9a10a11 ? a130

又 a4 , a7 , a10 成等比数列,a43 , a73 , a130成等比数列,

? (a73 )2 ? a43 ? a130

?

a9 a10 a11

?

a130

?

242 3

? 192 .

(2) 在等比数列{an }中,a3a4a5 ? 3 , a6a7a8 ? 24 , 求 a9a10a11 的值.
法解2::? {an} 是等比数列 ,
? a3 , a6 , a9 成等比列,a62 =a3a9 . a4 , a7 , a10 成等比列,a72 =a4a10 .
a5 , a8 , a11 成等比列,a82 =a5a11 .

? (a6a7a8 )2 ? (a3a4a5 ) ? (a9a10a11 )

?

a9

a10

a11

=

(a6a7a8 )2 a3a4a5

?

242 3

? 192 .

课后作业
1.教材第54页 习题2.4 B组 1~3


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图